В таблице 3 приведены максимальные значения выхода ГФС-55 и оптимальные содержания СВ при m=1, 2, 3 и разных значениях параметров a и b в моделях, рассмотренных в этой главе.
Таблица 3 – Максимальные выходы ГФС-55 в математических моделях с уравнением растворимости Р=аСb
m | a = 1, b = 2 | a = 2, b = 2 | a = 1, b = 3 | a = 1, b = 1,5 | ||||
Вых, % | СВ, % | Вых, % | СВ, % | Вых, % | СВ, % | Вых, % | СВ, % | |
1 | 3,7 | 40,0 | 2,5 | 53,3 | 3,0 | 27,6 | 5,0 | 44,0 |
2 | 13,2 | 30,8 | 10,5 | 47,1 | 11,7 | 16,0 | 16,0 | 41,0 |
3 | 22,2 | 26,7 | 19,0 | 42,1 | 21,2 | 10,0 | 25,0 | 36,0 |
Анализ математических моделей показывает, что максимальный выход ГФС-55 при избирательной экстракции мало зависит от параметров уравнения растворимости (a, b) и определяется в основном технологическими условиями: количеством экстрагента m и составом исходного сиропа, т. е. значением параметра n, т. к. СВ = 100%/(n+1), где n = 1/х = MВ/МУ – отношение массы воды к массе углеводов в исходном инвертном сиропе.
Анализ зависимостей соотношения масс верхнего и нижнего слоя D1/D2, характеристик d1 и f1 от технологических параметров процесса m и n полностью подтвердил наблюдаемые экспериментально особенности избирательной экстракции фруктозы из инвертного сиропа, что наглядно демонстрирует адекватность построенных моделей на основе уравнения растворимости Р = аСb, правила параллельности нод и зависимости коэффициента обогащения от содержания воды в верхних и нижних фазах – (6) и (7).
Главной задачей в моделировании избирательной экстракции является вычисление координат У1,2 и В1,2 сопряженных точек Т1,2, являющихся точками пересечения бинодальной кривой с нодой, проходящей через фигуративную точку Т0 с координатами У0 и В0 на фазовой диаграмме Гиббса (рис. 8). Для этого, если коэффициент наклона ноды равен kн, а бинодальная кривая описывается уравнением растворимости вида Р=аСb, необходимо совместно решить уравнения бинодальной кривой (11) и ноды (12):
aBb = У(1 – У)b – 1 , (11)
В = kнУ + h, (12)
где h = В0 – kнУ0. (13)
Эта система решается аналитически с выражением координат У1 и У2 через так называемые элементарные функции от параметров а, h и kн при b, принимающем значения: 1; 1,5; 2 и 3. В других случаях (при b>1), как следует из теории алгебры, координаты У1 и У2 через элементарные функции не выражаются.
Для b = 1 из (11) получим
аВ = У. (14)
Решая совместно (14) и (12), найдем искомую величину У = У1
. (15)
Случай b = 2 приводит к квадратному уравнению, которое имеет решение
. (16)
В формуле (16) У = У2, если использовать положительное значение квадратного корня и У = У1, если использовать его отрицательное значение.
При b = 1,5 и b = 3, совместное решение уравнений (11) и (12) приводит к сложному кубическому уравнению общего вида относительно У. В этих случаях более просто решить соответствующие уравнения относительно переменной С, т. к. получаются уравнения в приведенном виде, для которых справедливо решение Кардано. Затем из полученных значений С1,2 легко вычислить У1,2 по формуле (17)
, (17)
которая является частным случаем уравнения ноды У = (С – h)/(C + kн), если в (12) произвести замену переменной В
В = С(1 – У) = С – СУ, (18)
т. к. по определению С = В/(1 – У).
Для получения алгебраического уравнения относительно С в случае описания бинодальной кривой либо ее участка уравнением растворимости Р = аСb используем еще один вид записи уравнения ноды, в котором переменные В и У заменим на переменные уравнения растворимости Р и С
, (19)
что легко сделать, если в исходное (12) подставить выражения (18) и (20)
. (20)
Уравнение (20) следует из определения Р = У/(1 – У).
Чтобы получить искомое уравнение относительно С для любых a, b, h и kн, необходимо левую часть (19) заменить в соответствии с уравнением растворимости на аСb, что дает
. (21)
Таким образом, для b = 3 уравнение (21) приобретает приведенный вид, т. е. не содержит члена со второй степенью неизвестного параметра С.
