Основы математического моделирования социально-экономических процессов (стр. 1 )

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ХАКАССКИЙ ФИЛИАЛ

Основы математического моделирования социально-экономических процессов

Курс лекций

Абакан 2013

Содержание

Модуль 1. Основы математического моделирования производственно-экономических процессов и систем	3
Модульная единица 1. Моделирование как метод научного познания	3
Модульная единица 2. Понятие математической модели	30
Модуль 2. Методы математического моделирования производственно-экономических процессов и систем	37
Модульная единица 1. Задачи линейного программирования	37
Модульная единица 2. Методы решения задач линейного программирования	46
Модульная единица 3. Двойственность в задачах линейного программирования	69
Модульная единица 4. Методы линейного программирования решения транспортной задачи	76
Модульная единица 5. Методы дискретного программирования решения экономических задач	89
Модульная единица 6. Методы нелинейного программирования решения экономических задач	92
Модульная единица 7. Методы динамического программирования решения экономических задач	106
Модуль 3. Применение методов исследования операций в производственно-экономических задачах	117
Модульная единица 1. Теория матричных игр	117
Модульная единица 2. Теория графов	131
Модульная единица 3. Теория массового обслуживания	144
Модульная единица 4. Линейные модели межотраслевого баланса	165

Модуль 1. Особенности применения математических методов и моделей для решения экономических задач

Модульная единица 1. Моделирование как метод научного познания

Тема 1.1. Основы моделирования. Виды моделей.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Мы под «моделью» будем понимать такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Модель – результат отображения одной структуры на другую. Отобразив физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическую модель системы, или математическую модель физической системы.

Пример 1. Рассматривая физическую систему: тело массой m, скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F, Ньютон получил соотношение F = mа. Это физико-математическая модель системы, или математическая модель физической системы. При описании этой системы (построении этой модели) приняты следующие гипотезы:

1.  поверхность идеальна (т. е. коэффициент трения равен нулю);

2.  тело находится в вакууме (т. е. сопротивление воздуха равно нулю);

3.  масса тела неизменна;

4.  тело движется с одинаковым постоянным ускорением в любой точке.

Пример 2. Физиологическая система — система кровообращения человека — подчиняется некоторым законам термодинамики. Описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке балансовых законов, получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью.

Информация – это абстракция.

Модель – это тот объект, та система, которая позволяет облечь эту информацию в конкретное, например компьютерное, представление, содержание.

Моделирование – тот процесс, метод, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот.

Модели по их назначению бывают познавательными, прагматическими и инструментальными.

·  Познавательная модель — форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

·  Прагматическая модель — средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладная модель.

·  Инструментальная модель — средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические — хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

·  Эмпирическая — на основе эмпирических фактов, зависимостей;

·  Теоретическая — на основе математических описаний;

·  Смешанная или полуэмпирическая — использующая эмпирические зависимости и математические описания.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

1.  построения модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);

2.  исследования модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);

3.  использования модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Моделирование — это универсальный метод получения, описания и использования знаний. Оно используется в любой профессиональной деятельности.

В современной науке и технологии математическое моделирование усиливается, актуализируется проблемами, успехами других наук. Математическое моделирование реальных и нелинейных систем живой и неживой природы позволяет перекидывать мостики между нашими знаниями и реальными системами, процессами, в том числе и мыслительными.

Моделирование - процесс построения, изучения и применения моделей.

Т. е. можно сказать, что моделировaние - это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.

Приведем наиболее важные типы моделей (моделирования) с краткими определениями, примерами.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Пример 3. Закон Ньютона F = am — это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой т. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример 4. Модель S = gtz/2 — динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t). Еще лучшей формой динамической модели Ньютона является: F(t) = s"(t)m(t).

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример 5. Если рассматривать только t - 0, 1, 2, ..., 10 (с), то модель S1 = gt2/2, или числовая последовательность S0 = 0, S = g/2, S2 = 2g, S3 = 9g/2, ..., S10= 50g, может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

Пример 6. Модель S = gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0; 100).

