Учебно-методический комплекс по дисциплине «Исследование операций» (стр. 6 )

Задание 3.1. Решить задачу № 2.1 графическим методом.

Задание 3.2. Решить задачу № 2.2 графическим методом.

Задание 4.1. Задачу 2.1 записать в базисном виде, определить для него базисное решение и сделать выводы о его допустимости и оптимальности.

Задание 4.2. Полученную в задаче 2.2 математическую модель записать в виде КЗЛП и определить два базисных решения. Сделать выводы об их допустимости и оптимальности.

Задание 5.1. Решить следующие задачи из учебного пособия «Кремер операций в экономике : учебное пособие / - Москва : ЮНИТИ, 20c.»:

1. Составить экономико-математические модели: задачи №№ 1.4 – 1.7, с. 26, 27.

2. Решить геометрически: задачи №№ 4.4 – 4.12, с. 62, 63.

3. Решить симплексным методом: задачи №№ 5.12 – 5.25, с. 97, 98.

4. Решить задачи, используя теорию двойственности в линейном программировании: задачи №№ 6.12 – 6.17, с. 121, 122.

5. Решение транспортных задач: задачи №№ 7.10 – 7.16, с. 150 – 152.

6. Найти оптимальное решение задач целочисленного линейного программирования: задачи №№ 8.4 – 8.7, с. 172.

Рекомендуемая литература

1.  Кремер операций в экономике: учебное пособие / - Москва : ЮНИТИ, 20c. (Раздел 1. Модели линейного программирования и его приложения. Гл.1. Общая постановка задачи линейного программирования. Гл. 2. Элементы линейной алгебры и геометрии выпуклых множеств. Гл. 3. Теоретические основы методов линейного программирования. Г. 4. Геометрический метод решения задач линейного программирования. Гл. 5. Симплексный метод. Гл. 6. Двойственные задачи).

2.  , , Турундаевский методы исследования операций. – М.: МЭСИ, 2002. – 137 с. (Гл. 3. Линейное программирование, с. 50-87).

3.  , , Семенихина операций в экономике. – М.: МЭСИ, 2002. – 115 с. (Гл.2 Теория двойственности в линейном программировании. Двойственный симплекс-метод, с. 10 – 37).

Занятие 2. Оптимизация транспортной системы

Исследование прикладных экономических задач на основе применения моделей транспортной задачи с различными ограничениями.

Типовая задача.

В регионе работают пять комбинатов по производству однотипной продукции и четыре потребителя этой продукции. Определить оптимальный план прикрепления комбинатов к потребителям, доставляющий минимум приведенных транспортных издержек. Данные об объемах выпуска продукции комбинатами, потребностях потребителей, а также транспортных издержках на перевозку единицы продукции приводятся в таблице 1.

На направлениях A3®B2 и A4®B4 существуют ограничения пропускной способности в количествах q3,2 = 10 и q4,4 = 15 соответственно.

Проверить, имеет ли задача правильный баланс, если нет, то привести ее к правильному балансу одним из способов, в соответствии с вариантом задания (см. таблицу № 2). Решить задачу с помощью Microsoft Excel, проанализировать результаты, сделать выводы.

Таблица 1

Исходные данные

Комбинаты	Потребители	Объемы поставок
B1	B2	В3	B4
A1	8	10+S1	14	13	80
A2	10+S1	25	20	15	60
A3	10	(10) 3	13	18	70
A4	40	30	18	(15) 2	100
A5	9	15	8	25	30+10 × S2
Объемы потребностей	80+10 × S2	90	140	90

S1 – предпоследняя цифра шифра; S2 – последняя цифра шифра.

Таблица 2

S1+S2 = 1, 4, 7, 10,13,16,19	Вводится фиктивный пункт отправления Аn+1, cn+1,j= 0, 1 £ j £ m
S1+S2 = 2, 5, 8, 11, 14, 17	Вводится коэффициент пропорционального уменьшения заявок d
S1+S2 = 3, 6, 9, 12, 15, 18	Вводится фиктивный пункт отправления Аn+1, cn+1,j – потери от недопоставки единицы продукта
c6,1	c6,2	c6,3	c6,4
35	44	16	28

Рекомендуемая литература

1.  Кремер операций в экономике: учебное пособие / - Москва: ЮНИТИ, 20c. (Раздел 1. Модели линейного программирования и его приложения. Гл. 7. Транспортная задача. Гл. 8. Модели целочисленного линейного программирования. с. 16 – 172).