Необходимые значения С1 и С2 находим в соответствии с решением Кардано уравнения (21) при b = 3:
, (22)
. (23)
Рассмотри случай b = 1,5.
Если в (21) провести замену С = 1/z2, то получим кубическое уравнение относительно z в приведенном виде
z3 – z/h + a(kн + h)/h =
Решая (24) с привлечением формулы Кардано и сделав в решении обратную замену переменной, найдем искомые значения С1 и С2 для b = 1,5:
, (25)
. (26)
В других случаях (при b > 1), как следует из теории алгебры, координаты У1 и У2 через элементарные функции не выражаются, т. к. приводят к алгебраическому уравнению общего вида степени больше 3. Однако из этого не следует, что аналитическое решение невозможно.
Здесь приведем разработанный автором способ решения указанной задачи с помощью степенных рядов для любых значений а и b. В качестве примера рассмотрим практически интересный случай b=2,5 и а=2(2)1/3=2,52. Близкие параметры: b = 2,5 и а = 2,4 имеет уравнение растворимости вблизи критической точки К фазовая диаграмма системы «инвертный сироп –ацетон», для которой kн=1/а=0,397 (рис. 8).
Предлагаемый способ заключается в том, что система уравнений (11) и (12) заменяется эквивалентным уравнением вида
1 + х – f = (1 – ux)1-1/b(1 + vx)1/b, (27)
где х = (У – Ук)/(аВк), (28)
f = (hк – h)/Вк, (29)
u = аВк/(1 – Ук), (30)
v = аВк/Ук. (31)
Уравнение (27) эквивалентно уравнению
В/Вк = [(1 – У)/(1 – Ук)]1-1/b(У/Ук)1/b, (32)
которое следует из уравнения (11), т. к. критическая точка с координатами Ук и Вк лежит на бинодальной кривой.
В рассматриваемом примере b=2,5; а=2(2)1/3=(4)2/3 и критические параметры точки К соответственно равны
Ук = 0,2,
Вк = 0,2(4)1/3,
hк = Вк – Ук/а = 0,15(4)1/3,
что дает u = 1 и v = 4. Таким образом, из (27) – (31) получим уравнение относительно неизвестного х при заданном значении f
1 + х – f = (1 – х)0,6(1 + 4х)0,4. (33)
Из алгебры известно, что в случае f(x), задаваемой уравнением (33), искомая обратная функция х = х(f) не выражается через элементарные функции, т. к. относительно х (33) является алгебраическим уравнением пятой степени общего вида. Тем не менее, функцию х(f) можно выразить с помощью степенного ряда. Приведем способ построения последнего.
Правую часть уравнения (33) представим в виде степенного ряда, перемножая ряды Маклорена-Тейлора для биномов (1 – х)0,6 и (1 + 4х)0,4:
(1–х)0,6(1+4х)0,4 = 1+x–3x2+5x3–13x4+36,6x5–111,4x6+354,2x7–1164x8 + … . (34)
Из уравнений (33) и (34) получаем
f/3 = x2(1 – 5x/3 + 13x2/3 – 12,2x3 + 111,4x4/3 – 354,2x5/3 +388x6 – …). (35)
Извлечем из обеих частей уравнения (35) квадратный корень, что дает
g = ± (f/3)1/2 = x(1 – 5x/6 + 131x2/72 – 990,1x3/216 + 67867,1x4/5184 – 11x5/31104 + 781x6/62208 – …). (36)
После обращения ряда (36) найдем решение уравнения (33) относительно х:
x = g+5g2/6–31g3/72–14g4/135–407g5/17280–193g6/1215+673171g7/6220800 – … . (37)
Необычное чередование знаков в ряду (37) косвенно указывает на нетривиальность искомой функции х = х(f) = х(g(f)).
