Основы математического моделирования социально-экономических процессов (стр. 2 )

Фамилия, имя	Дата рождения	Школа	Класс	Средний балл
Иванов Петр	15.06.84	586	9	4,6

Другой пример различных информационных моделей для одного и того же объекта.

Пример 5. Многочисленные свидетели преступления сообщили разнообразную информацию о предполагаемом злоумышленнике — это их информационные модели. Представителю милиции следует выбрать из потока сведений наиболее существенные, которые помогут найти преступника и задержать его. У представителя закона может сложиться не одна информационная модель бандита. От того, насколько правильно будут выбраны существенные черты и отброшены второстепенные, зависит успех дела.

Выбор наиболее существенной информации при создании информационной модели и сложность этой модели обусловлены целью моделирования.

Построение информационной модели является отправным пунктом этапа разработки модели. Все входные параметры объектов, выделенные при анализе, располагают в порядке убывания значимости и проводят упрощение модели в соответствии с целью моделирования.

Знаковая модель. Прежде чем приступить к процессу моделирования, человек делает предварительные наброски чертежей либо схем на бумаге, выводит расчетные формулы, т. е. составляет информационную модель в той или иной знаковой форме, которая может быть либо компьютерной, либо некомпьютерной.

Компьютерная модель — это модель, реализованная средствами программной среды.

Существует множество программных комплексов, которые позволяют проводить исследование (моделирование) информационных моделей. Каждая программная среда имеет свой инструментарий и позволяет работать с определенными видами информационных объектов.

Человек уже знает, какова будет модель, и использует компьютер для придания ей знаковой формы. Например, для построения геометрических моделей, схем используются графические среды, для словесных или табличных описаний — среда текстового редактора.

Основные функции компьютера при моделировании систем:

·  исполнение роли вспомогательного средства для решения задач, решаемых и обычными вычислительными средствами, алгоритмами, технологиями;

·  исполнение роли средства постановки и решения новых задач, не решаемых традиционными средствами, алгоритмами, технологиями;

·  исполнение роли средства конструирования компьютерных обучающих и моделирующих сред типа: «обучаемый — компьютер — обучающий», «обучающий — компьютер — обучаемый», «обучающий — компьютер — группа обучаемых», «группа обучаемых — компьютер — обучающий», «компьютер — обучаемый — компьютер»;

·  исполнение роли средства моделирования для получения новых знаний;

·  «обучение» новых моделей (самообучение моделей).

Этап 3. Компьютерный эксперимент.

Компьютерное моделирование — основа представления знаний в ЭВМ. Компьютерное моделирование для рождения новой информации использует любую информацию, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ. Прогресс моделирования связан с разработкой систем компьютерного моделирования, а прогресс в информационной технологии — с актуализацией опыта моделирования на компьютере, с созданием банков моделей, методов и программных систем, позволяющих собирать новые модели из моделей банка.

Разновидность компьютерного моделирования — вычислительный эксперимент, т. е. эксперимент, осуществляемый экспериментатором над исследуемой системой или процессом с помощью орудия эксперимента — компьютера, компьютерной среды, технологии.

Вычислительный эксперимент становится новым инструментом, методом научного познания, новой технологией также из-за возрастающей необходимости перехода от исследования линейных математических моделей систем (для которых достаточно хорошо известны или разработаны методы исследования, теория) к исследованию сложных и нелинейных математических моделей систем (анализ которых гораздо сложнее). Грубо говоря, наши знания об окружающем мире линейны, а процессы в окружающем мире нелинейны.

Вычислительный эксперимент позволяет находить новые закономерности, проверять гипотезы, визуализировать ход событий и т. д.

Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т. е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям.

С развитием вычислительной техники появился новый уникальный метод исследования — компьютерный эксперимент. Компьютерный эксперимент включает некоторую последовательность работы с моделью, совокупность целенаправленных действий пользователя над компьютерной моделью.

Этап 4. Анализ результатов моделирования.

Конечная цель моделирования — принятие решения, которое должно быть выработано на основе всестороннего анализа полученных результатов. Этот этап решающий — либо вы продолжаете исследование, либо заканчиваете. Возможно, вам известен ожидаемый результат, тогда необходимо сравнить полученный и ожидаемый результаты. В случае совпадения вы сможете принять решение.