2.  , , Турундаевский методы исследования операций. – М.: МЭСИ, 2002. – 137 с. (Гл.5. Специальные задачи линейного программирования, с.

3.  , , Семенихина операций в экономике. – М.: МЭСИ, 2002. – 115 с. (Гл. 3. Целочисленные модели исследования операций, с. 38 – 58. Гл. 4. Экономические задачи, сводящиеся к транспортной модели, с. 59 – 98).

Занятие 3. Оптимальное распределение ресурсов

Исследование прикладных экономических задач оптимизации распределения ресурсов на основе применения моделей динамического программирования

Типовое задание № 1.

Для развития двух направлений транспортной сети (см. типовое задание к занятию №2) A3®B2 и A4®B4 выделены средства в количестве

K0=12+F

(F - число букв в фамилии).

В течение четырех месяцев (m=4) распределить выделенные средства так, чтобы суммарный прирост пропускной способности был максимальным. Известно, что рост пропускной способности от вложения X единиц средств в первое направление (A3®B2) равен

f(X)=aX,

а от вложения Y единиц средств во второе направление (A4®B4) –

g(Y)=bY.

Остаток средств в конце месяца для первого направления равен

j(X)=aX,

а для второго направления

y(Y)=bY.

Решить задачу методом динамического программирования, проанализировать результаты, сделать выводы. Варианты заданий приведены в таблице. Варианты заданий выбираются из таблицы по числу из двух последних цифр шифра.

Таблица

Вариант	a	b	a	b	Вариант	a	b	a	b
01	1,9	0,6	0,50	0,90	51	1,8	0,8	0,30	0,85
02	0,7	1,8	0,85	0,45	52	0,5	1,1	0,80	0,30
03	1,1	0,4	0,40	0,90	53	1,7	0,7	0,50	0,95
04	0,8	1,9	0,90	0,50	54	0,7	1,9	0,95	0,35
05	2,0	1,0	0,35	0,80	55	1,1	0,5	0,50	0,85
06	0,4	1,1	0,95	0,35	56	0,6	1,4	0,95	0,35
07	2,2	0,9	0,40	0,90	57	1,6	0,7	0,45	0,90
08	0,5	1,3	0,85	0,35	58	0,7	2,0	0,95	055
09	1,3	0,6	0,40	0,90	59	1,5	0,9	0,50	0,95
10	0,9	1,9	0,85	0,30	60	0,9	1,8	0,85	0,35
11	2,1	0,7	0,35	0,95	61	2,1	0,9	0,50	0,95
12	0,6	1,8	0,85	0,35	62	0,7	1,6	0,95	0,35
13	2,0	0,9	0,40	0,80	63	1,5	0,8	0,30	0,95
14	0,6	1,9	0,90	0,35	64	0,8	2,1	0,90	0,40
15	2,0	0,8	0,50	0,95	65	1,6	0,7	0,50	0,85
16	0,8	1,8	0,85	0,40	66	0,8	1,5	0,90	0,50
17	1,2	0,7	0,35	0,90	67	1,4	0,6	0,50	0,90
Вариант	a	b	a	b	Вариант	a	b	a	b
18	0,6	1,1	0,95	0,45	68	0,8	1,7	0,90	0,30
19	1,8	0,8	0,55	0,95	69	1,6	0,8	0,45	0,85
20	1,0	1,9	0,80	0,30	70	0,8	1,8	0,85	0,35
21	1,5	0,7	0,35	0,90	71	2,1	1,0	0,50	0,90
22	0,5	1,2	0,95	0,55	72	0,9	2,0	0,90	0,50
23	1,5	0,6	0,40	0,90	73	1,9	0,9	0,35	0,90
24	0,6	1,2	0,90	0,50	74	0,6	1,6	0,95	0,40
25	1,7	0,8	0,35	0,95	75	1,6	0,9	0,50	0,95
26	0,8	2,0	0,85	0,25	76	0,9	1,8	0,85	0,45
27	2,2	1,0	0,40	0,95	77	1,7	0,6	0,30	0,95
28	0,7	1,3	0,95	0,30	78	1,1	2,1	0,90	0,35
29	1,6	0,6	0,35	0,90	79	1,3	0,6	0,45	0,90
30	0,9	1,7	0,95	0,40	80	1,0	2,2	0,90	0,35
31	1,4	0,8	0,50	0,90	81	1,7	0,8	0,40	0,90
32	0,9	1,6	0,85	0,35	82	0,7	1,3	0,95	0,50
33	2,0	0,7	0,35	0,85	83	1,8	0,9	0,40	0,90
34	0,9	1,7	0,85	0,30	84	0,8	1,6	0,95	0,50
35	1,8	0,7	0,40	0,90	85	1,5	0,7	0,35	0,80
36	0,7	1,5	0,95	0,50	86	0,9	2,2	0,85	0,30
37	1,3	0,5	0,40	0,80	87	1,9	0,8	0,40	0,95
38	0,7	1,7	0,90	0,40	88	0,7	1,4	0,85	0,50
39	1,4	0,6	0,30	0,90	89	2,1	0,8	0,45	0,95
40	0,6	1,7	0,85	0,45	90	0,8	1,5	0,85	0,45
41	2,2	0,8	0,40	0,85	91	1,3	0,7	0,35	0,85
42	0,6	1,5	0,85	0,30	92	0,7	1,2	0,85	0,45
43	1,4	0,7	0,25	0,90	93	1,1	0,6	0,40	0,85
44	1,1	2,2	0,95	0,55	94	0,6	1,3	0,95	0,50
45	1,9	0,7	0,40	0,85	95	1,2	0,6	0,35	0,85
46	0,8	1,4	0,95	0,45	96	1,0	2,0	0,95	0,30
47	1,9	1,0	0,40	0,90	97	1,8	0,6	0,45	0,90
48	1,0	2,1	0,90	0,45	08	0,7	1,4	0,80	0,40
49	1,2	0,5	0,25	0,90	99	1,7	0,9	0,35	0,90
50	0,9	1,5	0,90	0,35	100	0,9	2,1	0,90	0,45

