Методические указания для студентов-заочников по проведению (стр. 3 )

(1)

Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и

х ах

Свойства определенного интеграла

Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю

2. При перестановки пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части

, где

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

Непосредственное вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница

т. е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1)  найти неопределенный интеграл от данной функции;

2)  в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3)  из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:

Вычисление определенного интеграла методом подстановки

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2) найти новые пределы определенного интеграла;

3) найти дифференциал от обеих частей замены;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получится табличный интеграл);

5) вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной . При получаем , при получаем .

Выразив подынтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим

Пример 11. Вычислить интеграл

Решение. Положим , тогда и . Определим пределы интегрирования для переменной . При получаем , при получаем .

Выразив подынтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим

Пример 12. Вычислить интеграл

Решение. Произведем подстановку , тогда , . При получаем , при получаем .

Выразив подынтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим

3. Задание для самостоятельной работы.

1.  Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

а) б)

2.  Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

а) б) в)

3.  Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

а) б)

4.  Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

а) б) в)

5.  Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

а) б)

6.  Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

а) б) в)

7.  Вычислить методом непосредственного интегрирования следующие определенные интегралы:

а) б)

8.  Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

а) б) в)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

Геометрический смысл определённого интеграла

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции (где ), осью и отрезками прямых и (рис. 1), вычисляется по формуле:

, где . (1)

рис.1

Пример 13.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс (рис.2).

Решение

Применяя формулу (1), получаем

 

рис.2 рис. 3

Площадь фигуры АВСD (рис. 3), ограниченной графиками непрерывных функций и , (где ) и отрезками прямых и , вычисляется по формуле

, где (2)

Пример 14.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью (рис.4).

Решение.

Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций и . Для этого решим систему

Имеем , , , .

Теперь найдем искомую площадь по формуле (2):

рис.4

Пример 15. Найти площадь фигуры, заключённой между y = x3 , x = -1. x = 2 и осью OX (рис.5 )

рис.5

Решение.

y = x3; y = 0 → x = 0; y’ = 3x2; y’ = 0 → x = 0; y” = 6x;

y” (0) = 0; y”(-1) = -6; y”(1) = 6;

y” меняет знак → (0;0) – точка перегиба.

Искомая площадь состоит из двух частей;

(кв. ед.)

3. Задание для самостоятельной работы.

1. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , , , ;

б) , ; ;

в) , ;

2. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , , , ;

б) , ; ;

в) , ;

3. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , ;

б) , ; ;

в) , , ;

4. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , , ;

б) , ; ; ;

в) , ;

Список литературы

1. Т. Лисичкин, “Математика”, часть Ⅱ. Контрольные задания. Москва, 1987г (стр. 90-107)

2. И. Валуце “Математика для техникумов” (стр. 247-281)

Практическая работа № 4.

Тема: Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

1. Цель: Выработать навыки и умения при решении дифференциальных уравнений 1-го порядка (с разделяющимися переменными и однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами), навыки нахождения их общего и частного решений.

2. Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения , где искомая неизвестная функция, - её производная по , а - заданная функция переменных x, y, y'.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от и произвольной постоянной , обращающая это уравнение в тождество по x.

Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении , где - фиксированное число.

Частным интегралом уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении .

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра.

Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1, 2, 3,…), удовлетворяющего начальным условиям вида , , , , называется задачей Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию . Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через данную точку

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид такого уравнения

,

где -функции только от , -функции только от .

Поделив обе части уравнения на произведение , получим уравнение с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Замечание. Если произведение при и , то эти функции и являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях и уравнение не теряет числового смысла.

Пример 1. Решить уравнение. Найти частное решение , удовлетворяющее условию при .

Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения

.

Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде . Тогда

Подставив в общее решение значения и , получим , откуда .

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид .

Пример 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение. Так как , то

откуда

Разделим обе части уравнения на произведение

Преобразуем дробь:

Тогда

Интегрируя, находим

Для облегчения потенцирования и получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде . После потенцирования получим

,

откуда

или где .

Произведение при и при . При этих значениях и дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, поэтому и - решения уравнения, но решение входит в решение при .

Значит, решения уравнения имеют вид и .

Пример 3. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию при .

Решение. Так как , то

, откуда

Разделим обе части уравнения на :

Интегрируя, находим

или

После потенцирования получим решение

При и имеем , , откуда .

Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид

или

Линейные дифференциального уравнения первого порядка

Общий вид такого уравнения

, (1)

где и – заданные функции от . Это уравнение является линейным относительно искомой функции и её производной

Если , то линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным. Оно имеет вид и решается методом разделения переменных:

, ,

, ,

, , ,

где некоторая первообразная функции , а произвольная постоянная.

Если , то уравнение (1) принимает вид и решается методом разделения переменных

, , ,

где некоторая первообразная функции , а произвольная постоянная.

Существуют различные приемы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них.

1. Этот прием решения основан на применении следующей теоремы: если некоторое решение уравнения, то все решения этого уравнения задаются формулой