Электротехника. Введение (стр. 2 )

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Резонансом напряжений называют явление в цепи с последовательным контуром, когда ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

tgφ = X/R.

Условием резонанса напряжений является Х = 0 или XL = XC.

Но X L = 2πfL, а Xс = 1/(2πfС), где f — частота источника питания.

При резонансе напряжений частота источника равна собственной частоте колебаний контура.

Резонансу напряжений соответствует векторная диаграмма, приведенная на рисунке

Рис. 2.18. Схема последовательного колебательного контура, векторная диаграмма, резонансная кривая тока.

Признаки резонанса напряжений:

а) сопротивление цепи Z=R минимальное и чисто активное;

б) ток цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает максимального значения;

в) напряжение на индуктивной катушке равно напряжению на конденсаторе и каждое в отдельности может во много раз превышать напряжение на зажи­мах цепи.

Физически это объясняется тем, что напряжение источника при резонансе идет только на покрытие по­терь в контуре. Напряжение на катушке и конденса­торе обусловлено накопленной в них энергией, значение которой тем больше, чем меньше потери в цепи. Количественно указанное явление характеризуется добротностью контура Q, которая представ­ляет собой отношение напряжения на катушке или конденсаторе к напряжению на зажимах цепи при резонансе:

Q=UL/U=UL/UR=XC/R=XL/R

При резонансе XL =

- волновое сопро­тивление контура.

Таким образом, Q = Zв/ R.

Способность колебательного контура выделять токи резонансных частот и ослаблять токи других час­тот характеризуется резонансной кривой

Резонансная кривая показывает зависимость дей­ствующего значения тока в контуре от частоты источ­ника при неизменной собственной частоте контура. При этом, чем больше доброт­ность контура Q, тем острее резонансная кривая контура.

Резонанс напряжений широко используется в ра­диотехнике и электронике для выделения сигналов за­данной частоты.

РЕЗОНАНС ТОКОВ

Резонансом токов называют такое явление в цепи с параллельным колебательным контуром, ко­гда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника.

Проводимость контура должна быть чисто активной, а реактивная проводимость равна нулю:

Рис.2.19. Схема па­раллельного колеба­тельного контура, вектор­ная диаграмма при резонансе токов.

b =b1+b2 = 0, где b1=bL = XL/(R2 + X2L);

b2= - bс= - 1/Хс.

Условием резонанса токов является равенство нулю реактивной проводимости контура.

Для того чтобы ток I в неразветвленной части цепи совпадал по фазе с напряжением, реактивная составляющая тока индуктивной ветви ILp должна быть равна по модулю току емкостной ветви Iс. Активная составляющая тока индуктивной ветви ILa оказывается равной току источника I.

Сопротивление контура

ZK=l/уK,

уk=g1+g2= R/X2L

ZK = Z2B/R.

Признаки резонанса токов:

а) сопротивление контура ZK максимальное и чисто активное;

б) ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением источника и достигает практически минимального значения;

в) реактивная составляющая тока в катушке равна емкостному току, причем эти токи могут во много раз превышать ток источника.

КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ

Коэффициент мощности cosφ = P/S. Технико-эко­номическое значение коэффициента мощности cos φ заключается в том, что от его значения зависят эффективность использования электрических установок и, следовательно, капитальные и эксплуатационные расходы. Уменьшение cos φ, значение которо­го определяется характером нагрузки, приводит к не­полному использованию генератора. Если приемник энергии (нагрузка) работает при неизменных напря­жении и мощности, то ток нагрузки генератора будет тем больше, чем меньше cos φ. Увеличение тока генератора приводит к возрастанию тепловых потерь в линиях передачи энергии.

Для полного использования номинальной мощности генераторов и уменьшения тепловых потерь необходимо повышать соsφ приемников энергии до значений, близких к единице (0,95—1,0).

Для повышения cos φ параллельно приемнику энер­гии включают батареи конденсаторов. Благодаря это­му источником реактивной энергии для приемника становится емкость, и линия передачи разгружается от реактивного тока.

2.3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутые по фазе на 120°, образуют трех­фазную симметричную систему. Аналогично получают­ся трехфазные системы напряжений и токов.