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Пример 7. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве х1 и х2 единиц соответственно, со стоимостью единиц товара a1 и а2 описана в виде соотношения: а1х1 + а2х2 = S, где S — общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (видов 1 и 2). Можно эту модель использовать в качестве имитационной модели, по которой определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов производимых товаров.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Пример 8. Приведенные выше физические модели — детерминированные. Если в модели S(p) = g(p)t2/2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр — порыв ветра с силой р при падении тела, например, так: S = gt2/2, 0 < t < 100, то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

Модель теоретико-множественная, если представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример 9. Пусть заданы множество X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения: Николай — супруг Елены, Екатерина — супруга Петра, Татьяна — дочь Николая и Елены, Михаил — сын Петра и Екатерины, семьи Николая и Петра дружат друг с другом. Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

Пример 10. Совокупность двух логических функций вида: z = ^y v ^y, p = x^y может служить математической моделью одноразрядного сумматора.

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры (лицами, коалициями).

Пример 11. Пусть игрок 1 — добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 — недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j, которые можно отождествить, соответственно, со штрафом, назначаемым игроку 2 за неуплату налогов при обнаружении факта неуплаты игроком 1, и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов (в средне - и долгосрочном плане штраф за сокрытие может оказаться намного более ощутимым). Рассмотрим матричную игру с матрицей выигрышей А порядка n. Каждый элемент этой матрицы определяется по правилу aij=/ i — j /. Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра — антагонистическая, бескоалиционная (эти формализуемые в математической теории игр понятия мы пока будем понимать интуитивно).

Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Введение такого на первый взгляд непривычного типа моделей кажется нам вполне обоснованным, так как не все модели могут быть исследованы или реализованы алгоритмически.

Пример 12. Моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда с некоторой заданной степенью точности. Алгоритмической моделью квадратного корня из числа х может служить алгоритм вычисления его приближенного сколь угодно точного значения по известной рекуррентной формуле.

Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими и т. п.

Пример 13.

1.  Правила дорожного движения — языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.

2.  Пусть В — множество производящих основ существительных, S — множество суффиксов, Р — множество прилагательных, + — операция конкатенации слов, := — операция присваивания, => — операция вывода, Z — множество значений (смысловых) прилагательных. Языковая модель М словообразования: <zi> <= <рi> := <bi>+ <Si>. При bi = pыб, Si = н получаем по этой модели: рi - рыбный, zi - приготовленный из рыбы.

Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике.

Пример 14. На экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта, например клавиатуры в программе-тренажере по обучению работе на клавиатуре.

Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования.

Пример 15.

1.  Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома.

2.  Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно эта модель используется при изображении окружности на экране компьютера.

3.  Прямая линия является моделью числовой оси.

4.  Параллелограммом часто изображается плоскость.

Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами.

Пример 16.

1.  Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома.

2.  Вписанный в окружность многоугольник дает модель окружности. Именно эта модель используется при изображении окружности на экране компьютера.

3.  Прямая линия является моделью числовой оси.

4.  Параллелограммом часто изображается плоскость.

Тип модели зависит от информационной сущности моделируемой системы, от связей и отношений ее подсистем и элементов, а не от ее физической природы.

Пример 17. Математические описания (модели) динамики эпидемии инфекционной болезни, радиоактивного распада, усвоения второго иностранного языка, выпуска изделий производственного предприятия и т. д. являются одинаковыми с точки зрения самого описания, хотя процессы различны.

Границы между моделями различных типов или же отнесение модели к тому или иному типу часто весьма условны. Можно говорить о различных режимах использования моделей — имитационном, стохастическом и т. д.

Все основные типы моделей, возможно, за исключением некоторых натурных — системно-информационные (инфосистемные) и информационно-логические (инфологические). В узком понимании информационная модель — это модель, описывающая, изучающая, актуализирующая информационные связи и отношения в исследуемой системе. В еще более узком понимании информационная модель — это модель, основанная на данных, структурах данных, их информационно-логическом представлении и обработке. Как широкое, так и узкое понимание информационной модели необходимы, определяются решаемой проблемой и доступными для ее решения ресурсами, в первую очередь информационно-логическими.

