Статистика (стр. 2 )

Рис.1. Полигон распределения работников строительной фирмы "Скат"

по уровню дохода в январе 1998 г.

Гистограмма применяется для изображения интервального вариационного ряда. При построении гистограммы на оси абс­цисс откладываются величины интервалов, а частоты изобража­ются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столбиков должна быть пропорциональна частотам. В результате мы получим гистограмму-график, на ко­тором ряд распределения изображен в виде смежных друг с другом столбиков.

Если середины верхних сторон прямоугольников соединить прямыми, то гистограмма может быть преобразована в полигон распределения (рис. 2).

Рис. 3.2. Гистограмма и полигон распределения работников строитель­ной фирмы «Скат» по уровню дохода в январе 1998 г.

Для графического изображения вариационных рядов может использоваться также кумулятивная кривая. При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяются путем последовательного суммирования частот по группам. Накопленные частоты показы­вают, сколько единиц совокупности имеют значения признака, не большие, чем рассматриваемое значение.

При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат - накопленные частоты, которые наносят на поле графика в виде перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти перпендикуляры соединяют и получают ломанную линию, т. е. кумуляту. Если при графическом изображении вари­ационного ряда в виде кумуляты оси поменять местами, то по­лучим огиву.

4.4. Абсолютные статистические величины

Абсолютными в статистике называются суммарные обобщающие показатели, характеризующие размеры (уровни, объемы) общественных явлений в конкретных условиях места и времени. Например, численность населения Российской Федерации на 1 января 1997 г. составила 147,5 млн человек; в 1995 г. добыто 307 млн т нефти (включая газовый конденсат), 595 млрд м естественного газа и т. д.

Абсолютные статистические величины представляют собой именованные числа, т. е. имеют какую-либо единицу измерения.

В зависимости от сущности исследуемого социально-экономического явления абсолютные статистические величины выражаются в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения. Абсолютные статистические величины могут быть положительными (доходы) и отрицательными (убытки, потери).

Натуральные единицы измерения в свою очередь могут быть простыми (тонны, штуки, метры, литры) и сложными, являющимися комбинацией нескольких разноименных величин (грузооборот железнодорожного транспорта выражается в тонно-километрах, производство электроэнергии - в киловатт-часах, затраты труда - в человеко-часах, человеко-днях). В статистике применяют и абсолютные показатели, выраженные в условно-натуральных единицах измерения (например, различные виды топлива пересчитываются в условное топливо, тракторный парк - в эталонные тракторы).

Стоимостные единицы измерения используются, например, для выражения объема разнородной продукции в стоимостной (денежной) форме - рублях.

В стоимостных единицах выражают валовой выпуск продукции, доходы населения и др.

При использовании стоимостных измерителей принимают во внимание изменение цен с течением времени. Этот недостаток стоимостных измерителей преодолевают применением <неизменных> или <сопоставимых> цен одного и того же периода.

В трудовых единицах измерения (человеко-днях, человеко-часах) учитываются общие затраты труда на предприятии, трудоемкость отдельных операций технологического цикла.

Относительная величина в статистике - это обобщающий показатель, который представляет собой частное от деления одного абсолютного показателя на другой и дает числовую меру соотношения между ними.

Основные условия правильного расчета относительной величины - сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями.

Величина, с которой производится сравнение (знаменатель дроби), обычно называется базой сравнения или основанием.

В зависимости от выбора базы сравнения относительный показатель может быть представлен в различных долях единицы: десятых; сотых (т. е. процентах - %), тысячных (десятая часть процента называется промилле - %о); десятитысячных (сотая часть процента называется продецимилле - %оо).

Сопоставляемые величины могут быть как одноименными, так и разноименными (в последнем случае их наименования образуются от наименований сравниваемых величин, например, руб./чел.: ц/га; руб./м).

По своему содержанию относительные величины подразделяются на виды: относительные величины динамики, планового задания, выполнения планового задания, структуры, интенсивности, уровня экономического развития, координации и сравнения.

Относительная величина динамики (i) рассчитывается как отношение уровня признака в определенный период или момент времени к уровню этого же признака в предшествующий период или момент времени, т. е. она характеризует изменение уровня какого-либо явления во времени. Выбор базы сравнения при исчислении относительных показателей динамики определяется целью исследования. Относительные величины динамики называются темпами роста.

Относительная величина планового задания () рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в этом периоде.

Относительная величина выполнения планового задания () представляет собой отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному.

Относительные величины динамики, планового задания и выполнения планового задания связаны соотношением:

Относительными величинами структуры называются показатели, характеризующие долю отдельных частей изучаемой совокупности во всем ее объеме.

Они рассчитываются делением числа единиц (или объема явления) в отдельных частях совокупности на общее число единиц совокупности (или объем явления). Выражаются они простым кратным отношением или в процентах. В качестве примера относительных величин структуры могут служить данные о доле городского населения в общей численности населения России: в 1913 г. - 18%, в 1996 г. - 73%.