Рис.2.20. Векторная диаграмма трехфазных напряжений и токов при сим­метричной нагрузке

При симметричной нагрузке, когда все три нагру­зочных сопротивления равны по значению и имеют одинаковый характер, синусоиды напряжений и токов изображаются графиками, аналогичными графику ЭДС. При этом начальные фазы токов определяются характером нагрузки, токи Iд, IВ, IС равны по амплитуде и сдвинуты по фазе на 120° один относительно другого. Векторная диаграмма трехфазных напряже­ний и токов при симметричной нагрузке изображена на рис.2.20.

Трехфазный генератор, соединенный проводами с трехфазным потребителем, образует трехфазную цепь. В трехфазной цепи протека­ет трехфазная система токов, т. е. синусоидальные токи с тремя различными фазами. Участок цепи, по которому про­текает один из токов, называют фазой трехфазной цепи.

В целях экономии обмотки трехфазного генератора соединяют звездой или треугольником. При этом число соединительных проводов от генератора к нагрузке уменьшается до трех или четырех.

Рис. 2.21. Схема об­моток генератора, соединенных звез­дой

Рис.2.22. Схема обмоток генератора, соединенных треугольником

При соединении звездой концы обмоток объединяют в одну точку, которую называют нулевой точкой генератора и обозначают О. Начала обмоток обозначают буквами А, В, С.

При соединении треугольником конец первой обмотки генератора соединяют с началом вто­рой, конец второй — с началом третьей, конец треть­ей — с началом первой. К точкам А, В, С подсоеди­няют провода соединительной линии.

Отметим, что при отсутствии нагрузки ток в об­мотках такого соединения отсутствует, так как геомет­рическая сумма ЭДС Еа, Ев и Eс равна нулю.

СОЕДИНЕНИЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ЗВЕЗДОЙ.

ЧЕТЫРЕХ - И ТРЕХПРОВОДНАЯ ЦЕПИ

Рассмотрим соединение генератора с нагрузкой, включенной звездой (рис.2.23).

Провод 00' называют нулевым (четырехпроводная цепь).

I0= IА + IВ + IС

Рис. 2.23. Схема трехфазной электри­ческой цепи с нулевым проводом

Рис.2.24. Векторная диаг­рамма токов в трехфаз­ной цепи при симметрич­ной нагрузке

Рис. 2.25. Схема трехфазной трехпроводной цепи

Из геометрического построения, показанного на рис.2.24, следует, что в этом случае векторная сумма токов равна нулю:

0= IА + IВ + IС

При симметричной нагрузке нуле­вой провод не нужен. Получается схема трехфазной трехпроводной цепи, изображенная на рис.2.25.

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАЗНЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ ПРИ СИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ В ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ, СОЕДИНЕННОЙ ЗВЕЗДОЙ

Система ЭДС обмоток трехфазного генератора, работающего в энергосистеме, всегда симметрична: ЭДС поддерживаются строго постоянными по ампли­туде и сдвинутыми по фазе на 120°.

Рассмотрим симметричную нагрузку (рис.2.26.), для которой

ZА=ZВ=ZС=Z, φА=φВ=φС=φ

К зажимам А, В, С подходят провода линии электро­передачи—линейные провода.

Введем обозначения: Iл — линейный ток в прово­дах линии электропередачи; Iф — ток в сопротивлени­ях (фазах) нагрузки; Uл — линейное напряжение между линейными проводами; UФ — фазное напряже­ние на фазах нагрузки.

Фазные и линейные токи совпадают: Iл = Iф, напряжения UAB, UBC и UCA являются линейными, а напряжения UA, UB, Uс — фазны­ми. Складывая напряжения, находим (рис.2.27.):

UAB = UA-UB; UВC = UB-Uc; UCA = UC-UA.

Рис. 2.26. Соединение нагрузки звездой

Рис. 2.27. Полярная век­торная диаграмма напряжений

Векторную диаграмму, удовлетворяющую этим уравнениям (рис.2.27), начинаем строить с изобра­жения звезды фазных напряжений UА, UB, Uc. Затем строим вектор UAB — как геометрическую сумму век­торов UA и —

UB, вектор UВС как геометрическую сумму векторов UВ и – UС вектор UCA — как гео­метрическую сумму векторов Uc и — UА.