Основные свойства любой модели:

·  конечность — модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

·  упрощенность — модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

·  приблизительность — действительность отображается моделью грубо, или приблизительно;

·  адекватность моделируемой системе — модель должна успешно описывать моделируемую систему;

·  наглядность, обозримость основных свойств и отношений;

·  доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

·  информативность — модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;

·  сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

·  полнота — в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

·  устойчивость — модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже та вначале является неустойчивой;

·  замкнутость — модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

Тема 1.2. Основные понятия и принципы моделирования.

Модель должна строится так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.

Необходимым условием моделирования является подобие объекта и его модели.

Построенные модели необходимо исследовать и решить. Но прежде введем некоторые понятия.

Операция - всякое мероприятие (система действий), объединенных единым замыслом и направлением к достижению какой-либо цели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т. е. от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию.

Всякий определенный набор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными.

Оптимальными называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими. Иногда в результате исследования можно указать одно единственное строго оптимальное решение, но гораздо чаще выделить область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которой может быть сделан выбор.

Параметры, совокупность которых образует решение, называется элементами решения.

В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, различные признаки и т. д.

Задача № 1. План снабжения предприятий

Имеется ряд предприятий, потребляющих известные виды сырья, и есть ряд сырьевых баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы связаны с предприятиями путями сообщения (железнодорожными, водными, автомобильными, воздушными) со своими тарифами.

Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем (с какой базы, в каком количестве и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были обеспечены при минимальных расходах на перевозки.

В данной задаче, если составляется план перевозок однородных грузов из пунктов отправления А1, А2 , ..., Аm в пункты назначения B1, B2, ..., Bn, то элементами решения будут числа, показывающие, какое количество груза будет отправлено из i-ого пункта отправления Аi в j-ий пункт назначения Bj. Совокупность чисел x11, x12, ..., x1n, ..., xm1, xm2, ..., xmn образует решение.

Задача № 2. Строительство зрительного зала

В здании, имеющем форму полуэллипсоида нужно разместить зал в форме прямоугольного параллепипеда, соответствующие грани которого перпендикулярны осям ээлипсоида.

Требуются определить размеры зала, чтобы его вместимость (объем) был максимальный.

В данной задаче элементами решением будет размеры (высота, ширина, длина) зрительного зала.

Кроме элементов решения, в любой задаче имеются еще и заданные условия, которые фиксированы с самого начала и нарушены быть не могут. В частности к таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми мы вправе распоряжаться, и иные ограничения, налагаемые на решения. В своей совокупности они формируют "множество допустимых решений".

Речь идет о том, чтобы во множестве допустимых решений выделить те решения, которые с той или другой точки зрения эффективнее (предпочтительнее) других. Чтобы сравнить между собой по эффективности разные решения, нужно иметь количественный критерий, так называемый критерий эффективности (его часто называют целевой функцией). Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. Обозначим его F.

Например, показатель эффективности в задаче № 1 это суммарные расходы на перевозки сырья за единицу времени, например, в месяц и этот критерий эффективности должен быть минимальным. (F ≥ min), а в задаче № 2 критерий эффективности - это объем зрительного зала и он должен быть максимальный.

Тема 1.3. Этапы моделирования

Прежде чем браться за какую-либо работу, нужно четко представить себе отправной и конечный пункт деятельности, а также примерные ее этапы. То же самое можно сказать и о моделировании. Отправной пункт здесь — прототип. Им может быть существующий или проектируемый объект или процесс. Конечный этап моделирования — принятие решения на основании знаний об объекте.

Цепочка выглядит следующим образом:

Прототип (объект, процесс) → Моделирование → Принятие решения

Пример 1. Моделирование при создании новых технических средств можно рассмотреть на примере истории развития космической техники.

