.
Для вектора x с независимыми компонентами ковариационная матрица диагональная:
.
Поэтому компоненты матрицы 
имеют вид: 
.
Найдем плотность распределения произвольного гауссовского случайного вектора по его характеристической функции.
.
Учитывая представление ковариационной матрицы через собственные вектора, получим:
.
Сделаем в этом многомерном интеграле замену переменных вида 
. Тогда 
. Пределы интегрирования также не изменятся. Якобиан преобразования здесь равен определителю матрицы Y, следовательно единице.
Таким образом:
.
Введем обозначения:
. С учетом этих обозначений подынтегральное выражение можно записать в виде:
.
Плотность распределения случайного вектора примет вид:
.
Нетрудно видеть, что сомножители под знаком произведения представляют собой обратное преобразование Фурье от характеристической функции гауссовской случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. То есть это гауссовская плотность распределения случайной величины, зависящая от переменной 
.
Учитывая это, получим:
.
Преобразуем это выражение:
.
Здесь учтено, что 
.
Заметим, что 
.
Тогда для плотности распределения получим:
И последнее, учитывая, что 
, окончательно получим:
Используя определение скалярного произведения и определение произведения матрицы на вектор, эту плотность можно записать в следующем виде:
.
Таким образом, плотность распределения гауссовского случайного вектора полностью определяется вектором математических ожиданий 
и ковариационной матрицей 
Подытожим свойства гауссовского случайного вектора.
1. Плотность распределения:.
2. Характеристическая функция:
.
3. Из некоррелированности координат гауссовского случайного вектора следует их статистическая независимость.
4. Линейное преобразование гауссовского случайного вектора 
есть гауссовский случайный вектор с математическим ожиданием 
и ковариационной матрицей 
.
3.10. Функциональные преобразования случайного вектора
При решении практических задач часто возникает необходимость находить закон распределения случайного вектора, который представляет собой некоторое функциональное преобразование известного случайного вектора.
Математически эта задача записывается следующим образом:
Дан случайный вектор 
с известной плотностью распределения 
. Этот вектор подвергается преобразованию вида:
.
Найти плотность распределения случайного вектора 
.
Предполагается, что преобразование вектора 
в вектор 
взаимно однозначно.
Для нахождения плотности распределения вектора будем рассуждать следующим образом:
Для любого борелевского множества В в 
вероятность попадания вектора в это множество равна: 
. При преобразовании 
множество В преобразуется в некоторое множество 
и вероятность попадания вектора во множество В такая же как вероятность попадания вектора во множество . Следовательно:
.
Сделаем в интеграле 
замену переменных вида:
.
При таком преобразовании множество В отобразится во множество . Так как преобразование взаимно однозначно, то существует обратное преобразование, которое можно записать так:
Якобиан этого преобразования имеет вид: 
(модуль определителя соответствующей матрицы).
Поэтому в соответствии с правилами замены переменных в многомерном интеграле, получим:
Следовательно, плотность распределения вектора равна:
.
3.10.1. Закон распределения суммы двух случайных величин
Пусть задан вектор 
с плотностью распределения 
. Найти закон распределения случайной величины 
.
Для того, чтобы применить выведенную выше формулу для плотности распределения при функциональном преобразовании необходимо построить соответствующее взаимно однозначное отображение вектора в вектор 
. Найти плотность распределения вектора , а затем интегрированием найти плотность распределения первой компоненты этого вектора.
В качестве взаимно однозначного преобразования можно взять такое:
.
Обратное преобразование имеет вид:
.
Якобиан этого преобразования: 
(модуль определителя).
Плотность распределения вектора :
.
Таким образом, плотность распределения суммы двух случайных величин равна:
Если в качестве взаимно однозначного преобразования взять:
,
то нетрудно проверить, что получим следующее выражение для плотности распределения:
.
Если случайные величины 
и 
независимы, то плотность распределения суммы равна:
.
Заметим, что интеграл такого вида называется интегралом свертки.
Символически свертку двух плотностей распределения записывают в виде:
.
Свертка двух функций обладает следующим свойством:
1. 
Таким образом, плотность распределения суммы n независимых случайных величин имеет вид:
.
3.10.2. Закон распределения разности двух случайных величин
В данном случае 
.
В качестве взаимно однозначного преобразования можно взять такое:
.
Обратное преобразование имеет вид:
.
Якобиан этого преобразования: 
.
Плотность распределения вектора :
.