Типовое задание № 2.

На предприятии процесс автоматизации связан с установкой нового оборудования.

Зависимость производительности этого оборудования от времени его использования предприятием (управление процессом производства полагаем известным и заданным), а также зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования при различном времени его использования приведены в табл.:

Исходные данные	Время r, в течение которого используется оборудование (лет)
0	1	2	3	4	5
Годовой выпуск продукции в стоимостном выражении R(r), усл. ед.	80	75	65	60	60	55
Ежегодные затраты z(r), связанные с содержанием и ремонтом оборудования, усл. ед.	20	25	30	35	45	55

Зная, что затраты связаны с приобретением и установкой нового оборудования идентичного с установленным, составляют 40 усл. ед., а заменяемое оборудование списывается, составить такой план замены оборудования в течение 5 лет, при котором общая прибыль за данный период времени максимальна.

Рекомендуемая литература

1.  Кремер операций в экономике: учебное пособие / - Москва : ЮНИТИ, 20c. (Гл. 12. Модели динамического программирования: общая постановка задачи динамического программирования; принцип оптимальности и уравнения Беллмана; задача распределения средств между предприятиями;общая схема применения метода динамического программирования, задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет; задача о замене оборудования, с. 245 – 269).

2.  Федосеев -математические методы и прикладные модели: учебное пособие / - Москва: ЮНИТИ, 20c. (Гл. 3 Оптимальные экономико-математические модели: динамическое программирование, с. 121 – 125).

3.  Черняк для экономистов на базе Mathcad: учебное пособие / , , - Санкт-Петербург : БВХ - Петербург, 20c. Гл. 28. Динамическое программирование, с. 214 – 226).

Занятие 4. Исследование сложных организационно-технических систем, функционирующих в условиях действия стохастических или неопределенных факторов

Исследование прикладных оптимизационных экономических задач на основе применения теории марковских процессов, систем массового обслуживания, теории антагонистических матричных игр.

Типовое задание № 1.

