Контрольная работа по дисциплине «Линейная алгебра»

Негосударственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Университет Российской академии образования»

Челябинский филиал

Контрольная работа по дисциплине «Линейная алгебра».

Преподаватель

Челябинск

2012 г.

При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие требования:

- работа должна быть выполнена в тетради;

- работа должна иметь титульный лист (указать группу, Ф. И.О., номер варианта);

- обязательно писать условие задачи и ответ;

- решение должно быть представлено со всеми необходимыми пояснениями.

Зачет за контрольную работу ставится при выполнении всех заданий и правильном оформлении работы.

Выбор варианта зависит от начальной буквы фамилии студента.

№ варианта	Начальная буква фамилии студента
1	А, Б, В, Г, Д, Е, Ж
2	З, И, К, Л, М, Н, О
3	П, Р, С,Т, У, Ф, Х
4	Ц, Ч, Ш, Щ, Э, Ю, Я

«Линейная алгебра».

Задание 1: Вычислить определитель методом разложения определителя по элементам строки (столбца) (табл.1)

Задание 2: Вычислить определитель с помощью элементарных преобразований строк (столбцов) (табл.1).

Таблица 1.Варианты задания 1, 2.

№ вар.	Данные	№ вар.	Данные
1		3
2		4

Задание 3: Даны две квадратные матрицы третьего порядка:, . Найти: а) линейную комбинацию матриц .(табл.2)

б) произведение матриц и .(табл.2)

Задание 4: Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований (табл.2).

Таблица 2.Варианты задания 3 и 4.

№ вар.	Данные	№ вар.	Данные
1	,	3	,
2	,	4	,

Задание 5: Дана система линейных уравнений: (1),

Решить: а) систему линейных уравнений (1) методом Крамера (табл.3)

б) систему линейных уравнений (1) матричным методом (табл.3)

Таблица 3.Варианты задания 5.

№ вар.	Коэффициенты	Свободные члены	№ вар.	Коэффициенты	Свободные члены
1			3
2			4

Задание 6: Для системы линейных уравнений методом Гаусса найти общее решение и частное решение (табл.4).

Таблица 4.Варианты задачи 6.

№ вар.	Коэффициенты	Свободные члены	№ вар.	Коэффициенты	Свободные члены
1			3
2			4

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.

Задание1: Вычислить определитель методом разложения определителя по элементам строки (столбца).

Решение: Вычислим определитель, разлагая его по элементам третьего столбца:

Ответ:

Задание 2: Вычислить определитель с помощью элементарных преобразований строк.

Решение: К третьей строке прибавим первую

Прибавляя к первой строке удвоенную третью, ко второй – третью, умноженную на , а к четвертой строке – третью, умноженную на , получим

Вынесем общий множитель третьей строки (по свойству 5)

Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на 5, а к третьей – первую строку, умноженную на , получим

Ответ:

Задание 3.а: Даны две квадратные матрицы третьего порядка: , . Найти линейную комбинацию матриц .

Решение: а),

.

Ответ: .

Задание 3.б: Найти произведение матриц и .

Решение: .

Ответ:

Задание 4: Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы .

Решение: Превратим данную матрицу в трапецеидальную с помощью элементарных преобразований:

.

Таким образом, ранг матрицы равен 3.

Ответ: .

Задание 5.а: Методом Крамера решить систему линейных уравнений

Решение:

1) ;

;

;

.

2) , , .

Ответ:

Задание 5.б: Решить систему линейных уравнений матричным методом

Решение: Составим матрицы , ,

Найдем обратную матрицу .

a) .

b)

; ; ;

c)

d)

Cделаем проверку:

.

Находим матрицу Х:

Итого решения системы: .

Ответ:

Задание 6: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение: Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, .

Ответ:

«Векторная геометрия».

Задание 1: Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) , 2) угол между векторами и , 3) площадь грани , 4) уравнение грани , 5) уравнение ребра , 6) объем пирамиды , 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань и ее длину. (табл.1).

Таблица 1.Варианты задания 1.

№ вар.	Данные
1	A(8;8;7); B(7;7;0); C(2;0;8); D(7;7;5)
2	A(7;3;6); B(8;6;3); C(5;7;6); D(1;0;5)
3	A(6;8;4); B(0;4;7); C(5;3;0); D(7;1;7)
4	A(5;7;3); B(3;5;8); C(6;6;4); D(3;2;7)

Задание 2: На координатной плоскости задан треугольник координатами своих вершин. Требуется найти: 1) уравнение стороны , 2) уравнение высоты и вычислить ее длину, 3) уравнение медианы , угол между высотой и медианой . (табл.2).

Таблица 2.Варианты задания 2.