Подставляя в этот степенной ряд значение g = g2 = (f/3)1/2, получим х = х2, а при g = g1 = – (f/3)1/2 получим х=х1, из которых вычисляются У1 и У2 из формулы (28):
У1,2 = аВкх1,2 + Ук = 0,8х1,2 + 0,2. (38)
С помощью ряда (37) провели расчет эффективности (Вых – выход ГФС-55 в %) экстракции фруктозы из инвертных сиропов ацетоном при условии описания бинодальной кривой общим уравнением растворимости Р = 2,52С2,5 (рис. 9) для разных СВ сиропа и глубины экстракции (m=МА/МВ – отношение масс ацетона и воды), используя промежуточные формулы:
d1 = (У1/У0)D1= У1(У2 – У0)/[У0(У2 – У1)], (39)
(С2/С1)2,5 = Р2/Р1 = У2(1 – У1)/[У1(1 – У2)],
k = 0,420 lg(C2/C1) + 0,913,
f1 = 0,5k/[1 + (k – 1)d1], (40)
Вых = 2000(f1 – 0,5)d1.
где D1 – массовая доля верхнего слоя (экстракта), С2/С1 – отношение содержания воды в нижнем и верхнем слоях, У1 и У2 – координаты точек Т1 и Т2 бинодальной кривой составов сопряженных фаз, на которые распадается смесь, усредненный состав которой отображается фигуративной точкой Т0 (У0, В0). Уравнение (39) вытекает из свойств треугольника Гиббса, уравнение (40) следует из определения k и материального баланса фруктозы (8).
Результаты расчета сравнили с экспериментальными данными (см. главу 6) (рис. 10, 11).
На рисунках 10 и 11 VA/VB=m/0,79 – отношение объема добавленного ацетона к объему воды в исходном сиропе (0,79 – относительная плотность ацетона).
Расчетные зависимости для модели Р=2,52С2,5 близки к экспериментальным при неглубокой экстракции (m<2), хотя при этом модельные расчеты предсказывают быстрое достижение предела эффективности (рис. 11) с увеличением количества (m>3) добавленного экстрагента (ацетона), в то время как наблюдаемый выход ГФС-55 непрерывно растет. Отсюда следует, что адекватную экспериментальным данным математическую модель экстракции фруктозы ацетоном из инвертных сиропов, опираясь на единственное уравнение растворимости Р = аСb с фиксированными значениями а и b, создать невозможно. Для этой цели бинодальную кривую следует условно разбить на несколько частей с различными а и b, но с тем же типом уравнения растворимости, как это будет сделано в главе 6.
|
|
Практически для разбиения бинодальной кривой во всех случаях построения соответствующих математических моделей (для экстракции ацетоном и изопропанолом), как показали вычисления, достаточно использовать значения b, равные: 1; 1,5; 2; 2,5 и 3.
Изложенный в этом пункте новый математический метод позволяет точно рассчитать результаты моделирования экстракции фруктозы из инвертных сиропов для любого вида бинодальной кривой при соблюдении правила параллельности нод.
Глава 6. Математическое моделирование и технология получения ГФС-55 из инвертных сиропов методом избирательной экстракции
Для построения адекватной математической модели процесса экстракции инвертного сиропа изопропанолом, экспериментально полученную бинодальную кривую можно условно разбить на три участка, которые описываются уравнениями растворимости Р углеводов от содержания воды в смешанном растворителе С вида: левый – Р = 0,6С, средний – Р = 2С2, правый – Р = 3С3, где Р = МУ/(МВ+МИ)=У/(1–У). Среднюю часть бинодальной кривой отсекает граничная нода (нода изображена на рис. 12), имеющая наклон kн = dB/dУ = 0,31:
В = (9У + 6)/29 = 0,310У + 0,2
Такое же значение (0,31) имеет наклон касательной к бинодальной кривой в критической точке К (Ук=0,300, Вк=0,324), а также усредненный наклон экспериментальных нод, которые практически параллельны друг другу. Правило параллельности нод позволило при математическом моделировании задать явный вид уравнения ноды, проходящей через точку Т0 с координатами У0 и В0:
В = 0,31(У – У0) + В0. (42)
Функциональная связь между координатами треугольника Гиббса (рис. 12) трех участков бинодальной кривой имеет вид: В = У/0,6 – для левого, В = [У(1 – У)/2]1/2 – для среднего, В = [У(1 – У)2/3]1/3 – для правого участков.
Методика вычислений различна для случаев, когда точка Т0 лежит выше или ниже граничной ноды. Если В0 ≥ (9У0 + 6)/29, т. е. Т0 находится выше граничной ноды, то в уравнение В = [У(1 – У)/2]1/2 следует подставить уравнение (42), что приводит к простому квадратному уравнению относительно У с решением (16), подставляя в которое h = В0 – kнУ0, получим :
, (43)
где а = 2 и kн = 0,31 – коэффициент наклона ноды, координаты фигуративной точки соответственно равны:
У0 = 1/(mn + n + 1), (44)
B0 = n/(mn + n + 1), (45)
в которых m=МИ/МВ=0,785VИ/VВ, где 0,785 – относительная плотность изопропанола и n = МВ/МУ.
Методически для решения ключевой задачи для условия В0 < (9У0 + 6)/29 первоначально удобнее вычислять С2 и P2, а затем из полученных значений находить У2 и B2 (23):
. (46)
Чтобы найти У2, применяли последовательно уравнения:
Р2 = 3С23, (47)
У2 = Р2/(Р2 +
Вычислить У2 можно также по формуле (17): У2 = (С2 – h)/(C2 + kн).
Для случая В0 < (9У0 + 6)/29, т. е. когда фигуративная точка Т0 лежит ниже граничной ноды (41), левая часть бинодальной кривой представляет собой прямую линию и легко показать, что согласно (15) У1 можно рассчитать
У1 = [0,6(В0 – 0,31У0)]/(1 – 0,6∙0,31) = 0,737(В0 – 0,31У
Для определения В1 и В2 использовали уравнение (42)
В1 = 0,31(У1 – У0) + В0, (50)
В2 = 0,31(У2 – У0) + В0. (51)
Для моделирования использовали также экспериментально установленную линейную зависимость коэффициента обогащения фруктозой верхнего слоя k от логарифма отношения концентраций воды нижней и верхней фаз С2/С1 (7):
k = 0,297 lg(C2/С1)+0,935,
где k = f1/f2; f1 и f2 – соответственно относительное содержание фруктозы к СВ в верхней и нижней фазах.
Расчетное значение k по уравнению (40) позволяет при математическом моделировании определить параметр f1, входящий в формулу (9) для вычисления выхода ГФС-55. Если параметры f1 и f2, так же, как d1 и d2, экспериментально определялись непосредственно хроматографически и затем, исходя из этих значений, вычислялся коэффициент k = f1/f2 для построения рис. 5, то для модельных расчетов первоначально вычисляли k по уравнению (7), а затем – f1 по формуле (40) после расчета k и d1 – по формуле (39).
Таким образом, были вычислены целевые модельные зависимости параметров d1, f1 и выхода ГФС-55 (Вых) от количества добавленного экстрагента VИ/VВ, к исходному сиропу с концентрацией СВ 54,5 % (рис. 13). Из рисунка видно, что математическая модель достаточно точно описывает экспериментальные данные и поэтому может быть использована для расчета аналогичных зависимостей во всем диапазоне изменения СВ (рис. 14).
|
|
Алгоритм вычислений математической модели заключается в следующем.
Для заданной пары m и n (то есть для заданных параметров СВ и m=МИ/МВ) по формулам (44), (45) вычисляют У0 и В0. Затем рассчитывают координаты У1 и У2 по формулам либо (43), либо (46) – (49), а также В1 и В2 – по формулам (50), (51). Параметр d1 вычисляют по формуле (39). Параметр f1 вычисляют по формуле (40), перед чем используют расчет k по формуле (7), в которую входят значения С1 и С2, определяемые из С1,2 = В1,2/(1 – У1,2). Окончательно из d1 и f1 по формуле (9) находят целевое значение выхода ГФС-55.
Из рис. 14 видно, что наибольший выход ГФС%) достигается при экстракции исходного инвертного сиропа с содержанием СВ 52-55 % (исключая неэффективную экстракцию при m = 1). Так как такое содержание сухих веществ характерно для водного раствора сахарозы после выпарной установки в сахарном производстве, то он после инвертации может быть использован для получения высокофруктозного сиропа с помощью экстракции изопропанолом без дополнительного уваривания или разбавления.
Аналогичным образом была построена модель избирательной экстракции фруктозы из инвертного сиропа ацетоном и получено соответствие модельных и экспериментальных данных (см. рис. 15, 16). Оказалось, что для построения математической модели экстракции инвертных сиропов ацетоном, соответствующей экспериментальным данным, бинодальную кривую следует условно разбить на четыре участка с разной функциональной зависимостью В(У), которые описываются уравнениями растворимости вида: первый – Р = 0,22С, второй – Р = 0,6С1,5, третий – Р = 2,4С2,5, четвертый – Р = 3С3.