Для реализации космического полета надо было решить две проблемы: преодолеть земное притяжение и обеспечить продвижение в безвоздушном пространстве. О возможности преодоления притяжения Земли говорил еще Исаак Ньютон в XVII в. предложил для передвижения в пространстве создать реактивный двигатель, в котором используется топливо из смеси жидкого кислорода и водорода, выделяющих при сгорании значительную энергию. Он составил довольно точную описательную модель будущего межпланетного корабля с чертежами, расчетами и обоснованиями.

Не прошло и полувека, как описательная модель стала основой для реального моделирования в конструкторском бюро под руководством . В натурных экспериментах испытывались различные виды жидкого топлива, форма ракеты, система управления полетом и жизнеобеспечения космонавтов, приборы для научных исследований и т. п. Результатом разностороннего моделирования стали мощные ракеты, которые вывели на околоземное пространство искусственные спутники Земли, корабли с космонавтами на борту и космические станции.

Пример 2. Известный химик XVIII в. Антуан Лавуазье, изучая процесс горения, производил многочисленные опыты. Он моделировал процессы горения с различными веществами, которые нагревал и взвешивал до и после опыта. При этом выяснилось, что некоторые вещества после нагревания становятся тяжелее. Лавуазье предположил, что к этим веществам в процессе нагревания что-то добавляется. Так моделирование и последующий анализ результатов привели к определению нового вещества — кислорода, к обобщению понятия «горение», дали объяснение многим известным явлениям и открыли новые горизонты для исследований в других областях науки, в частности в биологии, так как кислород оказался одним из основных компонентов дыхания и энергообмена животных и растений.

Моделирование — творческий процесс. Заключить его в формальные рамки очень трудно. В наиболее общем виде его можно представить поэтапно. При решении конкретной задачи эта схема может подвергаться некоторым изменениям: какой-то блок будет убран или усовершенствован, какой-то — добавлен. Содержание этапов определяется поставленной задачей и целями моделирования.

Рассмотрим основные этапы моделирования подробнее.

Этап 1. Постановка задачи.

Под задачей понимается некая проблема, которую надо решить. На этапе постановки задачи необходимо:

1.  описать задачу,

2.  определить цели моделирования,

3.  проанализировать объект или процесс.

Описание задачи.

Задача формулируется на обычном языке, и описание должно быть понятным. Главное здесь — определить объект моделирования и понять, что должен представлять собой результат.

Цели моделирования.

1.  Познание окружающего мира. Зачем человек создает модели? Чтобы ответить на этот вопрос, надо заглянуть в далекое прошлое. Несколько миллионов лет назад, на заре человечества, первобытные люди изучали окружающую природу, чтобы научиться противостоять природным стихиям, пользоваться природными благами, просто выживать. Накопленные знания передавались из поколения в поколение устно, позже письменно, наконец с помощью предметных моделей. Так родилась, к примеру, модель земного шара — глобус, — позволяющая получить наглядное представление о форме нашей планеты, ее вращении вокруг собственной оси и расположении материков. Такие модели позволяют понять, как устроен конкретный объект, узнать его основные свойства, установить законы его развития и взаимодействия с окружающим миром моделей.

2.  Создание объектов с заданными свойствами (задача типа «Как сделать, чтобы...»). Накопив достаточно знаний, человек задал себе вопрос: «Нельзя ли создать объект с заданными свойствами и возможностями, чтобы противодействовать стихиям или ставить себе на службу природные явления?» Человек стал строить модели еще не существующих объектов. Так родились идеи создания ветряных мельниц, различных механизмов, даже обыкновенного зонтика. Многие из этих моделей стали в настоящее время реальностью. Это объекты, созданные руками человека.

3.  Определение последствий воздействия на объект и принятие правильного решения (задача типа «Что будет, если...»: что будет, если увеличить плату за проезд в транспорте, или что произойдет, если закопать ядерные отходы в такой-то местности?) Например, для спасения Петербурга от постоянных наводнений, приносящих огромный ущерб, решено было возвести дамбу. При ее проектировании было построено множество моделей, в том числе и натурных, именно для того, чтобы предсказать последствия вмешательства в природу.