№ вар.	Данные
1	A(8;8); B(0;8); C(7;1)
2	A(7;6); B(4;3); C(2;5)
3	A(5;8); B(7;6); C(0;0)
4	A(5;3); B(5;0); C(0;4)

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.

Задание 1: Даны координаты вершин пирамиды : , , , .

Найти:

1.  длину вектора ,

2.  угол между векторами и ,

3.  площадь грани ,

4.  уравнение грани ,

5.  уравнение ребра ,

6.  объем пирамиды ,

7.  уравнение высоты, опущенной из вершины на грань и ее длину.

Решение: Используя свойства операций над векторами, имеем

1)  ,

2)  Угол между векторами и находим по формуле

и

и

3)  Для нахождения площади грани воспользуемся геометрическим смыслом

векторного произведения векторов (геометрическим смыслом векторного произведения является площадь параллелограмма, построенного на данных векторах)

(кв. ед.)

4)  Уравнение грани найдем как уравнение плоскости по одной точке и двум

векторам, коллинеарным плоскости

5)  Уравнение ребра найдем как уравнение прямой по двум точкам

6)  Для нахождения объема пирамиды воспользуемся свойством смешанного произведения:

(куб. ед.)

7)  Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань и ее длину находим по

формуле , где - координаты вектора нормали к плоскости .

.

Обозначим длину высоты, опущенную из точки , через .

.

Ответ:

1) 2)

3) (кв. ед.) 4) :

5) : 6) (куб. ед.) 7)

Задание 2: На координатной плоскости задан треугольник координатами своих вершин: . Требуется найти :

1.  уравнение стороны ,

2.  уравнение высоты и вычислить ее длину,

3.  уравнение медианы ,

4.  угол между высотой и медианой .

Решение:

1.  Уравнение стороны

.

2.  Уравнение высоты и вычислить ее длину.

- вектор нормали для стороны .

Сторона задана уравнением , тогда вектор нормали имеет координаты .

Составим уравнение высоты при

Для нахождения коэффициента подставим в полученное выражение координаты заданной точки .

Получаем:

Уравнение прямой :

Найдем координаты точки :

Найдем длину высоты .

3.  Уравнение медианы .

Уравнение медианы найдем по формуле:

Точка середина стороны , ее координаты находятся по формуле:

.

Составим уравнение медианы :

.

4.  Угол между высотой и медианой

Угол между высотой и медианой можно найти как угол между направляющими векторами этих прямых.

За направляющий вектор прямой можно взять вектор

За направляющий вектор прямой можно взять вектор

Ответ:

1.  : 2.  : и

3.  : 4.

«Комплексные числа».

Даны комплексные числа:, , , . (табл. 1)

Задание1: Изобразите числа геометрически.

Задание 2: Найдите частное в алгебраической форме.

Задание 3: Представьте числа в тригонометрической и показательной формах; найдите частное в тригонометрической форме и результат представьте в алгебраической форме.

Задание 4: Представьте число в показательной форме и найдите .

Таблица 1.Варианты задания 1,2,3,4.

№ вар.	Данные
1
2
3
4

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ.

Даны комплексные числа:

Задание1: Изобразите числа геометрически.

Решение: Комплексное число можно изобразить на плоскости точкой с координатами или радиус - вектором, исходящим из начала координат в точку . Таким образом, комплексное число на плоскости изображается радиус - вектором, исходящим из начала координат в точку . Число является комплексно-сопряженным числу , т. е. . Число на плоскости изображается радиус- вектором, исходящим из начала координат в точку . Число является противоположным числу , т. е. . Число на плоскости изображается радиус - вектором, исходящим из начала координат в точку . Число на плоскости изображается радиус - вектором, исходящим из начала координат в точку . Число на плоскости изображается радиус - вектором, исходящим из начала координат в точку . Изобразим все эти числа на координатной плоскости.

Задание 2: Найдите частное в алгебраической форме.

Решение:

Ответ: .

Задание 3: Представьте числа в тригонометрической и показательной формах; найдите частное в тригонометрической форме и результат представьте в алгебраической форме.

Решение:

1) Для .

. Найдя модуль и аргумент, запишем число в тригонометрической форме: .

Ответ:

2) Для .

. Найдя модуль и аргумент, запишем число в тригонометрической форме: .

Ответ:

3) Для .

. Найдя модуль и аргумент, запишем число в тригонометрической форме: .

Ответ:

4) Найдем : при делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются. Следовательно

Ответ:

Задание 4: Представьте число в показательной форме и найдите .

Решение:

Тригонометрическую форму комплексного числа можно заменить показательной . Так как модуль и аргумент для мы уже нашли , тогда

. Возведение в степень комплексных чисел, заданных в показательной форме выполняется по формуле: . В нашем случае будет:

Ответ: