Урок алгебры в 11 классе по теме «Комплексные числа»
Учитель:
Ход урока
I. Вопросы для коллективного обсуждения
1. Какие причины вызвали необходимость расширения множества действительных чисел?
2. Определить комплексное число (алгебраическая форма) [ a = bi; Re Z=a, Jm Z = b
i – мнимая единица]
Чисто мнимое число?
3. По карточкам 2 человека у доски.
№1
1) Записать формулы сложения, умножения комплексных чисел в алгебраической форме.
2) Z1 = 5-3i; Z2 =-1+6i.
Найти a) Z1+ Z2 б) Z1* Z2 в) 
Решение
а) 4+3i
б) (-5+18; 3+30) = 13+33i
в) 
=
-
i =0,8-0,6i
№2
1. Рассмотрим степени мнимой единицы.
2. Выполнить действия:
+
=
+ i
=
- 1 = 
-1=
-1= i-1
3. Найдите комплексное число из условия.
Z
=3+4i
(x+yi)= x+2xyi-y= (x-y)+2xyi
3=x- y, x-y=3, x- 
-3=0,
4=2xy ; y=
; y=.
x
-3x-4=0
x= - 1, x= 4, ReZ = x 
x
- 1
x= 4 x = 
2 (2;1) (-2-1)
4. Какие комплексные числа называются сопряженными? При выполнении какого действия чаще всего используют сопряженные числа?
5. Какие комплексные числа называют обратными данному? Запишите формулы для нахождения числа, обратного данному комплексному числу.
W=
=
- 
i
6. Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел точками координатной плоскости.
7. Расскажите о геометрической интерпретации комплексных чисел с помощью вектора (полярная система координат).
8. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.
r=
=
;
j
Аргумент определяется неоднозначно.
j ; j + 2pn
Выбирается угол из (-p; p] и обозначается arg Z – главный аргумент.
Cвойства модуля:
=
z
z=2
=
9. Запишите комплексное число в тригонометрической форме.
а) i ;
б)-i;
в) 1+i.
а) r=
=1 cos j=
=0 j=
sinj=
=1 j=. i =cos+ i sin
 |
б) r=1 cos j==0 j=-
sinj=
= -1 j=-; - i=cos (
) + i sin(-)
в) r= 
cos j=
j=-
sinj= j= 1+i= (cos + i sin
)
10. Записать формулы для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел в тригонометрической форме.
Найдите все значения 
.
Решение:
1) -i= 0-I
2) 2) r==
=1
3) cos j=
sinj=
j=-
=
j= cos
+i sin
k=0 
-
k=1 45°
k=2 105°
k=3 165°
k=4 225°=-180°+45°=-135°
k=5 285°=-90°+15°=-75°
11. Доказать, что ни при каких значениях m комплексное число
log2 (m2-13m+44)-2+i
не может быть чисто мнимым.
Решение:
, m2-13m+44>0
log
>0,
m >o.
1. m2 –13m+44=4
m2 –13m+40=0 m=
=
m ± 5, m=8.
2. m2-13m+44>0 d=169-176<0 m-любое.
3. log2m-3>0, log2m>3 m>9
m=5<9, m=8<9
log(m2-13m+44)-2 0
При каких значениях x 
R комплексные числа
Z1=lg(2x2+x+1)+4xi и lg(x2+1)+(2x+1-3)i являются сопряженными?
| |
lg(2x2+x+1)= lg(x2+1), 2x2+x+1= x2+1
4x=3-2xх+2*2x-3=0
x2+x=0 x=0;-1
t2+2t-3=0 t=-3,1
2x=1 x=0
Ответ:
12. На координатной плоскости постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:
а) Rez + 1mz³2,
 |
б) Rez³2,
£1;
в) Re2z– 2Zmz=1 парабола.
Итог урока: домашнее задание 364,367.