Основой для выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов. Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, значит, допущены ошибки на предыдущих этапах. Это может быть либо слишком упрощенное построение информационной модели, либо неудачный выбор метода или среды моделирования, либо нарушение технологических приемов при построении модели. Если такие ошибки выявлены, то требуется корректировка модели, т. е. возврат к одному из предыдущих этапов. Процесс повторяется до тех пор, пока результаты эксперимента не будут отвечать целям моделирования. Главное, надо всегда помнить: выявленная ошибка — тоже результат.

Как говорит народная мудрость, на ошибках учатся.

Тема 1.4. Разновидности задач моделирования и подходов к их решению

Задачи моделирования делятся на две категории: прямые и обратные.

Прямые задачи отвечают на вопрос, что будет, если при заданных условиях мы выберем какое-то решение из множества допустимых решений. В частности, чему будет равен, при выбранном решении критерий эффективности.

Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать решение из множества допустимых решений, чтобы критерий эффективности обращался в максимум или минимум.

Остановимся на обратных задачах. Если число допустимых вариантов решения невелико, то можно вычислить критерий эффектности для каждого из них, сравнить между собой полученные значения и непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов. Такой способ нахождения оптимального решения называется "простым перебором". Однако. Когда число допустимых вариантов решения велико, то поиск оптимального решения простым перебором затруднителен, а зачастую практически невозможен. В этих случаях применяются методы "направленного" перебора, обладающие той особенностью, что оптимальное решение находится рядом последовательных попыток или приближений, из которых каждое последующие приближает нас к искомому оптимальному.

Модели принятия оптимальных решений отличаются универсальностью. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) критерия эффективности, компоненты которого удовлетворяют системе ограничений (равенств и/или) неравенств.

Их можно разделить на:

принятие решений в условиях определенности - исходные данные - детерминированные; принятие решений в условиях неопределенности - исходные данные - случайные величины.

Классификация задач оптимизации

Исходные данные	Переменные	Зависимости	Задача
Детерминированные	Непрерывные	Линейные	Линейного программирования
Целочисленные	Линейные	Целочисленного программирования
Непрерывные, целочисленные	Нелинейные	Нелинейного программирования
Случайные	Непрерывные	Линейные	Стохастического программирования

А по критерию эффективности:

одноцелевое принятие решений (один критерий эффективности);

многоцелевое принятие решений (несколько критериев эффективности).

Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования. В этом "детерминированном" случаи, когда все условия операции известны заранее. тогда, обратная задача будет включает в себя критерий эффективности и некоторые известные заранее факторы (ограничения) позволяющие выбрать множество допустимых решений.

В общем виде обратная детерминированная задача будет выглядеть следующим образом.

При заданном комплексе ограничений найти такое оптимальное решение, принадлежащее множеству допустимых решений, которое обращает критерий эффективности в максимум (минимум).

Метод поиска экстремума и связанного с ним оптимального решения должен всегда исходить из особенности критерия эффективности и вида ограничений, налагаемых на решение.

Очень часто реальные задачи содержит помимо выше перечисленных факторов, еще одну группу - неизвестные факторы. Тогда обратную задачу можно сформулировать следующим образом.

При заданном комплексе ограничений, с учетом неизвестных факторов, найти такое оптимальное решение, принадлежащее множеству допустимых решений, которое, по возможности, обеспечивает максимальное (минимальное) значение критерий эффективности.

Это уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка "по возможности"). Наличие неопределенных факторов переводит эту задачу в новое качество: она превращается в задачу о выборе решений в условиях неопределенности.

Приведем примеры.

Пример 1. Планируется ассортимент товаров для распродажи на ярмарке. Желательно было бы максимизировать прибыль. Однако заранее неизвестно них количество покупателей, которые придут на ярмарку, ни потребности каждого из них.

Пример 2. Проектируется система сооружений, оберегающая район от наводнений. Ни моменты их наступления, ни размеры их неизвестны, а проектировать все таки нужно и т. д.

Для того, чтобы принимать решение в условиях неопределенности, необходимо знать каков вид этой неопределенности. По этому признаку можно различать стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции, события и т. д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистические характеристики (законы распределения и их параметры).

Пример 3. Пусть организуется столовая. Нам в точности неизвестно, какое количество посетителей придет в нее за рабочий день, когда именно они будут появляться, какие блюда заказывать и сколько времени будет продолжаться обслуживание каждого из них. Однако характеристики этих случайных величин могут быть получены статистическим путем.