4.  Эффективность управления объектом (или процессом). Поскольку критерии управления бывают весьма противоречивыми, то эффективным оно окажется только при условии, если будут «и волки сыты, и овцы целы». Например, нужно наладить питание в школьной столовой. С одной стороны, оно должно отвечать возрастным требованиям (калорийное, содержащее витамины и минеральные соли), с другой — нравиться большинству ребят и к тому же быть «по карману» родителям, а с третьей — технология приготовления должна соответствовать возможностям школьных столовых. Как совместить несовместимое? Построение модели поможет найти приемлемое решение.

Анализ объекта.

На первом этапе четко выделяют моделируемый объект, его основные свойства, его элементы и связи между ними. Простой пример подчиненных связей объектов — разбор предложения. Сначала выделяются главные члены (подлежащее, сказуемое), затем второстепенные члены, относящиеся к главным, затем слова, относящиеся к второстепенным, и т. д.

Этап 2. Разработка модели.

Информационная модель. На этом этапе выясняются свойства, состояния, действия и другие характеристики элементарных объектов в любой форме: устно, в виде схем, таблиц. Формируется представление об элементарных объектах, составляющих исходный объект, т. е. информационная модель. Модели должны отражать наиболее существенные признаки, свойства, состояния и отношения объектов предметного мира. Именно они дают полную информацию об объекте.

Пример 3. Представьте себе, что нужно отгадать загадку. Вам предлагают перечень свойств реального предмета: круглое, зеленое, глянцевое, прохладное, полосатое, звонкое, зрелое, ароматное, сладкое, сочное, тяжелое, крупное, с сухим хвостиком...

Список можно продолжать, но вы, наверное, уже догадались, что речь идет об арбузе.

Информация о нем дана самая разнообразная; и цвет, и запах, и вкус, и даже звук. Очевидно, ее гораздо больше, чем требуется для решения этой задачи. Попробуйте выбрать из всех перечисленных признаков и свойств минимум, позволяющий безошибочно определить объект.

В русском фольклоре давно найдено решение: «Сам алый, сахарный, кафтан зеленый, бархатный».

Если бы информация предназначалась художнику для написания натюрморта, можно было ограничиться следующими свойствами объекта: круглый, большой, зеленый, полосатый. Чтобы вызвать аппетит у сладкоежки, выбрали бы другие свойства: зрелый, сочный, ароматный, сладкий. Для человека, выбирающего арбуз на бахче, можно было бы предложить следующую модель: крупный, звонкий, с сухим хвостиком.

Этот пример показывает, что информации не обязательно должно быть много. Важно, чтобы она была «по существу вопроса», т. е. соответствовала цели, для которой используется.

Например, в школе учащиеся знакомятся с информационной моделью кровообращения. Предлагаемой в учебнике анатомии информации достаточно для школьника, но мало для тех, кто проводит операции на сосудах в больницах.

Информационные модели играют очень важную роль в жизни человека.

Знания, получаемые вами в школе, имеют вид информационной модели, цель которой — изучение предметов и явлений.

Уроки истории дают возможность построить модель развития общества, а знание этой модели позволяет строить собственную жизнь, либо повторяя ошибки предков, либо учитывая их.

На уроках географии вам сообщают информацию о географических объектах: горах, реках, странах и др. Это тоже информационные модели. Многое, о чем рассказывается на занятиях по географии, вы никогда не увидите в реальности.

На уроках химии информация о свойствах разных веществ и законах их взаимодействия подкрепляется опытами, которые есть не что иное, как реальные модели химических процессов.

Информационная модель никогда не характеризует объект полностью. Для одного и того же объекта можно построить различные информационные модели.

Пример 4. Выберем для моделирования объект «человек». Человека можно рассмотреть с различных точек зрения: как отдельного индивида и как человека вообще. Если иметь в виду конкретного человека, то можно построить модель, которая представлена в таблице: Информационная модель ученика.