Оперативное планирование и управление строительным производством (С-12) (стр. 4 )

В настоящее время системный анализ не является полностью сформировавшимся научным направлением. Однако достигнутое состояние позволяет успешно применять созданные методы и подходы для решения управленческих задач. Поэтому системный подход является неотъемлемой частью теоретического багажа системотехники строительства.

Разнообразие функций и широкий круг участников строительства предопределяют высокую интенсивность информационных потоков на всех этапах инвестиционного цикла. При этом основной инжиниринговой задачей информатизации строительного комплекса является организация этих потоков, их стыковка, взаимоувязка, исключение дублирования информации, обеспечение ее непротиворечивости.

Таким образом, можно говорить о том, что системотехнические задачи в строительстве - это задачи информатизации отрасли. Задача системотехники, как междисциплинарной науки, призванной логически объединить все инженерные дисциплины на уровне макропроектирования строительных систем, систем информатизации строительной отрасли. Системотехника в строительстве - научно-техническая дисциплина о строительных системах (технических, организационных, экономических) и межсистемных связях.

Системотехника рассматривает комплексное использование методологических основ в практике проектирования и строительства, практике создания и использования систем автоматизированного проектирования, автоматизированных систем управления, интегрированных систем информатизации.

Методологической основой системотехники является ряд системотехнических принципов и критериев, закладывающих основу для комплексного анализа строительных инжиниринговых систем.

В качестве базовых в системотехнике строительства рассматриваются и анализируются следующие наиболее общие концептуально-методологические принципы:

- функционально-системный;

- вероятностно-статистический;

- имитационно-моделирующий;

- интерактивно-графический;

- инженерно-экономический.

В рамках функционально-системного подхода строительная система представляется как иерархия целей. В качестве основного системообразующего фактора выступает результат, цель функционирования.

Такой подход позволяет по-новому проектировать сложные системы на основе оценки адекватности используемой модели по степени отражения заданного результата. При оценке надежности функционирования системы в данном случае уходят от механического резервирования и дублирования элементов, а рассматривают возможности структурной перестройки и функциональной подмены одних элементов (ненадежных, отказавших) другими элементами, выполнявшими ранее другие функции.

Под функциональной системой понимают систему, сформированную для достижения заданного полезного результата (целевой функции) в процессе своего функционирования.

Теория функциональных систем была разработана советским физиологом академиком в гг. Использование данной теории, имеющей биологическое происхождение, в качестве методологической основы системотехники строительства определяется наличием большого числа сходных черт у этих научных областей с точки зрения системного анализа. Общими являются предъявляемые требования высокой организации, приспособляемости, гибкости, надежности, экономичности. Практическое применение теории функциональных систем во многих отраслях науки и техники подтвердило ее универсальность.

Основополагающее исходное положение теории функциональных систем состоит в следующем: системообразующим фактором является конкретный результат (целевая функция) функционирования системы. В этом контексте система выступает как комплекс избирательно вовлеченных элементов, взаимосодействующих достижению заданного полезного результата.

В строительных системах сложность иерархии, множество целей, несоподчиненность и ненадежность критериев по отдельным подсистемам делают весьма актуальным достижение конечного результата по вводу и функционированию объектов строительства и другим показателям. Именно результат в строительном производстве как системообразующий фактор требует переориентации многих организационно-технологических и управленческих решений, которые, как правило, принимаются без подчинения их достижению конечного результата.

При моделировании сложных систем теория функциональных систем позволяет провести оценку адекватности модели по степени отражения (достоверности, надежности, комплексности) результата функционирования. Появляется возможность по-новому подойти к выбору внешней иерархии и внутренней архитектонике систем. Иерархия систем должна трактоваться как иерархия результатов, что открывает способ и механизм соединения иерархических уровней.

Функциональные системы по внутренней архитектонике гетерогенны, т. е. состоят из неоднородных элементов, каждый из которых несет свою функциональную и специфическую нагрузку в достижении результата. С этих позиций правомерно в состав функциональной системы включение таких неоднородных подсистем, как объемно-конструктивные решения строительных объектов, методы их возведения и управление возведением. Эти подсистемы, в свою очередь, расчленяются на ряд неоднородных элементов, которые до последнего времени рассматриваются разрозненно и вне единой функциональной системы, созданной для достижения общего результата.