Пример 4. Организуется система профилактического и аварийного ремонта технических устройств с целью уменьшения простоя техники за счет неисправностей и ремонтов. Отказы техники, длительность ремонта и профилактик носят случайный характер. Характеристики всех случайных факторов могут быть получены, если собрать соответствующую статистику.

В стохастических задачах неизвестные факторы представляют собой случайные величины с какими-то в принципе известными, вероятностными характеристиками - законами распределения, математическими ожиданиями, дисперсиями. Тогда критерий эффективности, зависящий от этих факторов, тоже будет величиной случайной. Максимизировать или минимизировать случайную величину невозможно: при любом решении она остается случайной, неконтролируемой.

Возникает вопрос, нельзя ли заменить случайные факторы их средними значениями (математическими ожиданиями). Тогда задача становится детерминированной и может быть решена обычными методами. Понятно, что решение этого вопроса зависит от того, насколько случайны эти факторы, как мало они откланяются от своих математических ожиданий.

Приведем примеры. Например, если мы составляем план снабжения группы предприятий сырьем, то можно в первом приближении пренебречь, скажем, случайностью фактической производительности источников сырья (если их производство хорошо налажено). Но, если, например, планируется работа ремонтной мастерской, обслуживающей автобазу, то пренебречь случайностью момента появления неисправностей и случайностью времени выполнения ремонта невозможно.

В случаях, когда критерий эффективности остается случайной величиной, можно в качестве критерия эффективности взять его среднее значение (математическое ожидание) и выбрать такое решение, при котором этот усредненный показатель обращается в максимум (минимум). Очень часто именно так и поступают, выбирая в качестве критерия эффективности в задачах, содержащих определенность, не просто доход, а средний доход, не просто время, а среднее время.

Применение "оптимизации в среднем" дает хорошие результаты, когда речь идет ряде длинных однородных операций, тогда "минусы" в одном случае покрываются "плюсами" в другом. Но возможны случаи, когда такая оптимизация не дает нужного эффекта.

Пример 5. Организуется автоматизированная система управления для службы неотложной медицинской помощи большого города. Вызовы, возникающие в разных районах города в случайные моменты, поступают на центральный пульт управления, откуда они передаются на тот или другой пункт неотложной помощи. Требуется разработать такое правило (алгоритм) диспетчерской работы, при котором служба в целом будет функционировать эффективно.

Прежде всего нужно выбрать показатель эффективности F. Разумеется, желательно, чтобы время ожидания врача было минимальным. Но время величина случайная и если применить "оптимизацию в среднем", то надо выбрать тот алгоритм, при котором время ожидания минимально.

Но дело в том, что время ожидания врача отдельными больными не суммируется: слишком долгое ожидание одного из них не компенсируется почти мгновенным обслуживанием другого. Чтобы избежать таких неприятностей, можно дополнить показатель эффективности добавочными требованиями, чтобы фактическое время ожидания врача было не больше какого предельного значения f0. Поскольку время ожидания величина случайная, нельзя просто потребовать, чтобы выполнялось условие F≤ f0, но можно потребовать, чтобы это условие выполнялось с большой вероятностью, настолько большой, чтобы событие F≤ f0 было практически достоверным. Пусть k=0,995 и потребуем, чтобы вероятность P(F≤ f0 ) ≥ k.

Введение такого ограничения означает, что из области допустимых решений, исключаются решения эму не удовлетворяющие. Ограничения такого типа называются стохастическим ограничениями.

Особенно осторожными надо быть с "оптимизацией в среднем", когда речь идет об единичной операции.

Кроме рассмотренных выше, бывают задачи, когда неизвестные факторы не могут быть изучены и описаны статистическими методами. Это бывает в двух случаях:

·  распределение вероятностей для параметров в принципе существует, но к моменту принятия решения не может быть получено;

·  распределение вероятностей для параметров вообще не существует.

Пример 6. Проектируется информационно - вычислительная система, предназначенная для обслуживания каких - то случайных потоков требований (запросов).

Вероятностные характеристики этих потоков требований в принципе могли быть получены из статистики, если бы данная система (или аналогичная ей) уже существовала и функционировала достаточно долгое время. Но к моменту создания такой информации нет. Как поступить в этом случае?

В этом случае разумно применить адаптивный алгоритм. Он заключается в следующем. Оставляют некоторые элементы решения свободными, изменяемыми. Затем выбирают какой - нибудь вариант решения, зная, что он не самый лучший и пускают систему в ход, а попом по мере накопления опыта, целенаправленно изменяют свободные параметры, добиваясь того, чтобы эффективность не уменьшалась, а увеличивалась.

