Методические указания для студентов-заочников по проведению (стр. 1 )

практических занятий

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

УФИМСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

УТВЕРЖДАЮ

Зам. директора по УВР

__________

«___»_____________200__г

Методические указания

для студентов-заочников по проведению

практических занятий

Методическая разработка

по дисциплине «Математика»,

для специальностей 2015, «Почтовая свзь, 2004 «Сети связи»

Согласовано Рассмотрено

Методист УГКР На заседании ПЦК математических

_______ дисциплин

Протокол № 2 от « 30» сентября 2004г.

Председатель ПЦК _____

Разработал преподаватель:____________

Уфа 2004

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

УФИМСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Методические указания

для студентов-заочников по проведению

практических занятий

для специальностей 2015 «Почтовая связь», 2004 «Сети связи»

по дисциплине «Математика»

(наименование дисциплины по примерному учебному плану)

Уфа –2004

Методические указания для студентов заочного отделения по проведению практических занятий для

специальностей

2015 «Почтовая связь», 2004 «Сети связи»

(№ специальности и её наименование)

по дисциплине «Математика»

(наименование дисциплины)

Составитель: преподаватель математики

УГКР

Рецензенты: – преподаватель математики УПЭК

- преподаватель математики

УГКР

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ………………………………………………………………….

Правила выполнения практических работ…………………………………..

Практическая работа № 1 …………………………………………………

Практическая работа № 2 ……………………………………………………

Практическая работа № 3…………………………………………………

Практическая работа № 4……………………………………………………

Практическая работа № 5…………………………………………………

ПРЕДИСЛОВИЕ

Назначение методических указаний

Настоящий сборник практических работ предназначен в качестве методического пособия для проведения практических работ по программе дисциплины «Математика», утвержденной 31.08.04 для специальностей 2015 «Почтовая связь», 2004 «Сети связи».

Данный сборник содержит описания следующих практических работ:

1.  Вычисление пределов функций. Вычисление производных элементарных функций. Правила дифференцирования. Геометрический и механический смысл производной.

2.  Вычисление дифференциала функции. Приложение дифференциала функции к приближенным вычислениям.

3.  Неопределенные и определенные интегралы, их свойства. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

4.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

5.  Основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания. Случайные события, вероятность события.

Требования к знаниям и умениям при выполнении практических работ

В результате выполнения практических работ, предусмотренных программой по данной специальности, студент должен:

знать:

-  основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей;

уметь:

- вычислять пределы;

-  вычислять производные элементарных функций,

-  вычислять неопределенные и определенные интегралы;

-  решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

-  решать простейшие задачи, используя аппарат теории вероятностей.

Практические работы рассчитаны на выполнение в течение двух учебных часов.

Правила выполнения практических работ

1.  Студент должен прийти на практическое занятие подготовленным к выполнению работы. Студент, не подготовленный к работе, не может быть допущен к ее выполнению.

2.  Каждый студент после выполнения работы должен представить отчет о проделанной работе, содержание которого определено в конце каждой практической работы

3.  Отчет о проделанной работе следует выполнять в журнале практических работ на листах формата А4 с одной стороны листа.

4. Рисунки и чертежи, необходимые при решении задач, следует выполнять карандашом с помощью чертежных инструментов (линейки, циркуля и т. д.).

5. Вычисления производить с точность до двух значащих цифр.

6. Исправления выполняются на обратной стороне листа отчета. При мелких исправлениях неправильное слово (буква, число и т. п.) аккуратно зачеркивают и над

ним пишут правильное слово (букву, число).

7. Если студент не выполнил практическую работу или часть работы, то он может выполнить работу или оставшуюся часть во внеурочное время, согласованное с преподавателем.

8. Оценку по практической работе студент получает с учетом срока выполнения работы, если:

-  задачи решены правильно и в полном объеме;

-  студент может ответить на все контрольные вопросы, содержащиеся в практической работе;

-  студент может пояснить выполнение любого этапа работы;

-  отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению работы.

Зачет по практическим работам студент получает при условии выполнения всех предусмотренных программой работ после сдачи отчетов по работам при удовлетворительных оценках за опросы на контрольные вопросы во время практических занятий.

Практическое занятие № 1.

Тема: Вычисление пределов. Вычисление производной функции. Правила дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной.

1. Цель: Выработка навыков вычисления пределов с использованием замечательных пределов, раскрытие неопределённостей. Выработка навыков вычисления производной по алгоритму. Закрепление навыков вычисления производных элементарных функций. Закрепление навыков решения задач на геометрический и физический смысл производной.

2. Пояснения к работе:

2.1 Краткие теоретические сведения

Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

Теорема 4: Предел отношений двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах. 1) Предел многочлена. Вычислить

Таким образом, для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной поставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т. е.

2) Предел отношения двух многочленов, , где - число.

а) Если , то можно применить теорему о пределе частного.

Пример 1. Пусть требуется вычислить

Здесь и . Так как , то имеем:

б) Если, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если

то ;

если же -имеем неопределенность вида 0/0. В этом с и случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители или заменой

Пример 2. Вычислить

Здесь . Так как , имеем

или, заменяя и учитывая, что при , получаем

3) Предел отношения многочленов при .