На построенной векторной диаграмме начала всех векторов совмещены в одной точке (полюсе), поэтому ее называют полярной. Основное достоинство по­лярной векторной диаграммы — ее наглядность.

Уравнениям, связывающим векторы линейных и фазных напряжений, удовлетворяет также векторная диаграмма рис.2.28, которую называют топографической.

Рис.2.28. Топографическая векторная диаграмма напряжений

В симметричной звезде фазные и линейные токи и напряжения связаны соотношениями Iл = Iф;

Uл =√3 Uф.

Нулевой провод в четырехпроводной цепи предназначен для обеспечения симмет­рии фазных напряжений при несимметричной на­грузке.

Несимметрия фазных напряжений недопустима, так как приводит к нарушению нормальной работы потре­бителей, рассчитанных на определенное рабочее на­пряжение.

СОЕДИНЕНИЕ НАГРУЗКИ ТРЕУГОЛЬНИКОМ. ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ, СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФАЗНЫМИ И ЛИНЕЙНЫМИ ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ

Треугольником могут быть соединены как обмотки генератора, так и фазы нагрузки. При соединении тре­угольником фазные и линейные напряжения равны: UЛ = UФ (рис.2.29). Применив первый закон Кирхгофа

Рис. 2.29. Соединение нагрузки треугольником

IC

Рис. 2.30. Векторные диаграммы напряжений и токов трех­фазной цепи при соединении нагрузки треугольником

Рис. 2.31. К определению соотношения между фазными и линейными токами при соединении нагрузки тре­угольником

к узлам А, В и С, найдем связь между линейными IА IВ IС фазными IАВ, IВС, IСА токами. Для векторов токов справедливы соотношения

IА = IАВ - IСА; IВ=IВС — Iав; Iс = Iса — Iвс

Этим уравнениям удовлетворяют векторные диаг­раммы, представленные на рис.2.30. При симметричной нагрузке

IА =IВ = Iс = IЛ; IАВ =IВС= IСА= IФ.

Из треугольника фазных и линейных токов (рис.2.31) находим

Iл = 2Iф cos 30° = 2Iф = √3 IФ.

Таким образом, при соединении треугольником UЛ=UФ; IЛ=√3IФ

АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ И ПОЛНАЯ МОЩНОСТИ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ. КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ

Активная мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей ее фаз:

P=PА+ PВ+PС

Реактивная мощность трехфазной цепи равна сум­ме реактивных мощностей ее фаз:

Q = Qa + Qb + Qc

В симметричной трехфазной цепи

PФ=PА= PВ=PС ; QФ = Qa = Qb = Qc Тогда Р = ЗРФ, Q =3QФ

Мощность одной фазы

P=3UФ IФ cos φ; Q =3UФ IФ sinφ

При соединении звездой

Р = 3UФ IФ cos φ =√3UЛ IЛ cos φ

При соединении треугольником

Р = 3UФ IФ cos φ =√3UЛ IЛ cos φ

Таким образом, в обоих случаях активная мощ­ность симметричной цепи

Р = √3UЛ IЛ cos φ
Реактивная мощность

Q = √3UЛ IЛ sinφ

Полная мощность

S==√3UЛ IЛ

Коэффициент мощности симметричной трехфазной цепи находят как отношение активной и полной мощностей:

cos φ =

3. решениЕ ТИПОВЫХ контрольных заданий

Электрическая цепь постоянного тока. Закон Ома.

Задача 1. При разомкнутом ключе К показания вольтметра 2,1 В. Когда ключ замкнут, амперметр фикси­рует ток 1 А. Внешнее сопротивле­ние цепи

К R=2 Ом.

R Рис. 3.1

Определить ЭДС источника Е, внутреннее сопротивление источни­ка Rвт и напряжение на зажимах источника U.

Решение:

1. Любая электрическая цепь со­держит следующие элементы: источники энергии — активные эле­менты, потребители энергии (резисторы, осветительные приборы и т. д.) — пассивные элементы, измерительные приборы и коммутационную аппаратуру.

Электрическая цепь подразделяется также на участ­ки: внутренний — сопротивление источника RBT и внеш­ний— потребители - R.