Теперь рассмотрим случай, когда вообще не существует вероятностных характеристик, случай нестохастической неопределенности.

Пример 7. Допустим, планируется некоторая торгово-производственная операция успех которой зависит от того, юбки какой длины будут носит женщины через два года.

Понятно, что распределение этой вероятностной величины не может быть получено не из каких статистических данных. Что же делать в этом случае?

Можно поступить следующим образом. Задаться каким более или менее правдоподобным значением вероятностного параметра и решить данную задачу, как обычную детерминированную задачу. Но полученное решение может и не быть оптимальным, просто мы получим некоторое компромиссное решение.

В настоящее время полноценной научной теории компромисса не существует, хотя некоторые попытки в этом направлении в теории игр и статистических решений делаются.

Модульная единица 2. Понятие математической модели

Главная особенность моделирования состоит в том, что это метод опосредствованного познания с помощью объектов-заменителей. Именно эта особенность моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Сформулируем принципы, которые определяют те общие требования, которым должна удовлетворять правильно построенная математическая модель некоторого объекта (системы).

Принцип 1. Полярность диалектической пары «модель - объект». Эта диалектическая пара всегда полярная, имеет два полюса - «модель» и «объект».

Принцип 2. Первичность объекта. С двух взаимно связанных полюсов диалектической пары «модель - объект» один из них (объект) есть первичным, другой (модель) - производным от него.

Принцип 3. Обусловленность модели объектом. Наличие полюса «модель» предопределяет необходимость наличия полюса «объект».

Принцип 4. Множественность моделей относительно объекта исследования. Как «модель» для объекта, так и «объект» для данной «модели» семантически и интерпретационно многозначные: «объект» описывается не одной, а многими «моделями», «модель» отражает свойства не одного, а многих «объектов».

Принцип 5. Адекватность. Этот принцип предусматривает соответствие модели цели исследования, принятой системе гипотез за уровнем сложности и организации, а также соответствие реальной системе (объекту). Пока не решены вопросы, правильно ли отображает модель исследуемую систему (объект), ценность модели незначительна.

Принцип 6. Простота при условии сохранения существенных (ключевых) свойств объекта (системы). Модель должна быть в некоторых аспектах существенно более простой от прототипа - в этом собственно и заключается смысл моделирования, т. е. модель игнорирует несущественные свойства объекта.

Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей.

Принцип 7. Блочное построение. При выполнении принципа блочного построения облегчается разработка сложных моделей и появляется возможность использования накопленного опыта и адаптации готовых блоков с минимально необходимыми связями между ними. Выделение блоков происходит с учетом распределения модели по этапам и режимам функционирования объекта (системы).

Этапы экономико-математического моделирования

1. Постановка экономической проблемы и разработка концептуальной модели. Главное на этом этапе - четко сформулировать сущность проблемы (цели исследования), предположение, которые принимаются, и те вопросы, на которые необходимо получить ответы. С учетом целей исследования проводится качественный анализ объекта; выделяются, абстрагируясь от второстепенных, важнейшие черты и свойства объекта, который моделируется. Из позиции системного подхода изучаются структура объекта и главные взаимосвязи между его элементами (подсистемами). Избираются и обосновываются основные показатели и система гипотез, которые объясняют поведение и развитие объекта и на основе которых будет происходить дальнейшая формализация.

На этом этапе моделирования широко применяются качественные методы описания систем, знаковые и языковые модели. Такое первичное, приближение изображения системы называют концептуальной моделью.

2. Разработка математических моделей. Это этап формализации экономической проблемы, выражение ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т. п.). На этом этапе проводится теоретическое (аналитическое) исследование модели, избираются исследовательский приемы и решения. Целью теоретического (аналитического) исследования есть выявление общих свойств модели. Важнейший момент - доказательство существования решения для модели. Знание общих свойств модели настолько важно, что часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первичной модели. В том случае, когда аналитическими методами не удается выяснить общие свойства модели, а простота модели служит причиной недопустимых (неадекватных) результатов, переходят к числовым исследовательский приемов.

3. Реализация модели в виде пакета прикладных программ (ППП) и проведение расчетов. Этот этап включает разработку алгоритмов для числового решение задачи, составление программ на ЭВМ (возможное использование существующих ППП с соответствующей адаптацией) и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловленные прежде всего большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить числовые «модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели при разных значениях некоторых условий.