Результаты моделирования зависимости характеристик процесса от технологических параметров m и n в их широком диапазоне изменения приведены на рисунках 17, 18, 19 и 20.
Из рис. 17 и рис. 20 видно, что экстракция большим количеством ацетона (VA/VВ>3) более эффективна для разбавленных растворов инвертного сахара (СВ=31…41 %), чем средних концентраций (СВ > 50 %), в то время, как при экстракции изопропанолом наблюдается обратная зависимость.
В начале исследования, исходя из первичных экспериментальных данных, было высказано предположение, что оптимальным составом при экстракции фруктозы ацетоном является критический сироп, содержащий 40,0…41,2 % СВ и дающий максимальный выход ГФС-55 при VA/VВ = 3 (см. рис. 20). Несмотря на относительно большую формально вычисленную по уравнению (9) эффективность экстракции при VA/VВ = 5 состава с СВ=31 %, чем критического сиропа, необходимое минимальное содержание фруктозы 55 % в этом случае не достигается (рис. 19). Учитывая необходимость большого объема экстрагента (VA/VВ > 5) для получения высокофруктозного сиропа (f1 > 55 %) и большое содержание воды по отношению к количеству растворенного инвертного сахара в случае сиропов менее концентрированных, чем критический, с технологической и экономической точек зрения их экстракция не эффективна. Таким образом, сделанный ранее вывод об оптимальности критического инвертного сиропа при экстракции фруктозы ацетоном подтвердился модельными расчетами.
На рис. 21 приведены экспериментальные зависимости выхода ГФС-55 от глубины экстракции (Vорг/VВ – отношение объема органического растворителя к объему воды, содержащейся в сиропе) оптимальных составов сиропов: 41,2 % СВ – для ацетона и 54,5 % СВ для изопропанола. Видно, что при Vорг/VВ ≥ 3 эти зависимости практически совпадают, поэтому об эффективности экстракции обоими растворителями можно судить в целом: выход ГФС-55 достигает 20…50% и возрастает с увеличением объема добавленного экстрагента. Вместе с тем для экстракции сиропов средней концентрации 50…55 % СВ более эффективным является изопропанол, для сиропов с меньшей концентрацией – ацетон.
Разработана технология глубокой очистки диффузионного сока для получения высокофруктозных сиропов из сахарной свеклы. Способ и технологическая схема очистки диффузионного сока с отделением преддефекационного осадка, увеличивающие общий эффект очистки сока на 7,6%, внедрены на Товарковском сахарном заводе и сахар». Способ очистки диффузионного сока с рациональным распределением извести перед I и II сатурациями внедрен на Товарковском сахарном заводе. Указанные способы защищены патентами РФ (№ 000 и № 000).
|
|
|
|
Разработана комплексная технология и принципиальная технологическая схема получения высокофруктозных сиропов из диффузионного сока глубокой очистки методом избирательной экстракции.
Разработаны новые рецептуры газированных безалкогольных напитков на основе вишневого сока и грушевой эссенции с полной заменой сахара на высокофруктозный сироп, полученный по предложенной технологии. Напитки получили высокую органолептическую оценку. Подготовлен проект технических условий на напиток «Вишневый без сахара».
Глава 7. Математическое моделирование и технология получения ВФС методом избирательной кристаллизации
Процесс получения ГФС-100F из ГФС-100f0 (F > f0) состоит из двух технологических стадий: первая – кристаллизация, при которой межкристальная жидкость обогащается фруктозой до ее содержания f1 > F, вторая – доведение содержания фруктозы до конечного значения F путем разбавления отделенной и отфильтрованной межкристальной жидкости исходным ГФС-100f0.
В работе для оценки выхода сухих веществ ГФС-100F по отношению к массе сухих веществ ГФС-100f0, который обозначим Y100F, выведено уравнение
, (52)
частным случаем которого при F = 0,55 и f0 = 0,5 является формула расчета выхода ГФС-55 – (9).
Впервые введен интегральный показатель эффективности разделения глюкозы и фруктозы при избирательной кристаллизации Е и приведены формулы ее расчета
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
