Методические указания для студентов-заочников по проведению (стр. 4 )

,

где общее решение однородного уравнения. Иными словами, для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно найти хотя бы одно его частное решение.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Подбором находим, что функция является решением данного линейного неоднородного уравнения. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

, , ,

, ,

, где .

Общее решение данного уравнения имеет вид

2. Этот прием решения основан на простом замечании, что любую величину (переменную или постоянную) можно представить в виде произведения двух множителей , причем один из них можно выбрать произвольно ( лишь бы он был отличен от нуля).

Например, в равенстве можно взять , тогда ; можно взять , тогда , и т. д.

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде , где и функции от .

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Данное уравнение является линейным. Полагаем , тогда и уравнение преобразуется к виду

или

Так как один множитель можно выбрать произвольно, то выберем в качестве какой-либо частный интеграл уравнения . Тогда для отыскания получим уравнение

решим уравнение . Имеем

В качестве выбран частный интеграл уравнения при

Подставим значение во второе уравнение и решая его, найдем , как общий интеграл этого уравнения

Дифференциальные уравнения второго порядка

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка. Общий вид такого уравнения , где искомая неизвестная функция, и - её производные по , а - заданная функция переменных x, y, y',

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция от и произвольных постоянных и , обращающая это уравнение в тождество по x.

Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении и : , где и - фиксированные числа.

Частным интегралом уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении и : , где и - фиксированные числа.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию , . Постоянные и определяются из системы уравнений

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (1)

где и некоторые числа.

Если , то дифференциальное уравнение называется однородным. Оно имеет вид

(2)

Справедлива теорема: если и частные решения уравнения (2), причем , то функция , где и произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения

Решением данного дифференциального уравнения (2) должна быть такая функция, которая, будучи подставленной в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции и её производных и , взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма обратилась в нуль, надо, чтобы , и были подобны между собой.

Такой функцией является функция , где постоянная. Требуется подобрать так, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению (2).

Так как , а , то, подставляя эти значения , и в левую часть уравнения (2), получим

Сокращая на множитель , не обращающийся в нуль, получим характеристическое уравнение

(3)

Это уравнение определяет те значения , при которых функция является решением дифференциального уравнения (2).

При решении характеристического уравнения (3) возможны три случая:

№	Корни уравнения	Частные решения	Общее решение
1	Действительные различные
2	Действительные равные
3	Комплексно-сопряженные

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

,

.

Корни характеристического уравнения являются действительными и различными. Поэтому , частные решения, а общее решение данного уравнения.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение

или

имеет действительные равные корни . Поэтому и частные решения, а общее решение данного дифференциального уравнения.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

, ,

Корни уравнения являются комплексно-сопряженными. Поэтому , частные решения, а общее решение данного дифференциального уравнения.

3. Задание для самостоятельной работы:

1.Найти общее решение дифференциального уравнения.

2.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

3.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.

4.Найти общее решение дифференциального уравнения.

5.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения

6.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.

7.Найти общее решение дифференциального уравнения.

8.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

9.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.

10.Найти общее решение дифференциального уравнения.

11.Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

12.Найти частное решение однородного дифференциального уравнения.

13.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

14.Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения:

15.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

16.Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения:

17.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися

переменными:

.

18.Найти общее решение однородного линейного дифференциального уравнения:

.

19.Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися

переменными:

.

20.Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

Список литературы

1. Т. Лисичкин, “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные задания. Москва, 1987г (стр. 114-125)

2. И. Валуце “Математика для техникумов (стр. 316-339)

Практическое работа №5.

Тема: Основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки и сочетания. Случайные события, вероятность события.

1. Цель: Выработать навыки и умения по вычислению основных понятий комбинаторики - размещений, перестановок и сочетаний, научиться применять их для решения простейших комбинаторных задач. Выработать навыки и умения по вычислению вероятности событий, используя классическое определение вероятности при решении простейших задач.

2. Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Основные понятия комбинаторики.

При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой. Комбинаторика широко применяется в теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории управляющих систем и вычислительных машин и других разделах науки и техники.

1. Размещения

Определение 1. Пусть дано множество, состоящее из элементов. Размещением из п элементов по т элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее различных элементов данного множества.

Из определения вытекает, что размещения из элементов по элементов - это все - элементные подмножества, отличающиеся составом элементов или порядком их следования.

Число всех возможных размещений из элементов по элементов обозначают и вычисляют по формуле

Число всех возможных размещений из элементов по элементов в каждом равно произведению последовательно убывающих натуральных чисел, из которых большее есть .

Для кратности произведение первых натуральных чисел принято обозначать (−факториал).

Условились считать, что

Тогда формулу числа размещений из элементов по элементов можно записать в другом виде:

.

Условились считать, что

Пример 1. В группе из 30 учащихся нужно выбрать комсорга, профорга, физорга. Сколькими способами это можно сделать, если каждый из 30 учащихся комсомолец, член профсоюза и спортсмен?

Решение. Искомое число способов равно числу размещений из 30 элементов по 3 элемента. Положив , а , получаем

Пример 2. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Решение. Передача фотокарточки одним учащимся другому есть размещение из 30 элементов по 2 элемента. Искомое число фотокарточек равно числу размещений из 30 элементов по 2 в каждом:

2. Перестановки

Определение 2. Перестановкой из элементов называется размещение из элементов по элементов.

Так как каждая перестановка содержит все элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число всех возможных перестановок из элементов обозначают . Из определения перестановок следует

Пример 3. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т. е.

Пример 4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?