Относительными величинами интенсивности называют показатели, характеризующие степень распространения или уровень развития того или иного явления в определенной среде. Они вычисляются путем сравнения разноименных величин, находящихся в определенной связи между собой. Эти показатели обычно определяются в расчете на 100, 1000 и т. д. единиц изучаемой совокупности (на 100 га земли, на 1000 человек населения и т. д.) и являются именованными числами. Примерами могут служить плотность населения, выражающаяся средним числом жителей на одном квадратном километре территории (8,6 чел./км в России в 1996 г.), обеспеченность населения медицинскими кадрами (численность врачей всех специальностей - 44,5 врача нароссиян на начало 1996 г.), возрастные коэффициенты рождаемости (число родившихся в среднем за год на 1000 женщин по возрастным группам).

Относительными величинами координации называют показатели, характеризующие соотношение отдельных частей целого между собой. Вычисление этого вида показателей производится путем деления одной части целого на другую часть целого. Для одной и той же совокупности можно исчислить несколько относительных показателей координации.

Относительными величинами сравнения называют показатели, представляющие собой частное от деления одноименных абсолютных статистических величин, характеризующих разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области, страны и т. д.) и относящихся к одному и тому же периоду (или моменту) времени. Например, соотношение между уровнями себестоимости определенного вида продукции, выпущенной на двух предприятиях, между уровнями производительности труда в разных странах (при одинаковой методике счета).

Научная ценность относительных показателей высока, но их нельзя рассматривать в отрыве от абсолютных показателей, соотношения которых они выражают, иначе они не смогут точно характеризовать изучаемые явления.

4.5. Средние величины

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Средняя отражает характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и в пространстве.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой* (при различных значениях m):

, (3.1)

где - среднее значение исследуемого явления;

m - показатель степени средней;

- текущее значение (вариант) осредняемого признака;

- число признаков.

В зависимости от значения показателя степени различают следующие виды степенных средних:

при =-1 - средняя гармоническая ;

при =0 - средняя геометрическая ;

при =1 - средняя арифметическая ;

при =1 – средняя квадратическая ;

при =3 - средняя кубическая .

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше т в формуле (5.1), тем больше значение средней величины:

/ (5.2)

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорантности средних.

Средняя арифметическая.

Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Так, например: общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников, валовый сбор урожая – сумма произведенной продукции со всей посевной площади.

Чтобы исчислить среднюю арифметическую нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака):

, (5.3)

где , , ..., - индивидуальные значения варьирующего признака (варианты); - число единиц совокупности.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная - средняя сгруппированных величин

, , ..., - вычисляется по формуле:

, (5.4)

где , , ..., - веса (частоты повторения одинаковых признаков);

- сумма произведений величины признаков на их частоты;

- общая численность единиц совокупности.

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов ("от - до"), т. е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Распределение рабочих АО по уровню ежемесячной оплаты труда в 1996 г.

Группы рабочих по оплате труда, тыс. руб.	Число рабочих, чел.	Середина интервала, тыс. руб.
До 500 500-600 600-700 700-800 800-900 900 и более	5 15 20 30 16 14	450 550 650 750 850 950	2250 8250 13000 22500 13600 13300
Итого	100	-	72900

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в -интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают также, как и в дискретном ряду, - варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), тыс. руб.:

.

Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 729 тыс. руб. в месяц.

Средняя гармоническая

Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака и их частоты .

Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим , откуда . Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся Данным и можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (5.4) вместо подставим , вместо - отношение и получим формулу средней гармонической взвешенной.

. (5.9)

Из формулы (5.9) видно, что средняя гармоническая - средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужна определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Например, по данным (табл. 5.5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Таблица 5.5

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам в октябре 1996 г.

Номер магазина	Цена картофеля, руб/кг,	Выручка от реализации, млн. руб.,	Частота (количество реализованных едениц), кг,
1-й 2-й 3-й	800 1000 900	24 15 18	30000 15000 20000
Итого	-	57	65000

Расчет средней цены выражается соотношением:

.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

, (5.10)

где - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; - число вариантов.

Средняя геометрическая

Применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т. е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени из произведений отдельных значений - вариантов признака :

,

где - число вариантов; П - знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Структурные средние

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду - вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

, (5.16)

где - нижняя граница модального интервала; - модальный интервал; , , - частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т. п.

Медиана - это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих, тыс. руб. в месяц (в 1996 г.):

630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:

,

где - число членов ряда.

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака . Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

, (5.17)

где - нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал; - половина от общего числа наблюдений; - сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала, - число наблюдений в медианном интервале.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

4.6. Изучение вариации признака в совокупности

Вариация - это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации , представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

.

Среднее линейное отклонение и представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ().

Среднее линейное отклонение:

для несгруппированных данных , (5.18)

где - число членов ряда;

для сгруппированных данных , (5.19)

где - сумма частот вариационного ряда.

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл).

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий ( в зависимости от исходных данных):

простая дисперсия для несгруппированных данных

; (5.20)

взвешенная дисперсия для вариационного ряда

(5.21)

Формула (5.21) применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Далее, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответствующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

для несгруппированных данных , (5.24)

для вариационного ряда . (5.25)

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

Для осуществления сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации - коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

. (5.30)

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Правило сложения дисперсий

Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака от общей средней и может быть вычислена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.