Исследования, которые проводятся с помощью числовых методов, могут стать существенным дополнением к результатам аналитического исследования. Класс экономических задач, которые можно решать числовыми методами, значительно более широкий, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

4. Проверка адекватности модели. Требование адекватности есть противоречащим требованию простоты, и это нужно учитывать, проверяя модель на адекватность. Начальный вариант модели предварительно проверяется по таким основными аспектами: все ли существенные параметры включены в модель; содержит ли модель несущественные параметры; правильно ли отображены функциональные связи между параметрами; правильно ли определены ограничения на значение параметров и т. п..

5. Анализ числовых результатов и принятие соответствующих решений. Результаты исследований подаются в виде, удобном для изучения, и на основе обработки полученных результатов проводится анализ материалов исследования модели. На этом, завершающему, этапе возникает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о возможности практического применения последних, и, самое главное, о достижении целей исследования.

Математическое программирование и его методы

При решении сравнительно большого класса задач по определению оптимального использования и распределения ресурсов применяют методы математического программирования.

Это название (Mathematical Programming) возникло раньше, чем вошли в обиход вычислительные машины и программы для них, так что слова «программирование» в сочетаниях «математическое программирование» и «программирование на алгоритмических языках» являются омонимами. Programming по-английски означает скорее «планирование», но неточный перевод уже у становился в терминологии.

Математическое программирование выделилось в отдельную науку и включает в себя ряд разделов:

1. Линейное программирование – раздел математического программирвоания, состоящий в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т. е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции;

2. Нелинейное программирование (NLP, англ. NonLinear Programming) — случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением является нелинейная функция.

Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции при выполнении условий

где  — параметры,  — ограничения,  — количество параметров,  — количество ограничений.

В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями

3. Целочисленное программирование — раздел математического программирования, в котором на все или некоторые переменные дополнительно накладывается ограничение целочисленности. К частному случаю задачи целочисленного линейного программирования относятся задачи, где переменные X могут принимать всего лишь два значения — 0 и 1. Соответствующие задачи часто называют задачами булевского программирования. Наиболее известные из этих задач — задача о назначениях (какого работника на какую работу поставить), задача выбора маршрута (задача коммивояжера, задача почтальона), задача о максимальном паросочетании и т. д. Целочисленное программирование применяется при решении задачи оптимизации развития компании, в которой 0 или 1 означают покупку какого-либо оборудования.

4. Динамическое программирование – способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Ключевая идея в динамическом программировании достаточно проста. Как правило, чтобы решить поставленную задачу, требуется решить отдельные части задачи (подзадачи), после чего объединить решения подзадач в одно общее решение. Часто многие из этих подзадач одинаковы. Подход динамического программирования состоит в том, чтобы решить каждую подзадачу только один раз, сократив тем самым количество вычислений. Это особенно полезно в случаях, когда число повторяющихся подзадач экспоненциально велико.

5. Геометрическое программирование – раздел математического программирования, изучающий подход к решению нелинейных задач оптимизации специальной структуры. Под задачами геометрического программирования понимают задачи наиболее плотного расположения некоторых объектов в заданной двумерной или трехмерной области. Название дисциплины связано с тем, что одним из основных в излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения.

В математическом моделировании также используются методы исследования операций:

1. Теория массового обслуживания (теория очередей) — раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из неё, длительности ожидания и длины очередей. Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.

2. Теория игр – математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках

3. Теория графов – раздел дискретной математики, исследующий свойства конечных множеств с заданными отношениями между их элементами. С помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т. д.

Модуль 2. Методы математического моделирования производственно-экономических систем

Модульная единица 1. Задачи линейного программирования

Линейное программирование является составной частью задач математического программирования, в которых критерий оптимальности задается в виде линейной функции от входящих в него переменных, кроме того, на эти переменные накладываются некоторые ограничения в форме линейных равенств и неравенств.

В 1936 году появилась первая публикация американского экономиста и статистика о межотраслевой модели производства и распределении продукции США, которая вошла в литературу под названием метода анализа экономики "затраты – выпуск".

В 1938 году русский математик , изучая практическую задачу выбора наилучшей производственной программы загрузки лущильных станков, отметил, что эта задача на максимум при ограничениях в виде линейных неравенств весьма своеобразна и не поддается решению известными средствами классического анализа. Эта задача не является случайной, как стало ясно, а является типичным представителем нового, не исследованного класса задач, к которым приводят различные вопросы нахождения наилучшего производственного плана.