Математические олимпиады и соревнования (стр. 2 )

ПЕРВЫЙ БОЙ

30 октября

7.  В записи расставьте знаки арифметических действий так, чтобы результатом вычислений оказалось число 2003.

8.  Можно ли провести 6 горизонтальных и 5 вертикальных отрезков так, чтобы каждый вертикальный отрезок пересекал ровно 5 горизонтальных, а каждый горизонтальный – ровно 4 вертикальных отрезка?

9.  Докажите, что в любом шестидесятизначном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что получившееся в результате число будет делиться на 1001.

10.  Конструктор «Ёлки-палки» состоит из палочек длиной 5 и 6 сантиметров, причем есть палочки и той, и другой длины. Суммарная длина палочек составляет 6 метров. Докажите, что из всех этих палочек можно составить правильный десятиугольник.

11.  Три водителя грузовиков зашли в придорожное кафе «Бывший друг желудка». Один водитель рискнул купить 4 сэндвича, чашку кофе и 10 пончиков на общую сумму 169 рублей. Второй водитель купил 3 сэндвича, чашку кофе и 7 пончиков за 126 рублей. Какую сумму затратил третий, более осторожный водитель, на покупку сэндвича, чашки кофе и пончика?

12.  В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

13.  На сторонах параллелограмма во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники , , и . Докажите, что - параллелограмм.

14.  За круглым столом сидят только рыцари и лжецы. Каждый из них сделал два заявления:

1. «Справа от меня сидит лжец».

2. «Слева от меня сидит лжец».

Могло ли за столом быть 2003 человека? (Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду)

ВТОРОЙ БОЙ

31 октября

15.  Пусть запись обозначает наибольшее из чисел и . Решите в натуральных числах уравнение .

16.  Прямая раскрашена в 2 цвета. Докажите, что найдутся три точки одного цвета, такие, что .

17.  Найти наибольший общий делитель всех шестизначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений).

18.  Клетчатый прямоугольник разрезали по линиям сетки тремя прямолинейными разрезами на несколько прямоугольников. Для каждого из этих прямоугольников нашли периметр. Затем все периметры сложили. Найдите наибольшее возможное значение получившейся суммы.

19.  В стране 1001 город. Некоторые пары городов соединены беспосадочными авиалиниями двух авиакомпаний. Известно, что пользуясь авиалиниями одной авиакомпании можно из любого города долететь до любого другого двумя различными способами (возможно, с пересадками), а пользуясь авиалиниями другой авиакомпании – тремя различными способами. Найдите наименьшее возможное количество авиалиний.

20.  Из четырех монет – три настоящие и весят одинаково, а четвертая фальшивая, и ее вес отличается от первых трех. Имеются весы, на которых можно определить точный вес двух или большего числа монет. Точный вес одной монеты определить нельзя. Как за 4 взвешивания найти фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее, чем настоящие?

21.  На плоскости отмечены четыре точки. Каждую пару точек соединили отрезком. Могло ли оказаться, что длины всех этих отрезков одинаковы?

22.  Карлсон, Малыш и Фрекен Бок собирались пить чай с плюшками. Однако, когда они зашли на кухню, оказалось, что все плюшки кто-то съел. «Это не я» - сразу сказал Малыш. «Карлсон, это ты съел все плюшки!» - вскричала Фрекен Бок и, взяв хлопушку, принялась гоняться за Карлсоном. Покружив по кухне, Карлсон вылетел в окно и заявил: «Плюшки съела Фрекен Бок». Уставшая Фрекен Бок села в кресло и тихо произнесла: «Плюшки съела я». Определите, кто на самом деле съел плюшки, если известно, что один из героев всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий может как солгать, так и сказать правду.

ТРЕТИЙ БОЙ

1 ноября

23.  Последовательность задается следующим образом: . Встретится ли в этой последовательности полный квадрат, больший 1?

24.  Дана прямоугольная таблица, состоящая из 52 клеток. Некоторые клетки таблицы закрашены, причем для каждой закрашенной клетки половина соседних с ней клеток также закрашена. Определите наибольшее возможное число закрашенных клеток. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).

25.  «Близнецами» называют два простых числа, которые отличаются на 2. Два числа-близнеца приписали друг к другу (например, 1719 или 1917). Полученное число оказалось простым. Найти полученное число.

26.  На доске написаны 1335 плюсов. Леня и Люся по очереди ставят с любой стороны от плюса 1 (единицу) или 2(двойку). (Между любыми двумя подряд идущими плюсами может стоять только одна цифра.). После того, как будут расставлены все цифры, вычисляется значение полученного выражения. Люся начинает игру первая. Леня выигрывает, если в результате полученная сумма будет равна 2003, иначе выигрывает Люся. Кто выигрывает при правильной игре?

27.  В двух вершинах квадрата сидят две быстроходные улитки. Одновременно улитки начинают бежать навстречу друг другу по сторонам квадрата. Определите, сколько раз в течение часа более медлительная улитка может обежать квадрат, если известно, что скорости улиток различаются втрое, а их 2003-я встреча состоялась спустя часа после старта.

28.  Конструктор состоит из нескольких палочек одной длины. Известно, что используя все палочки конструктора можно составить или несколько одинаковых треугольников, или несколько одинаковых квадратов так, что никакая палочка не будет входить в 2 и более фигуры одновременно. Определить наименьшее возможное число палочек. (Ломать палочки запрещается).

29.  В треугольнике сторона равна 2, . На стороне взята точка так, что . Чему равен ?

30.  Если бы вчера был тот день недели, который будет завтра, то от сегодня до воскресенья оставалось бы столько дней, сколько дней в действительности прошло от воскресенья до сегодняшнего дня. Какой сегодня день?

ФИНАЛЫ

(2 ноября)

БОЙ ЗА 1-2 МЕСТА

31.  Докажите, что если числа и - целые, то и число - тоже целое.

32.  В начале урока Наталья Сергеевна раздала детям по одному кубику, на гранях которых написаны простые числа (на каждой грани по одному). Дима подсчитал сумму всех шести чисел на своем кубике, а Леня – на своем, после чего две полученные суммы перемножили и получили число 33582. Назовите хотя бы одно число из двенадцати, написанных на кубиках Димы и Лени.

33.  Дан решетчатый параллелепипед (см. рисунок), где длина каждого отрезка равна 1 см. В точке сидит таракан. Какое наибольшее расстояние он может пройти по пути в точку , не проходя ни через какую точку дважды?

 

34.  Дана квадратная таблица размером клеток. Изначально все клетки таблицы белого цвета. Двое игроков по очереди перекрашивают клетки таблицы в черный цвет, причем за один ход можно покрасить несколько подряд идущих клеток по вертикали, по горизонтали или по диагонали. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его соперник? (Нельзя красить уже покрашенную клетку).

35.  У Миши и Гриши имеются российские монеты, достоинством не более 1 рубля, причем у Миши только «серебряные», а у Гриши – только «медные» монеты. Известно, что Гриша располагает суммой втрое меньшей, чем Миша, однако монет у Гриши втрое больше, чем у Миши. Докажите, что если Миша и Гриша объединят свои капиталы, то им хватит денег на покупку новой книги о Гарри Потере стоимостью 80 рублей. (Монеты всех достоинств присутствуют)

36.  В верхней левой клетке таблицы стоит фишка. Разрешается выбрать любой квадрат клеток внутри таблицы и повернуть этот квадрат относительно его центра на градусов. Можно ли с помощью таких операций переместить фишку в верхнюю правую клетку таблицы?

37.  В треугольнике на стороне как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны и в точках и соответственно. Известно, что . Докажите, что треугольник - равносторонний.

38.  На I Магнитогорском турнире юных математиков каждый из принимавших в нем участие школьников познакомился с 17 другими. Во втором турнире принимает участие на 25 школьников больше. Может ли случиться так, что за время проведения второго турнира каждый из участников познакомится с 23 другими?

БОЙ ЗА 3-4 МЕСТА

39.  Назовем натуральное число «сложительным», если между его цифрами можно поставить по одному знаку «+» и «=» так, чтобы полученное равенство было верным. (Например, число 123 – «сложительное», т. к. 1+2=3) Приведите пример двух подряд идущих натуральных чисел, каждое из который является «сложительным».?

40.  В стране Фигурия есть два цветочных поля – треугольное и квадратное. На любой цветок треугольного поля могут сесть ровно три бабочки, а на любой цветок квадратного – ровно четыре бабочки. Первоначально бабочки сидят на всех цветах треугольного поля. Могут ли все эти бабочки перелететь на все цветы квадратного поля, если всего на двух полях растут 2003 цветка?

41.  Как развесить 2 килограмма чая в 10 коробок по 200 граммов в каждой за девять взвешиваний, используя только чашечные весы и две гири – одна весом 500г, а другая 900г? При каждом взвешивании разрешается ставить на обе чашки весов любое количество гирь и наполненных коробок и одну пустую коробку, в которую после этого насыпается чай из любой коробки, не стоящей на весах, до установления равновесия. Каждая коробка достаточно велика, чтобы вместить весь чай.

42.  Дана квадратная таблица размером клеток. Изначально все клетки таблицы белого цвета. Двое игроков по очереди перекрашивают клетки таблицы в черный цвет, причем за один ход можно покрасить несколько подряд идущих клеток по вертикали, по горизонтали или по диагонали. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его соперник? (Нельзя красить уже покрашенную клетку).

43.  Каких натуральных чисел от 1 до больше: взаимно простых с или не взаимно простых с ним?

44.  В верхней левой клетке таблицы стоит фишка. Разрешается выбрать любой квадрат клетки внутри таблицы и повернуть этот квадрат относительно его центра на градусов. Можно ли с помощью таких операций переместить фишку в верхнюю правую клетку таблицы?

45.  В треугольнике на стороне как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны и в точках и соответственно. Известно, что . Докажите, что треугольник - равносторонний.

46.  В каждой клетке доски стоят рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Каждый из них утверждает, что среди его соседей ровно один рыцарь. Сколько рыцарей может быть на доске? Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.

БОЙ ЗА 5-6 МЕСТА

47.  Докажите, что если числа и - целые, то и число - тоже целое.

48.  В стране Фигурия есть два цветочных поля – треугольное и квадратное. На любой цветок треугольного поля могут сесть ровно три бабочки, а на любой цветок квадратного – ровно четыре бабочки. Первоначально бабочки сидят на всех цветах треугольного поля. Могут ли все эти бабочки перелететь на все цветы квадратного поля, если всего на двух полях растут 2003 цветка?

49.  Летучая ладья ходит как обычно, только не может становиться на соседнюю клетку. Может ли она пройти по доске , побывав на каждой клетке ровно один раз?

50.  Как развесить 2 килограмма чая в 10 коробок по 200 граммов в каждой за девять взвешиваний, используя только чашечные весы и две гири – одна весом 500г, а другая 900г? При каждом взвешивании разрешается ставить на обе чашки весов любое количество гирь и наполненных коробок и одну пустую коробку, в которую после этого насыпается чай из любой коробки, не стоящей на весах, до установления равновесия. Каждая коробка достаточно велика, чтобы вместить весь чай.

51.  На белой доске одну клетку закрасили в черный цвет. Разрешается в любой полоске у всех клеток поменять цвет на противоположный. Укажите хотя бы один вариант расположения черной клетки, при котором за несколько ходов доску можно было бы сделать одноцветной.

52.  В верхней левой клетке таблицы стоит фишка. Разрешается выбрать любой квадрат клетки внутри таблицы и повернуть этот квадрат относительно его центра на градусов. Можно ли с помощью таких операций переместить фишку в верхнюю правую клетку таблицы?

53.  В треугольнике проведены высоты и . Оказалось, что и . Докажите, что треугольник - равнобедренный.

54.  На волшебной сосне растут 10 бананов и 9 апельсинов. Если сорвать два одинаковых фрукта, то на сосне тут же вырастет один банан, а если сорвать два разных – вырастет один апельсин. Срывать фрукты по одному нельзя. Можно ли сорвать фрукты с сосны так, чтобы на сосне остался один банан?

БОЙ ЗА 7-8 МЕСТА

55.  Докажите, что если числа и - целые, то и число - тоже целое.

56.  В стране Фигурия есть два цветочных поля – треугольное и квадратное. На любой цветок треугольного поля могут сесть ровно три бабочки, а на любой цветок квадратного – ровно четыре бабочки. Первоначально бабочки сидят на всех цветах треугольного поля. Могут ли все эти бабочки перелететь на все цветы квадратного поля, если всего на двух полях растут 2003 цветка?

57.  Летучая ладья ходит как обычно, только не может становиться на соседнюю клетку. Может ли она пройти по доске , побывав на каждой клетке ровно один раз?

58.  По трем коробкам разложили 40 красных и 40 синих шаров. В первой коробке синих шаров на 7 больше, чем красных; во второй коробке красных шаров на 15 меньше, чем синих. Каких шаров больше в третьей коробке и на сколько?

59.  На белой доске одну клетку закрасили в черный цвет. Разрешается в любой полоске у всех клеток поменять цвет на противоположный. Укажите хотя бы один вариант расположения черной клетки, при котором за несколько ходов доску можно было бы сделать одноцветной.

60.  В верхней левой клетке таблицы стоит фишка. Разрешается выбрать любой квадрат клетки внутри таблицы и повернуть этот квадрат относительно его центра на градусов. Можно ли с помощью таких операций переместить фишку в верхнюю правую клетку таблицы?

61.  В треугольнике проведены высоты и . Оказалось, что и . Докажите, что треугольник - равнобедренный.

62.  На волшебной сосне растут 10 бананов и 9 апельсинов. Если сорвать два одинаковых фрукта, то на сосне тут же вырастет один банан, а если сорвать два разных – вырастет один апельсин. Срывать фрукты по одному нельзя. Можно ли сорвать фрукты с сосны так, чтобы на сосне остался один банан?

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ

1. Ответ.

Решение не единственное.

2. Ответ. Драку затеял один мальчик. Это был Дима.