С точки зрения теории функциональных систем в терминах результата можно дать определение понятиям постановки экономико-математических задач строительного производства: цель - критерий - ограничения. Цель рассматривается как заданный результат; критерий - признак, по которому определяется соответствие этому результату; ограничения - степень свободы, необходимая для достижения результата. При обеспечении единства результата или иерархии результатов можно получить стройную классификацию задач, решение которых необходимо в автоматизированных системах в строительстве.

В целом функционально-системный принцип позволяет построить строгую логику проектирования строительных систем и придать сугубо практическую направленность системотехнике строительства.

Вероятностно-статистический принцип в качестве методологической основы системотехники строительства отражает тот факт, что одной из базовых концепций современного научного мировоззрения является вероятностное и статистическое представление изучаемых объектов, включение фактора массовости при системном рассмотрении объектов. Отсутствие учета вероятностного, стохастического характера строительного производства привело к неадекватности моделей, к ненадежности большинства организационно-технологических, экономических, управленческих решений. Основой вероятностного подхода является представление о распределениях случайных величин, которыми опосредуются зависимости между свойствами исследуемых объектов. На этой базе разрабатываются модели теории вероятностей и математической статистики.

Использование имитационно-моделирующего принципа определяется усложнением систем и невозможностью натурного эксперимента. С другой стороны, развитие вычислительной теории и техники позволяет проводить моделирование и машинную реализацию больших систем. В строительстве с его сложными организационно-технологическими и управленческими структурами математическое моделирование становится единственно возможным методом исследования.

Интерактивные системы позволяют решать многие трудноформализуемые задачи. Формальные компоненты передаются на ЭВМ, а неформальные остаются прерогативой человека и легко корректируют и дополняют формальные компоненты через диалоговый режим взаимодействия человека с ЭВМ, осуществляемый по ходу решения задачи. Появляется возможность отказаться от традиционной "точной" процедуры оптимизации и перейти на "приближенную" на основе модельного эксперимента путем постановки вопросов типа "что, если...?". Графическое представление информации в интерактивных системах обеспечивает компактность и высокую информативность документов.

Инженерно-экономический принцип состоит в создании моделей, позволяющих использовать обратную связь на стадии проектирования и планирования, разработку надежных формализованных и нормированных оценочных процедур как средства экономического исследования качества и прогрессивности решений в строительстве.

Таким образом, необходимость конструирования большого количества разнообразных строительных систем определяет активное развитие системотехники строительства как научно-инженерной методологии эффективного проектирования, конструирования, функционирования строительных систем и межсистемных связей, обладающих большим разнообразием и индивидуальностью.

Важнейшим фактором, существенно усложняющим комплексное решение инжиниринговых задач для всех сложных систем, а для строительства особенно – это многокритериальность. Фактически все проблемы, стоящие перед специалистами в области строительного инжиниринга, описываются огромным количеством показателей. Особую сложность вызывает то обстоятельство, что многие критерии, характеризующие цели строительных систем, являются противоречивыми. Оптимизация одного критерия обязательно ухудшает характеристики другого.

В операционных исследованиях принятие решения сводится к выбору из альтернатив, которыми располагает лицо, принимающее решение. Полное решение проблемы возможно в результате анализа всех факторов, влияющих на выбор решения. К ним можно отнести:

- большое число показателей качества (векторный критерий);

- нечеткость определения критерия;

- неопределенность условий в момент принятия решений;

- особенности человека, который в зависимости от различных факторов может принимать субъективное решение.

Первые 3 фактора поддаются количественному анализу.

Можно ввести формальную классификацию задач:

1. По критерию:

- однокритериальные;

- многокритериальные;

- с количественным критерием;

- с вербальным критерием.

2. По условиям неопределенности:

- полная неопределенность;

- стохастические задачи;

- полная определенность;

- задачи в условиях критических ситуаций.

Сформулированы типовые схемы решения многокритериальных задач:

1. Пусть F1(x), F2(x), …, Fn(x) – частные критерии. Обобщенный критерий формулируется как средневзвешенное значение:

, где

Wi(x) – весовая функция.

2. Обобщающий критерий формируется с помощью правил алгебры логики:

или

3. Обобщающий критерий формируется с учетом вероятностной трактовки частных критериев:

4. Обобщающий критерий (как правило, для лексико-графических задач) формируется путем упорядочивания частных критериев по какому-либо признаку. Далее для каждого критерия формируется условная задача оптимизации, т. е. один из критериев принимается в качестве целевой функции, а остальные – в качестве ограничений. После решения этой совокупности задач осуществляется анализ непротиворечивости полученных решений. Если решение непротиворечивое, то оно принимается за окончательный результат. Иначе критериям более низкого ранга могут формулироваться более жесткие ограничения.

Одним из средств формализации процесса принятия решений является математическая теория полезности. Это аксиоматическая теория, где аксиомы сформулированы согласно здравому смыслу и позволяют оценивать результаты с количественным и качественным исходами. Аксиомы формулируются на основе понятия "полезность". Для количественных показателей более полезному результату соответствует большее число. Для качественных – "это оценивается больше, чем то".

Аксиома 1. Если результатам xi, xj поставлены в соответствие численные меры u(xi), u(xj) то xi предпочтительнее xj, если u(xi)>u(xj).

Аксиома 2 (Транзитивность). Если u(xi)>u(xj), u(xj)>u(xk), то u(xi)>u(xk).

Аксиома 3 (Линейность). Если для x справедливо (1-k)x1+kx2, то

u(x)=(1-k)u(x1)+ku(x2), k[0;1].

Аксиома 4. Если u(x1, x2) – полезность от совместных действий, то

u(x1, x2)= u(x1)+ u(x2)

Пусть x1, x2, x3, …, xn – возможные результаты. По данным экспертных оценок полезности - u(x1), u(x2), u(x3), …, u(xn). Требуется определить более предпочтительный результат. Методический подход к решению задачи состоит в проверке непротиворечивости возможных решений. Для этого составляется таблица со всеми возможными комбинациями. Проверяют исходы, соответствующие комбинациям таблицы на непротиворечивость аксиом. Если противоречий нет, то наиболее приемлемый результат: u(xk). Если есть противоречия, то согласуются они по величине полезности. После этого проверку повторяют.

Различным образом принимают решение в различных условиях определенности.

В условиях определенности, при одном скалярном критерии задача решается тривиально, как задача на отыскание условного экстремума целевой функции. В случае векторного критерия решение принимается по обобщенному критерию.

В условиях неполной определенности задача возникает в случае, когда имеет место множество решений {xi} и множество исходов {Sj}. Известны полезности исходов u{Sj} и распределение вероятностей исходов pij=p(Sj / xi). Эти данные могут быть записаны в таблице. В этом случае решение принимается на основе максимизации матожидания полезности:

В условиях полной неопределенности задачи возникают в случаях, когда имеется множество возможных решений {xi} и множество возможных исходов {Sj}. Известны также функции полезности u(Sj, xi). Решающее правило может формулироваться на основе следующих критериев:

а) Критерий Вальда.

Решающее правило: среди возможных исходов выбираются самые невыгодные, а среди них – наибольший:

б) Критерий Гурвица.

При определении решающего правила по поводу условий высказывается гипотеза о том, что самые выгодные исходы могут наступать с вероятностью α, а самые невыгодные – с вероятность 1- α.

Решающее правило: выгодным исходам оказывается доверие α (их максимизируют), а невыгодным – (1- α) (их минимизируют):

в) Критерий Лапласа.

Все исходы равновероятны.

Решающее правило: максимизация средневзвешенной полезности:

г) Критерий Севиджа.

Минимизируются потери, которые могут возникнуть от принятия худшего решения по сравнению с наилучшим.

Для определения решающего правила строится матрица сожалений:

Решающее правило:

- критерий Вальда для матрицы сожалений.

Другим, альтернативным походом к решению многокритериальных задач является замена группы противоречивых критериев одним, обобщающим критерием, включающим в себя целый комплекс характеристик анализируемой системы. Подобные критерии называют системотехническими.

Группа наиболее часто используемых системотехнических критериев для строительных систем представлена на рис. 1.

Критерий адаптивности предназначен для оценки приспособленности объекта к периодической реконструкции, совершенствованию технологии и строительных параметров на стадии его эксплуатации, реконструкции, расширения, а часто и на стадии его строительства.

Величина критерия может измеряться как разность между количеством связей между переменными, отражающими изменчивые требования научно-технического прогресса, и количеством связей между переменными, характеризующими проектные решения. Чем меньше эта разность, тем адаптивность объекта больше и решение эффективнее. Разнообразие постоянной системы переменных тем больше, чем меньше связей между переменными (каждая связь накладывает ограничения на разнообразие состояний).

Критерий организованности позволяет проводить выбор наиболее рациональных методов организации строительного производства. Отдельных разрозненных показателей, оценивающих качество организации строительного производства, около ста. Для комплексной оценки предлагается обобщенный показатель, базирующийся на оценке непрерывности, равномерности, совмещения, ритмичности и интенсивности строительных процессов.

Критерий технологичности оценивает совокупность технических свойств объемно-конструктивных решений строительных объектов, характеризующих их соответствие требованиям строительного производства и эксплуатации.

Рассматривается (в зависимости от уровня иерархии):

- общая технологичность (комплексная характеристика изготовления, транспортирования, возведения строительных конструкций, монтажа технологического оборудования и эксплуатации здания);

Рис. 1. Система системотехнических критериев

- строительная технологичность (комплексная характеристика изготовления, транспортирования, возведения строительных конструкций);

- монтажная технологичность (характеристика монтажа строительных конструкций).

Оценка технологичности проводится, как правило, на базе экспертных систем, современных достижений экспертного анализа.

Критерий организационно-технологической надежности оценивает способность организационных, технологических, экономических решений обеспечивать достижение заданного результата строительного производства в условиях случайных возмущений, присущих строительству как сложной стохастической системе.

Сложность поведения, функционирования, развития системного объекта проявляется не только в том, что он, как правило, состоит из большого числа частей, элементов, относительно обособленных подсистем, богатого многообразия различных связей и отношений. К наиболее сложным типам систем относятся целенаправленные системы, поведение которых подчинено достижению определенной цели, и самоорганизующиеся системы, способные в процессе своего функционирования гибко изменять свою организацию, структуру. Причем, для многих систем характерно существование разных по уровню, часто не согласующихся между собой целей, кооперирование и конфликт этих целей и т. д.

Главной отличительной особенностью строительных систем, в отличие от систем технологических, является их организационный характер. В производственном процессе объединяются технические и социальные системы. Взаимодействие этих систем, носящее стохастический характер, совершенно не учитывается ни в выпускаемой организационно-технологической документации (проекты организации строительства, проекты производства работ), ни в имеющейся нормативно-справочной базе (строительные нормы и правила, единичные расценки и т. п.).

Критерии взаимосогласованности и развертываемости являются качественными и известны опытным проектировщикам на интуитивном уровне. На ранних стадиях проектирования, когда количественные оценки, как правило, затруднены, проводится анализ потенциального взаимодействия различных подсистем объекта.

Критерии универсальности и результативности характеризуют широту диапазона возможностей объекта (универсальность) и степень реализуемости этих возможностей (результативность). Рост универсальности и результативности может служить общей характеристикой научно-технического прогресса в проектировании и строительстве.

Эти критерии могут измеряться различным образом. В проектировании самый простой способ подсчета универсальности - определение количества проектировочных переменных, а самый простой способ подсчета результативности - свертывание оценок качества проекта по каждой переменной в общую оценку.

Критерий управляемости как оценка качества реакции системы на управляющие воздействия определяется основными характеристиками систем управления, обратными связями, поведением и взаимодействием управляющей подсистемы и объекта управления.

Таким образом, можно сделать вывод, что значение системотехники постоянно возрастает в связи с необходимостью конструирования большого количества разнообразных инжиниринговых строительных систем. Поэтому требуется активное развитие системотехники строительства как научно-инженерной методологии эффективного проектирования, конструирования, функционирования строительных систем и межсистемных связей, обладающих большим разнообразием и индивидуальностью.

4.2. Моделирование в задачах планирования и организации строительства

Разнообразие функций и широкий круг участников строительства предопределяют высокую интенсивность информационных потоков на всех этапах инвестиционного цикла. При этом основной задачей информатизации строительного комплекса является организация этих потоков, их стыковка, взаимоувязка, исключение дублирования информации, обеспечение ее непротиворечивости.

Информатизация строительства - сложная проблема, представляющая собой целый комплекс задач автоматизации различных строительных подотраслей. Одним из базовых направлений информатизации является информатизация процесса организационно-технологического проектирования.

Быстрое усложнение инженерной деятельности в последние десятилетия в полной мере характерно для строительных систем. Наряду с традиционными строительными элементами (конструкции зданий и сооружений, строительные машины, бригады рабочих и т. д.) строительные системы стали включать в себя также элементы современных сложных информационных организационно-экономических и вычислительных систем (экономический механизм хозяйствования, организационные структуры управления, автоматизированные системы планирования, проектирования, управления и т. д.).

Обычно процесс проектирования ассоциируется с созданием чертежа какой-либо детали, узла, агрегата, изделия. В этом смысле строительное проектирование обычно отождествляется с архитектурно-строительным (в качестве детали, изделия выступают конструкция, здание, сооружение). Принципиальных расхождений с основными концепциями машиностроительного черчения в этом случае нет.

Однако существенным, как по содержанию, так и по трудоемкости, разделом строительного проектирования является так называемое организационно-технологическое проектирование (ОТП), т. е. проектирование самого процесса создания будущего здания. Формирование организационно-технологической документации имеет свои специфические особенности и существенно отличается от технологического проектирования в машиностроении или электронике, т. е. областях - "законодателях" САПР.

В сферу ОТП попадают вопросы временной организации процесса строительства, включая проблемы материально-технического обеспечения, своевременной поставки строительных материалов, конструкций, изделий на склады и строительные площадки. Моделирование процессов в рамках ОТП, таким образом, включает в себя широкий круг задач, основанных на исследовании математических потоков.

Процесс поступления последовательности требований (заявок) в строительную организационно-технологическую систему (поток) характеризуется:

·  числом требований n(t), поступающих в систему за интервал времени [0;t), где n(t) - неубывающая, неотрицательная, целочисленная функция;

·  интервалами времени τ между соседними требованиями, где τ - случайные величины.

Функцию n(t) можно задать вероятностью совместного распределения:

Pn(t) = P{n(t1)=k1; n(t2)=k2; …}

Наиболее просто вероятность определяется для простейшего потока, одновременно удовлетворяющего следующим требованиям:

·  стационарность, т. е. вероятность поступления определенного количества требований Pn(t) на временном интервале [0;t) зависит только от величины интервала и не зависит от его расположения на временной оси;

·  отсутствие последействия (предыстории), т. е. n(t) и Pn(t) не зависят от событий, имевших место до момента времени t0=0;

·  ординарность, т. е. существует такой интервал времени Δt (Δt→0) = dt, на который поступает только одно требование.

Для этого потока характерно

P1(dt) = λ dt,

т. е. вероятность появления одного требования пропорциональна интервалу времени и интенсивности потока требований λ.

Длительность интервала между соседними требованиями в простейшем потоке определяется экспоненциальным законом распределения:

F(τ) = 1 - e-λτ с математическим ожиданием M=1/λ и дисперсией D=1/λ2.

Анализ потоковых организационно-технологических систем в строительстве, показывает, что большинство таких систем сводятся к системам массового обслуживания (СМО), т. е. системам, предназначенным для обработки потока требований на обслуживание (рис.2).

Решение задач организационно-технологического проектирования, таким образом, сводится к определению основных характеристик СМО:

·  определение характеристик входного потока;

·  оценка длины очереди и времени ожидания в ней;

·  определение количества каналов, необходимых для эффективного обслуживания потока (определение времени обслуживания);

·  определение характеристик выходного потока.

входной поток

 

Рис.2. Обобщенная структура СМО.

К основным показателям, характеризующим СМО, можно отнести:

·  количество необслуженных требований (оценивается вероятностью потерь);

·  количество занятых каналов (оценивается вероятностью того, что при обслуживании занято k каналов);

·  коэффициент простоя (или коэффициент загруженности) СМО (оценивается как доля задействованных каналов в общем их числе).

В практике организационно-технологического проектирования приходится сталкиваться со следующими видами СМО:

1.  По характеру поступления требований:

a.  детерминированные (возникают в узком круге задач, когда упрощенно можно рассматривать входной поток как регулярный - с постоянными временными интервалами между требованиями; на практике это означает ситуацию стабильного финансирования, регулярных поставок материалов строго по расписанию и т. п.).

b.  стохастические (возникают практически во всех ситуациях, когда учитываются случайные возмущающие воздействия различной природы).

2.  По времени пребывания требований в очереди:

a.  с неограниченным временем (возникают при рассмотрении поставок строительных конструкций, изделий и материалов с длительным временем износа, при рассмотрении финансовых потоков, при моделировании сервисного обслуживания строительной техники и др.).

b.  с ограниченным временем (возникают при рассмотрении поставок строительных материалов с ограниченным временем использования - бетоны, растворы и т. п.).

c.  с отказом (возникают при рассмотрении поставок строительных конструкций, изделий и материалов, нуждающихся в складировании при наличии ограничений складских площадей и др.).

3.  По дисциплине обслуживания требований:

a.  в порядке очереди - FIFO - first input, first output (возникают при моделировании транспортных потоков при монтаже "с колес", при рассмотрении задач организации ремонта строительной техники, рассмотрении различных заявок и др.).

b.  в порядке поступления LIFO - last input, first output (возникают при рассмотрении процесса расходования строительных конструкций, изделий и материалов длительного складского хранения, в первую очередь, насыпных, в некоторых задачах моделирования транспортных потоков и др.).

c.  с приоритетом (возникают при рассмотрении задач календарного планирования возведения объекта, организации ремонта строительной техники, рассмотрении различных заявок и др.).

d.  случайно (возникают при рассмотрении процесса расходования складируемых строительных конструкций, изделий и материалов, анализе финансовых потоков и др.).

4.  По составу каналов обслуживания:

a.  одноканальные (возникают при рассмотрении систем с ограниченной пропускной способностью при моделировании транспортных потоков, систем ремонта, сервиса и др.).

b.  многоканальные (возникают при рассмотрении систем со значительной пропускной способностью, при моделировании календарного плана возведения строительного объекта на множестве захваток с параллельным выполнением работ и др.).

5.  По количеству этапов обслуживания:

a.  однофазные (возникают при моделировании процесса монтажа строительных конструкций, организации транспортных потоков, поставок оборудования и др.).

b.  многофазные (возникают при моделировании работы комплексных строительных бригад, в ряде систем организации ремонта строительной техники и др., когда выходной поток одной фазы обслуживания является входным для следующей фазы).

6.  По характеру занятия канала:

a.  в порядке освобождения канала (возникают при моделировании работы комплексных строительных бригад, специалистов по ремонту, обслуживанию, при анализе работы строительных машин и механизмов).

b.  со строгим порядком соответствия канала и требования (возникают при моделировании работы специализированных строительных бригад, специалистов по ремонту, обслуживанию, при анализе работы специализированной строительной техники).

7.  По ограниченности потока требований:

a.  разомкнутые - с бесконечным потоком требований (возникают при моделировании систем снабжения, транспортных потоков, рассмотрении заявок и др.).

b.  замкнутые - с ограниченным потоком требований (возникают при моделировании систем абонентского обслуживания, как правило, связанных с ремонтом ограниченного парка техники и оборудования, когда после обслуживания требование вновь поступает на вход той же самой СМО).

Наиболее просто формализуется функционирование простейших СМО (одноканальных, разомкнутых, с неограниченным ожиданием и простейшими потоками требований). Поведение такой системы можно представить как процесс смены состояний: X0 - в системе нет требований, X1 - в системе 1 требование, …, Xn - в системе n требований. В этом случае работа СМО иллюстрируется графом состояний (рис.3).

Вероятность прихода (обслуживания) очередного требования (вероятность перехода в следующее или предыдущее состояние X) за период времени Δt для стационарного потока пропорциональна времени и интенсивности потока (λ - для входного и µ - для выходного). Если потоки, действующие в СМО, ординарны, т. е. за период времени Δt приходит либо обслуживается ровно 1 требование, то скачки через соседнее состояние невозможны. Вероятность остаться в том же состоянии определяется исходя из вероятности полной группы несовместных событий: сумма вероятностей для всех дуг, исходящих из события, должна быть равна 1.

Рассмотрение графа позволяет определить матрицу переходных вероятностей (элемент матрицы (i, j) - вероятность перехода из состояния i в состояние j за элементарный момент времени Δt):

Для СМО, удовлетворяющих ограничениям цепей Маркова (вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от текущего состояния и не зависят от предыстории), можно применить теорему Маркова:

Pn = P0 где

P0 = {p0(t0), p1(t0), …, pk(t0)} - вектор-строка вероятностей пребывания в состоянии X0, X1, …, Xk (в системе 0, 1, …, k требований) в начальный момент времени;

Pn = {p0(tn), p1(tn), …, pk(tn)} - вектор-строка вероятностей пребывания в состоянии X0, X1, …, Xk через n шагов функционирования системы.

Элементы строк образуют полную группу несовместных событий и суммарная вероятность по всем компонентам вектора равна 1:

Фактически теорема Маркова показывает, что при достаточно большом n система стремится к предельному состоянию, которое описывается вектором Pn.

pnn=1-(λ+µ)Δt