Таким образом, плотность распределения суммы двух случайных величин равна:
Если в качестве взаимно однозначного преобразования взять:
,
то нетрудно проверить, что получим следующее выражение для плотности распределения:
.
Если случайные величины и независимы, то плотность распределения разности равна:
.
3.10.3. Закон распределения произведения двух случайных величин
При нахождении закона распределения произведения двух случайных величин 
в качестве взаимно однозначного преобразования можно взять такое:
.
Обратное преобразование имеет вид:
.
Якобиан этого преобразования: 
.
Плотность распределения вектора :
.
Таким образом, плотность распределения произведения двух случайных величин равна:
.
Если взять другой вид взаимно однозначного преобразования: 
, то получим другой вид плотности распределения произведения двух случайных величин:
Плотность распределения произведения двух независимых случайных величин примет вид:
.
3.10.4. Закон распределения отношения двух случайных величин
При нахождении закона распределения отношения двух случайных величин 
в качестве взаимно однозначного преобразования можно взять такое:
, или такое: 
.
Обратное преобразование имеет вид:
или 
.
Якобиан этих преобразований: 
или 
.
Плотность распределения вектора :
.
Таким образом, плотность распределения отношения двух случайных величин равна:
.
Плотность распределения отношения двух независимых случайных величин примет вид:
.
3.10.5. Закон распределения модуля и фазы гауссовского случайного вектора
Рассмотрим координатную плоскость и точку на этой координатной плоскости (рис. 16):
Рис. 16
Декартовы координаты этой точки являются случайными величинами 
.
Положение этой же точки можно представить также в полярных координатах: 
.
При этом 
Если известен закон распределения декартовых координат случайного вектора, то можно найти закон распределения его полярных координат.
Полярные координаты вектора обычто называют: длина вектора это модуль вектора 
, а угол между вектором и осью абсцисс называют фазой вектора 
.
Таким образом, из условия задачи необходимо найти закон распределения модуля и фазы случайного вектора, если известен закон распределения его декартовых координат.
Применим формулы функционального преобразования. Вначале найдем обратное преобразование. То есть выразим декартовы координаты вектора через полярные координаты:
.
Таким образом, обратное преобразование имеет вид:
.
При этом 
.
Якобиан преобразования:
.
Плотность распределения полярных координат равна:
Если декартовы координаты вектора независимы и распределены по гауссовскому закону с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией 
, то плотность распределения полярных координат можно записать в виде:
.
Выполнив вычисления, приведем эту плотность распределения к виду:
,
где
,
.
Таким образом, мы получили, что случайные величины: модуль и фаза гауссовского вектора с независимыми и одинаково распределенными компонентами также независимы.
Закон распределения модуля называется законом распределения Релея, а закон распределения фазы – равномерным законом.
С другой стороны, если известно, что случайные величины 
и 
независимы, распределена по закону Релея, а по равномерному в 
закону, то случайные величины: 
и 
также независимы, имеют нулевое математическое ожидание и распределены по гауссовскому закону с одинаковой дисперсией .
3.11. Комплексные случайные величины и векторы
В физике и технике наряду с действительными числами широко используются комплексные числа. Точно также, наряду с действительными случайными величинами можно ввести понятия комплексных случайных величин и векторов.
Определение. Комплексной случайной величиной 
назвается совокупность двух действительных случайных величин и составляющих по правилу образования комплексных величин: 
. Здесь j — мнимая единица (
).
Определение. Математическим ожиданием комплексной случайной величины называется:
.
Определение. Центрированной комплексной случайной величиной называется 
.
Определение. Математическим ожиданием произвольной функции от комплексной случайной величины называется:
.
Определение. Дисперсией комплексной случайной величины называется: 
.
Заметим, что комплексную случайную величину можно представить в алгебраическом виде: или в экспоненциальном виде: 
или в тригонометрическом виде: 
.
Например, рассматривая комплексное число как вектор в комплексной плоскости с координатами 
, которые являются гауссовскими независимыми одинаково распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием, можно записать плотность распределения этой комплексной величины:
через совместную плотность распределения ее компонент:
;
как плотность распределения самой комплексной случайной величины:
.
Заметим, что модуль и фаза этой комплексной случайной величины независимы. Модуль (случайная величина ) распределен по закону Релея, а фаза () по равномерному в отрезке закону.
Определение. Пусть 
- комплексный вектор; 
. Скалярным произведением комплексных векторов называется
.