Исследовать стационарный режим работы системы заданной в виде графа (i – номер варианта):

Т. е. получить выражения и найти значения для вероятностей Р0;0, Р1;0, Р0;1, Р1;2, Р2;1.

Исходные данные:

Типовое задание № 2.

Задана матрица решений вида

(i – номер по журналу). Найти оптимальные решения с точки зрения классических и производных критериев принятия решений в условиях неопределённости.

Сравнить полученные решения.

Типовое задание № 3.

Задана матрица игры (i – номер по журналу)

.

Найти оптимальное решение игры (в чистых или смешанных стратегиях).

Рекомендуемая литература

1.  Кремер операций в экономике: учебное пособие / - Москва: ЮНИТИ, 20c. (Гл. 15. Элементы теории массового обслуживания: основные понятия, классификация систем массового обслуживания; понятие марковского процесса; потоки событий; уравнения Колмогорова, предельные вероятности состояний; процесс гибели и размножения; системы массового обслуживания с отказами; системы массового обслуживания с ожиданием (очередью); понятие о статистическом моделировании систем массового обслуживания (методе Монте-Карло), с. 333 – 369), (Гл. 9. Элементы теории игр: понятие об игровых моделях; платёжная матрица, нижняя и верхняя цена игры; решение игр в смешанных стратегиях; геометрическая интерпретация игры 2 × 2; приведение матричной игры к задаче линейного программирования, с. 173 – 196).

2.  , , Шухардин теории сложных систем. – Ростов-на-Дону: РВИ РВ, 2008. – 211 с.

3.  Бережная методы моделирования экономических систем : учебное пособие / , - Москва: Финансы и статистика, 20c. (Гл. 9. Теория игр и принятия решений: теория игр, с. 314 – 324).

4.  Федосеев -математические методы и прикладные модели: учебное пособие / - Москва: ЮНИТИ, 20c. (Гл. 8. Некоторые прикладные модели экономических процессовэлементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов, с. 326 – 335)

5.  Черняк для экономистов на базе Mathcad: учебное пособие / , , - Санкт-Петербург : БВХ - Петербург, 20c. (Гл. 29. Матричные игры, с. 227 – 233. Гл. 30. Игры с природой, с. 234 – 243).

4. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ

Исследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Конфликт — всякое явление, в котором отражены следующие компоненты: заинтересованные стороны, возможные действия каждой из сторон, интересы сторон.

Линейное программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т. е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

Лицо, принимающее решение (ЛПР) — человек (или коллектив), обладающий правами выбора решений и несущий ответственность за его последствия.

Марковский анализ — один из аналитических методов анализа надежности, может использоваться для оценки и анализа вероятностных характеристик организационно-технических систем на этапе оценки и анализа риска.

Математическое ожидание случайного процесса — называется неслучайная функция времени t, значение которой при каждом значении аргумента t равно математическому ожиданию случайной величины, соответствующей сечению случайного процесса в рассматриваемый момент времени.

Многостадийные процессы – это такие процессы, в которых решения принимаются на каждой из последовательных стадий.

Нормированная стоимость (часто, редуцированная стоимость, от английского: cost reduction – уменьшение затрат) — величина, которая показывает, насколько по модулю уменьшится целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Т. е., если нормированная стоимость положительна, то увеличение соответствующей переменной приведёт к уменьшению целевой функции. Другими словами, выпуск продукта, соответствующего рассматриваемой переменной, является нерентабельным (неприбыльным).

Операция — любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа её проведения, организации, иначе — от выбора некоторых параметров.

Принцип оптимальности (в динамическом программировании) — оптимальная стратегия обладает таким свойством, что, каково бы ни было начальное состояние и начальные решения, последующие решения должны приниматься, исходя из оптимальной стратегии с учетом состояния, вытекающего из первого решения.

Случайный процесс — функция времени, которая в результате опыта (регистрации, измерения) может принимать тот или иной заранее неизвестный вид.

Стадия — единичный элемент, на которые делится весь процесс во времени или в пространстве

Экономико-математическая модель — достаточно точное описание исследуемого экономического процесса или объекта с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т. п.).

Эффективность операции — степень её приспособленности к выполнению задачи — количественно выражается в виде критерия эффективности — целевой функции.