2.  Когда цепь тока разорвана, вольтметр, подклю­ченный к зажимам источника, практически фиксирует значение ЭДС. Следовательно,

E=2,1 В.

3.  Для определения RBT необходимо воспользоваться законом Ома для всей цепи:

I = E/(Rвт + R),

откуда

Rвт + R = E/I = 2,1/1 = 2,1 Ом.

Так как известно, что внешнее сопротивление цепи R = 2 Ом, то внутреннее сопротивление источника RВT = 2,1—2=0,1 Ом.

4. Напряжение на зажимах источника

U = Е — Rвт I или U = RI.

Подставляя значения в приведенные выражения, полу­чим

U = 2,1—0,1*1=2 В;

U=2-1=2 В. Применение формулы U=E—RBTI предпочтительней, так как под­черкивается тот факт, что напряжение на зажимах источника меньше ЭДС, причем с увеличением тока это напряжение уменьшается.

Задача 2. Последовательное соединение резисторов.

В цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника Е = 100 В, внутреннее сопротивление Rвт = 2 Ом. Сопро­тивление потребителей: R1 = 50 Ом; R2= 100 Ом; R3=48 Ом. Определить ток в цепи, напряжение на зажимах источника и на каждом резисторе, мощность источника и мощность потре­бителей, проверить баланс мощно­стей. Рис. 3.2

Решение:

1. Определяем значение тока. Для этого сначала находим эквивалентное сопротивление внешнего участка цепи, представленной на рисунке. Так как резисторы R1, R2 и R3 включены последовательно, экви­валентное сопротивление R=R1+R2+Rз=50 +100 +48=198 Ом. Рассматриваемая цепь примет вид, пока­занный на рисунке. Тогда согласно закону Ома для всей цепи:

I= E/(RBT + R) = 100/(2 + 198) = 0,5 А. Рис.3.3.

2. Находим напряжение на зажимах источника. Оно
может быть определено на основании закона Ома для участка цепи:

U=RI= 198*0,5=99 В.

Целесообразно воспользоваться и другой формулой для определения этого напряжения:

U =E—RвтI= 100—2*0,5=99 В.

Из этого выражения следует, что напряжение на зажимах источника с ростом тока уменьшается.

3. Находим напряжения на отдельных участках цепи. Эти напряжения определяются по закону Ома для уча­стка цепи. Необходимо также иметь в ви­ду, что токи на всех участках одинаковы, так как цепь неразветвленная: U1 = R1I = 50*0,5=25 В;

U2=R2I=100*0,5=50 В;

U3 = R3I= 48*0,5 = 24 В.

Необходимо обратить внимание на следующую закономерность: напряжения на пассивных участках цепи при их по­следовательном соединении прямо пропорциональ­ны сопротивлениям этих участков, т. е. напряжения на участках цепи относятся как их сопротивления:

U1:U2: U3=R1 : R2: R3

При этом, если изменить сопротивление какого-ни­будь участка, произойдет перераспределение напряже­ний на участках цепи, но приведенное соотношение со­хранится.

4. Находим мощности и составляем их баланс. Мощ­ность источника энергии: РИ=ЕI=100*0,5=50 Вт. Часть этой мощности теряется внутри источника

Рвт=UвтI = (E-U)/ I= 1*0,5 = 0,5 Вт.

Мощности на отдельных участках (полезные мощности):

Р1 = U1I=25*0,5= 12,5 Вт;

P2=U2I=50*0,5=25 Вт;

Р3 = UзI=24*0,5= 12 Вт или те же мощности:

Р1 =I2R1 = 0,25* 50= 12,5 Вт;

Р2=I2R2=0,25*100 = 25 Вт;

Р3=I2R3=0,25*48=12Вт.

Составим уравнение баланса мощностей, которое от­ражает закон сохранения энергии для электрических це­пей:

Pи=Pвт,+P1+P2+P3;

50=0,5+12,5+25+12.

Вы­полнение баланса мощностей свидетельствует о правиль­ности расчета.

Задача 3. Параллельное соединение резисторов.

Для цепи, показанной на рисунке, U=const = 50 В;

R1 =20 Ом; R2=50 Ом; R3=100 Ом. Определить все токи, общую мощность и мощность на участках.