Обозначим: 
- операция транспонирования и комплексного сопряжения.
Заметим, что для комплексных векторов 
. Для них справедливо соотношение: 
.
Пусть 
- комплексный случайный вектор.
Определение. Корреляционной матрицей комплексного случайного вектора назвается: 
.
Определение. Ковариационной матрицей комплексного случайного вектора назвается: 
.
Ковариационная и корреляционные матрицы комплексного случайного вектора являются неотрицательно определенными: 
, 
для любого комплексного вектора z.
Свойство симметричности корреляционных и ковариационных матриц действительных векторов переходят для комплексных векторов в свойство: 
. Комплексные матрицы с таким свойством называются эрмитовыми.
Комплексный случайный вектор представляет собой совокупность действительных случайных величин, объединенных в соответствии с определением комплексных величин. Например, для двумерного комплексного вектора необходима совокупность из четырех действительных случайных величин.
Закон распределения комплексного случайного вектора полностью определяется законом распределения совокупности действительных случайных величин, составляющих этот комплексный вектор.
Установим связь между ковариационной матрицей комплексного случайного вектора и ковариационной матрицей совокупности составляющих его действительных случайных величин.
Ковариационную матрицу комплексного случайного вектора представим в виде суммы двух действительных матриц (все матрицы квадратные размером 
):
.
Свойства этих матриц выведем из свойств неотрицательной определенности и эрмитовости.
Для любого комплексного вектора 
справедливо соотношение:
Мнимая часть этого соотношения должна быть равна нулю, поэтому должно выполняться соотношение:
.
Заметим, что матрица — эрмитова, поэтому 
. Отсюда следует, что 
.
Поэтому 
. Следовательно матрица 
должна еще обладать свойством: 
.
Таким образом, для любого комплексного вектора z квадратичная форма имеет вид:
.
Рассмотрим ковариационную матрицу соответствующего действительного случайного вектора размерности 
, которую представим в блочном виде:
, где подматрицы, составляющие матрицу 
, квадратные размером .
Так как ковариационная матрица действительного вектора симметрическая и неотрицательно определенная, то из условия 
, получим: 
.
Рассмотрим квадратичную форму для вектора 
.
.
Для того, чтобы эта квадратичная форма совпадала с квадратичной формой комплексного случайного вектора необходимо, чтобы выполнялись следующие условия для ковариационной матрицы действительного случайного вектора:
.
Таким образом, между ковариационной матрицей комплексного случайного вектора и ковариационной матрицей соответсвующего ему действительного вектора можно установить следующее взаимно однозначное соответствие:
. (8)
При этом сумме и произведению ковариационных матриц комплексных векторов соответствует сумма и произведение ковариационных матриц действительных векторов.
Определение. Комплексный случайный вектор 
называется комплексным гауссовским случайным вектором, если его действительная 
и мнимая часть 
являются совместно гауссовскими векторами и их совместная ковариационная матрица имеет вид (8).
Плотность распределения вероятностей комплексного гауссовского случайного вектора с математическим ожиданием 
и ковариционной матрицей 
имеет вид:
.
Соответствующая совместная плотность распределения действительного вектора 
имеет вид:
.
Здесь вектор 
2n — мерный, 
, 
.
Рассмотрим в качестве примера двумерный комплексный гауссовский вектор с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей:
. По определению 
и 
— действительные величины, 
- комплексная величина, причем матрица 
— положительно определенная.
Нетрудно найти матрицу, обратную к : 
, где определеитель 
.
Квадратичная форма в определении плотности примет вид:
Здесь учтено, что для комплексных чисел 
.
Таким образом, плотность распределения двумерного комплексного гауссовского случайного вектора равна:
.
4. Математическая статистика
4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин и случайных векторов по конечной совокупности наблюдений над ними — выборке.
Выборка понимается следующим образом. Пусть случайная величина 
наблюдается в каком-то эксперименте. Ее реализация в этом эксперименте равна 
. Повторим эксперимент n раз, предполагая, что условия эксперимента не меняются, следовательно не меняется и закон распределения случайной величины . Реализации случайной величины в этих n экспериментах обозначим 
. Заметим, что n - кратное повторение одного и того же эксперимента в одинаковых условиях можно интерпретировать как векторную случайную величину 
, компоненты которой одинаково распределены и независимы.
Определение. Пусть 
- случайный вектор и имеют место события 
. Вектор 
называется реализацией случайного вектора .
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