Решение. По условию дано множество из четырех элементов, которые требуется расположить в определенном порядке. Значит, требуется найти количество перестановок из четырех элементов:

т. е. из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 четырехзначных числа (без повторений).

3. Сочетания

Определение 3. Пусть дано множество, состоящее из элементов. Сочетанием из элементов по т элементов называется любое подмножество, которое содержит т различных элементов данного множества.

Следовательно, сочетания из элементов по т элементов - это все т -элементные подмножества - элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными.

Число всех возможных сочетаний из элементов по т элементов обозначают и вычисляют по формуле

Число сочетаний обладает следующим свойством:

Пример 5. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

Решение. Так как игра любой команды А с командой В совпадает с игрой команды В с командой А, то каждая игра есть сочетание из 20 элементов по 2. Искомое число всех игр равно числу сочетаний из 20 элементов по 2 элемента в каждом:

Пример 6. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Случайные события. Вероятность события

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого произойдет какое-либо событие.

Например, бросание монеты − испытание; появление герба или цифры − события.

Случайным событием называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие». Например, выстрел по цели − это опыт, случайные события в этом опыте −попадание в цель или промах.

События могут быть достоверными, невозможными и случайными. Те события, которые обязательно произойдут при осуществлении определённой совокупностей условий (или в результате опыта), называют достоверными. Событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий, называют невозможным. События, которые при испытании могут произойти, а могут и не произойти, называют случайными.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе (т. е. появление одного из них исключает появление другого). В противном случае события называются совместными. Например, попадание и промах при одном выстреле − это несовместные события.

События называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.

Например, если произведено два выстрела по мишени, то события −«два попадания», −«только одно попадание», −«ни одного попадания» попарно несовместны.

Несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Например, учащемуся на экзаменах достался билет с двумя теоретическими вопросами. События −«учащийся знает оба вопроса», −«учащийся знает первый вопрос», −«учащийся знает второй вопрос», −«учащийся знает только один вопрос», −«учащийся не знает ни одного из вопросов» образуют полную систему событий, среди которых имеются как несовместные и , и и другие, так и совместные

Различают события элементарные и составные. Множество всех элементарных событий, связанных с некоторым опытом, называется пространством элементарных событий. Каждое событие определяется как подмножество во множестве элементарных событий А. При этом те элементарные события, при которых событие А наступает (т. е. принадлежит подмножеству А), называются благоприятствующими событию А.

Пустьслучайное событие, связанное с некоторым опытом. Повторим опыт раз в одних и тех же условиях и пусть при этом событие А появилось т раз.

Определение 1. Отношение числа т опытов, в которых событие А появилось, к общему числу п проведённых опытов называется частотой события А.

Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Например, при многократном бросании игральной кости частота выпадения каждого из чисел очков от 1 до 6 колеблется около числа 1/6.

Свойство устойчивости частоты случайного события было подмечено и на явлениях демографического характера. Подсчитано, например, что частота рождения мальчика колеблется около числа 0,517.

Описанные в приведенных примерах явления, а также неоднократные наблюдения и других массовых явлений позволяют сделать вывод, что если опыт повторяется в одинаковых условиях достаточно большое количество раз, то частота некоторого события А приобретает статистическую устойчивость, колеблясь около некоторой постоянной величины к которой она все более приближается с увеличением числа повторений опыта.

Определение 2. Постоянная величина , к которой все более приближается частота событий А при достаточно большом повторении опыта, называется вероятностью события А (или числовой мерой степени объективной возможности события) и обозначается .

Классическое определение вероятности

Пусть из системы несовместных равновозможных исходов испытания исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятностью события называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию , к числу всех исходов данного испытания:

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Если достоверное событие, то и ; если невозможное событие, то и ; если случайное событие, то и .

Таким образом, вероятность события заключается в следующих пределах: .

Пример 7. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие )?

Решение. Число равновозможных независимых исходов равно

Событию благоприятствуют исходов. Следовательно,

Пример 8. Девять различных книг расставлены на удачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие )?

Решение. Число равновозможных независимых исходов равно . Подсчитаем число исходов , благоприятствующих событию . Представим себе, что четыре определенные книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке способами (связка плюс остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из способов образования связки, т. е. . Следовательно, .

3. Задание для самостоятельной работы:

1 .Из урны, в которой находится 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется чёрным.

2.Из урны, в которой находится 12 белых и 8 чёрных шаров, вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба окажутся чёрными.

3.В партии из 15 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 7 взятых наугад деталей будет 5 стандартных.

4 .Из урны, в которой находится 5 белых и 3 чёрных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.

5.Из урны, в которой находится 12 белых и 8 чёрных шаров, вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба окажутся белыми.

6.В партии из 11 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наугад деталей будет 3 стандартных.

7 .Из урны, в которой находится 6 белых и 4 чёрных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется чёрным.

8.Из урны, в которой находится 10 белых и 12 чёрных шаров, вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они окажутся чёрными.

9.В партии из 13 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 8 взятых наугад деталей будет 3 нестандартных.

10 .Из урны, в которой находится 6 белых и 4 чёрных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.

11.Из урны, в которой находится 10 белых и 12 чёрных шаров, вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они окажутся белыми.

12.В партии из 14 деталей 9 стандартных. Найти вероятность того, что среди 8 взятых наугад деталей будет 3 нестандартных.

Список литературы

1. Т. Лисичкин, “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные задания. Москва, 1987г (стр. 126-132)

2. И. Валуце “Математика для техникумов (стр. 351-369)