Решение: Рис. 3.4.

1.  Определяем общий ток I. Для этого сначала нахо­дим эквивалентное сопротивление внешнего участка це­пи R. Воспользуемся известной формулой:

1/R =1/R1 + 1/R2 + l/R3 = 1/20 + 1/50+1/100 = 8/100 См.

Напомним, что величина, обратная по значению сопро­тивлению 1/R, называется проводимостью, обозначается буквой g и измеряется в сименсах (См):

1/R = g = 8/100 См. Следо­вательно, R = 1/g = 100/8= 12,5 Ом.

С учетом эквивалентной замены трех резисторов одним получим схе­му на рисунке.

Согласно закону Ома, I = U/R = 50/12,5=4 А.

2. Находим токи на участках це­пи после разветвления:

Рис.3.5. I1= U/R 1 = 50/20=2,5 А;

I2= U/R2=50/50=1 А;

I3= U/R3=50/100=0,5 А.

Об­щий ток I можно определить на основании первого за­кона Кирхгофа:

I=I1+I2+I3=2,5+1+0,5=4 А.

3. Находим мощности. Общая мощность:

P =UI = 50*4=200 Вт.

Мощности на участках:

P1 = UI1 = 50*2,5= 125 Вт;

Р2= UI2=50*1 = 50Вт;

Р3=UI3= 50*0,5=25 Вт.

При параллель­ном соединении резисторов те же мощно­сти можно определить так:

P1 = U2/R1 = 2500/20 = 125 Вт;

Р2 = U2/R2 = 2500/50 = 50 Вт;

Р3 = U2/R3=2500/100=25 Вт.

Рассчитаем эту же задачу с новыми данными: R1 = 20 Ом; R2 = 50 Ом; R3=100Ом; I3=1 А. Определить токи I1; I2; Iи напряжение на за­жимах цепи.

1. Определяем токи I2 и I3. Известно, что токи в вет­вях при параллельном соединении обратно пропорцио­нальны сопротивлениям этих ветвей. На основании этого: I1/I3=R3/R1.

Откуда I1 =I3R3/R1= 1 *100/20 = 5 А.

Аналогично, I2/I3=R3/R2 ; I2=I3 R3/R2=l*100/50=2А.

2. Общий ток I определяется на основании первого
закона Кирхгофа:

I=I1 + I2 + I3 = 5 + 2 + 1=8 А.

2.  Напряжение на зажимах цепи находим на основа­нии закона Ома для участка цепи: U=R3Iз=100*1 = 100 В. Это напряжение одинаково для всех участков, так как они включены параллельно. Предложенную задачу можно решить и другим путем: найдя U, определя­ем I1 и I2;

I1= U/R1; I2=U/R2. Зная все токи в ветвях, находим общий ток I.

Задача 4. Смешанное соединение сопротивлений.

Рис.3.6. Для цепи, представленной на рисунке, E=120 В;

Rвт=2 0м; R1= 11,5 Ом; R2=10 Ом; R3 =20 Ом;

R4 = 50 Ом; R5 = 100 Ом; R6=40 Ом; R7 = 60 Ом. Определить токи и напря­жения на всех участках цепи и напряжение на зажимах ис­точника, а также мощность ис­точника и мощности потреби­телей.

Расчет цепи при смешан­ном соединении осуществляет­ся методом «свертывания». Путем ряда эквивалентных упрощений (замен) исходная схема приводится к виду, показанному на рисунке, где R — сопротивление, эквивалентное всем внешним участ­кам цепи. Затем определяется общий ток I. После этого

Рис.3.7.

возвращаемся к промежуточным схемам и определяем напряжение на ее участках. По известным напряжени­ям на участках находим токи на всех участках.

Решение:

1. Определяем эквивалентное сопротивление R. Сна­чала цепь замещается эквивалентной. Для этой цепи определяется Rab и Rсd.

1/Rab = l/R3+ 1/R4+ 1/R5, = 1/20 + 1/50+1/100 = 8/100 См;

Rab = 12,5 Ом;

Rcd = R6 R7/(R6 + R7) = 40*60/(40 + 60) = 24 Ом.

Так как схема представляет последовательное соединение резисторов, находим значение эквивалентно­го сопротивления внешней цепи:

R=R1+R2+Rab+Rcd= 11,5+10+12,5+24=58 Ом.

2. Определяем общий ток I. Исходная схема упрощена. Следовательно, на основании закона Ома для всей цепи

I= E/(RBT + R) = 120/(2 + 58) = 120/60 =2А.

3.  Определяем напряжение на участках промежуточ­ной схемы (см. рис.). Uab=RabI=12,5*2=25 В; Ucd=RcdI =24*2=48 В.

4.  Находим токи на остальных участках цепи. Теперь из­вестны напряжения на разветвлениях «аб» и «cd». Сле­довательно;

I3=Uab/R3=25/20 =1,25 А; I4=UаЬ/R4 =25/50=0,5 А; I5=Uа6/R5=25/100=0,25 А; I6= Ucd/R6=48/40=1,2А; I7=Ucd/R7=48/60=0,8 А. Для проверки правильности определения токов и напряжений необходимо воспользоваться первым и вторым законами Кирхгофа.

Применяем первый закон Кирхгофа к узлу «а»:

I— I3— I4—I5 = 2— 1,25 — 0,5 — 0,25=0.

Для узла «с»: I—I6—I7 = 2—1,2—0,8=0, т. е. полученные значения токов соответствуют первому закону Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС ΣE для любого контура электрической цепи равна алгебраи­ческой сумме напряжений на всех участках того же кон­тура ΣU.

E = Uвт+U1 + U2 + Uab + Uсd=>Rвт I + R1I + + R2I + RabI + RcdI.

Подставляя числовые значения в правую часть равенст­ва, получим

2*2 + 11,5*2+ 10*2+ 12,5*2 + 24*2 = = 4 + 23 + 20 + 25 + 48 = 120В.

Действительно, Е =ΣU. (В данном случае ΣЕ = Е.)

5. Определим мощности. Мощность источника:

Ри=EI=120*2=240Вт.

Мощности на участках:

Рвт=I2RBT=4*2=8Вт;

P1=I2R1=4*11,5=46Вт;

Р2=I2R2=4*10=40Вт;

P3=Uab I3=23*1,25=31,25 Вт;

Р4=Uа6I4=25*0,5=12,5 Вт;

Р5 = UаЬI5=25-0,25= 6,25 Вт;

P6 = UcdI6=48*1,2 = 57,6 Вт;

P7 = UcdI7= 48*0,8=38,4 Вт. Баланс мощностей сходится РИ=ΣР. Это является дополнительной проверкой правильности расчета.

Заметим, что постановка задачи по расчету цепи может быть другой. Например, задаются со­противления всех участков, а вместо ЭДС Е задается ток I3=1A (или любой другой). Тогда не­обходимо определить токи на всех остальных участках и напряжения, а также значение Е. Последовательность решения задачи такова.

1.  Определяем Uаь=R3I3=20*1=20 В.

2.  Зная Uab, находим токи: I4=Uab/R4=20/50=0,4 А; I5=Uа6/R5=20/100=0,2А; I=I3+I4+I5= 1 + 0,4+0,2 = 1,6 А.

3.  Находим напряжение на остальных участках и ЭДС

U1,2= (R1+R2)I=21,5*1,6=34,4 В; Ucd=RcdI= 24*1,6=38,4 В;

Uвт=RвтI=2*1,6=3,2 В; E=Uвт + U1,2+Ua6+Ucd=3,2+34,4+20+38,4 = 96B.

4.  Токи I6 и I7 определяем на основании закона Ома для участка цепи: I6=Ucd/R6=38,4/40=0,96 А; I7= Ucd/R7=38,4/60=0,64 А.

Расчет однофазных цепей переменного тока

Задача 1. Определить напряжение U, приложенное к последовательно соединенным резистору и конденсатору (рис.3.8.), если напряжение на резисторе Ua=30B, а напряжение на конденсаторе Uc=40B. Активным сопротивлением конденсатора и проводов пренебречь.

Решение: Векторы напряжений Ua и Uc сдвинуты один относительно другого на 900 (рис.3.9.), поэтому их геометрическую сумму можно определить по теореме Пифагора:

Рис.3.8. Рис.3.9. Рис.3.10.

Задача 2. Определить ток в цепи (рис.3.10), состоя­щей из последовательно соединенных резистора, конден­сатора и катушки индуктивности. Найти падение напряжения на элементах цепи и построить векторную диаграмму. Активным сопротивлением конденсатора, ка­тушки и проводов пренебречь. Дано: U=220 В, R = 22 Ом, С=100 мкФ = 100*10-6 Ф, L= 101,32 мГн,

f = 50 Гц:

Решение: Емкостное и индуктивное сопротивления

Емкостное сопротивление равно индуктивному, сле­довательно, в цепи — резонанс напряжений. Полное сопротивление цепи и ток в ней

UL

Падение напряжения на элементах цепи: UR I

UR = RI= 20*11 =220 В; Рис.3.11. Uc

UL= Uc = xLI = xcI = 31,83*10 = 318,3 В.

При построении векторной диаграммы (рис. 3.11) учи­тываем, что в цепи — резонанс напряжений.

Задача 3. Определить токи в цепи, изображенной на рис. 3.12. Дано: U=120 В, активное сопротивление ка­тушки индуктивности R1 = 8 0m, индуктивное сопротив­ление Xl = 6 Ом, R2=3 Ом, Xс=4 0м. Построить векторную диаграмму токов. Активным сопротивлением проводов и конденсатора пренебречь.

Рис.3.12.

Решение. Активные и реактивные проводимости ветвей:

Полная проводимость цепи

Ток в неразветвленной части цепи

I= Uy = 120 *0,2236 = 26,83 А.

Токи в параллельных ветвях

Для построения векторной диаграммы находим углы сдвига по фазе токов в ветвях относительно напряжения U: tgφl=xL/R1 = 6/8=0,75;

tg φ2=-хс/R2= —4/3 = — 1,33; φ1=36°50'; φ2= —53° 10'.

Вектор тока I в неразветвленной части цепи находим графически как векторную сумму токов I1 и I2. Графи­чески находим также угол φ = 26°40'.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13.

Рис.3.13. Рис.3.14.

Задача 4. Определить падения напряжения на активных и реактивных сопротивлениях цепи в условиях пре­дыдущей задачи. Построить векторную диаграмму на­пряжений.

Решение. Действующие значения искомых напря­жений находим по закону Ома:

UR1=I1R1= 12*8 = 96 В; UL=I1xL= 12*6 = 72 В; UR2 = I2R2 = 24*3 = 72 В; U с = I2хс = 24*4 = 96 В;

При построении векторной диаграммы учитываем, что UL отстает по фазе на 90° от URl, a Uc опережает по фазе UR2 на 90°. Кроме того, сумма векторов UR1 и UL равна вектору U и сумма векторов UR2 и Uc равна тому же вектору U. Построение осуществляем с помощью ли­нейки и циркуля. Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14.

Задача 5. Цепь, изображенная на рис.3.15, потреб­ляет из промышленной сети (частота f=50 Гц) полную мощность 5=1 кВ-А.

Рис. 3.15 Рис. 3.16

Определить реактивную мощность, потребляемую из сети, если I=10 А, R = 8 0м. Найти cos φ (φ — угол сдвига по фазе между током I и напряжением U на вход­ных зажимах цепи).

Что следует сделать, чтобы цепь не потребляла из
сети реактивную мощность?

Решение. Активная мощность, потребляемая цепью,

Р=I2R = 102* 8=800 Вт. Реактивная мощность, потребляемая цепью,

Коэффициент мощности находим из треугольника мощностей:

cos φ=Р/S = 800/1000=0,8.

Найдем также tg φ = Q/P=600/800=0,75.

Чтобы исключить потребление из сети реактивной мощности, подсоединим к входным зажимам цепи ab конденсатор (рис. 3.16). Идея заключается в том, чтобы реактивная мощность индуктивности не возвращалась в сеть, а поступала в конденсатор и затем потреблялась оттуда (конденсатор и катушка обменивались бы энер­гией). При этом реактивный ток не загружает сеть и не создает дополнительных потерь в проводах линии. По­этому емкость конденсатора должна быть подобрана со­ответствующим образом. Проделаем необходимые рас­четы при условии, что активное сопротивление конден­сатора пренебрежимо мало.