Пример 3. Вычислить

Пример 4. Вычислить

Пример 5. Вычислить

4) Пределы некоторых иррациональных функций. Для вычисления предела ,

где и , воспользуемся равенством

,

которое принимается нами без доказательства. Например,

Пример 6. Вычислить

Так как , то теорему о пределе частного применить нельзя. Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим

5) Применение замечательных пределов

и

Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов.

Пример 7. Вычислить

, заменяя и учитывая, что при ,

получаем

.

Пример 8. Вычислить

Здесь мы воспользовались известным из курса средней школы пределом

.

Пример 9. Вычислить

Заменяя и учитывая, что при , можем написать

3. Задание для самостоятельной работы

1.  Найти предел функции в точке:

a) б)

2. Найти предел функции на бесконечности:

a) б)

3.  Найти предел функции:

а) б) в)

4.  Найти предел функции в точке:

a) б)

5. Найти предел функции на бесконечности:

a) б)

6.  Найти предел функции:

а) б) в)

7. Найти предел функции в точке:

a) б)

8. Найти предел функции на бесконечности:

a) б)

9. Найти предел функции:

а) б) в)

10.  Найти предел функции в точке:

a) б)

11. Найти предел функции на бесконечности:

a) б)

12. Найти предел функции:

а) б) в)

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается .

Итак,

(1)

Производную функции в точке обозначают , причем все эти обозначения равноправны.

Из определения производной вытекает следующая схема её нахождения, которую мы изложим на следующем примере.

Пример. Найти производную функции в её произвольной (но фиксированной) точке .

1) Даём аргументу x приращение и находим “наращенное” значение функции:

2) Находим приращение функции:

3) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

4) Находим предел этого отношения при , т. е. искомую производную:

Определение 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Определение 3. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную можно рассматривать как функцию на .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Эта теорема даёт лишь необходимое условие существования производной, но не достаточное, т. е. из непрерывности функции в точке не следует её дифференцируемость в этой точке.

Основные правила дифференцирования

а)

б)

в)

г)

д)

е) дифференцирование сложной функции, если , , то −сложная функция. Тогда, или .

Здесь а и −дифференцируемые функции

Таблица производных основных элементарных функций

1.

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. , ,

11. ,

12. ,

13. ,

Пример. Найти производные следующих функций:

1);

2);

3);

4);

5);

6) и найти значение производной при .

Решение

1)  Запишем данную функцию следующим образом

.

Тогда

2)  Имеем

;

3)  Имеем

4)  Имеем

5)  Имеем

6)  Имеем

Подставим значение в производную. Получим

Пример. Применив известные формулы

,

и правила дифференцирования, найти производные функции

а)

б)

Решение.

а)

б)

3. Задание для самостоятельной работы.

1.Вычислить производную функции y = x2 – 2x по алгоритму в точке x0 = 3.

2.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами дифференцирования:

а) y = 3x3 – 6x2 + 3x + 5; б) y = (x + 3) (2x – 7) ; в) .

3.Найти производную функции:

а) ƒ(x) = 4 sin x и вычислить ;

б) и вычислить q / (2) .

4.Вычислить производную функции y = -x2 + 3x + 4 по алгоритму в точке x0 = 2.

5.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами дифференцирования:

а) y = 16 + 5x - 4x2 + x3; б) y = (3x +– 4x) ; в) ;

6.Найти производную функции:

а) ƒ(x) = 3 cos x и вычислить ;

б) и вычислить q / (-1).

7.Вычислить производную функции y = 2x - 3x2 по алгоритму в точке x0 = 1.

8.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами дифференцирования:

а) y = -7x3 + 6x2 + x - 13; б) y =x2) (4 + 5x) ; в) .

9.Найти производную функции:

а) ƒ(x) = 2 tg x и вычислить ;

б) и вычислить q / (3).

10.Вычислить производную функции y = x2 + 5x - 1 по алгоритму в точке x0 = 4.

11.Вычислить производную следующих функций, пользуясь правилами дифференцирования:

а) y = -3x3 + 4x2 + 11x – 18 ; б) y = (10x+ 7x) ; в) .

12.Найти производную функции:

а) ƒ(x) = 4 ctg x и вычислить ;

б) и вычислить q / (5).

Геометрическое и механическое приложения производной.

1. Геометрическое приложение производной.

Производная функции при данном значении аргумента равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой . (См. рис.):

(1)

Уравнение прямой к графику функции в точке имеет вид

Если имеет при бесконечную производную, то уравнение касательной таково:

Пример : Составить уравнение касательной к параболе в точке .

Решение. Найдём производную функции при . Имеем , откуда

Воспользовавшись уравнением , получим искомое уравнение касательной :

или .

2.Механическое приложение производной.

Производная от функции , вычисленная при значении аргумента представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной в точке .

В частности, если зависимость между пройденным путем и временем при прямолинейном движении выражается формулой , то скорость движения в любой момент времени есть , а ускорение (т. е. скорость изменения скорости движения) есть .