Тестовые задания по основам нерелятивистской квантовой механики, атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц (стр. 2 )

Поверхность металла является потенциальным барьером, в который электроны проникают на глубину и возвращаются обратно. Следовательно, поверхность металла окружена облаком электронов.

Даже если , то есть вероятность отражения частицы от барьера

.

Для барьера конечной ширины вероятность того, что квантовая частица пройдет сквозь него называется коэффициентом прохождения (прозрачности)

Для барьера произвольной формы

Частица как бы проходит через «туннель» в потенциальном барьере и поэтому такое явление называется туннельным эффектом.

В туннеле получается, что кинетическая энергия отрицательна. Такого быть не может, так как одновременно знать кинетическую и потенциальную энергию в квантовой механике невозможно, то же самое, что одновременно и x, следовательно, понятие отрицательной кинетической энергии абсурдно.

3.3.2. Движение частиц в одномерной яме с абсолютно непроницаемыми стенками

В уравнение Шредингера полная энергия Е частицы входит в качестве параметра. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения Шредингера удовлетворят стандартным условиям не при любых значениях Е, а лишь при определенных значениях, которые называются собственными значениями энергии. Решения соответствующие собственным значениям энергии называются собственными функциями. Совокупность собственных значений называется спектром. Спектр бывает дискретным и непрерывным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать

.

Пусть частица находится между двумя бесконечными стенками, удовлетворяющими условиям

, .

Для одномерного случая уравнение Шредингера

За пределами ямы вероятность обнаружения частицы равна нулю. Следовательно, и . Из условий непрерывности на границах

Для частицы в яме уравнение Шредингера имеет вид

Обозначим . Для уравнения общим решением является

Из условия

Из условия

При то есть частица отсутствует.

Откуда .

Выразив из энергию, получим:

,

Спектр энергии является дискретным. Если вычислитьь разницу между соседними уровнями энергии и в качестве частицы взять молекулу с кг, то для ширины ямы ℓ = 10 см получим эВ. То есть, чем больше m и больше ℓ, тем гуще уровни энергии. Для электрона ℓ ~ 10-10 м (атомные размеры) эВ.

Найдем собственные функции

Для нахождения А воспользуемся условием нормировки

Функция на концах промежутка х = 0 и x = ℓ обращается в ноль, поэтому интеграл можно получить, умножив среднее значение на ℓ.

Откуда

В состоянии n = 2 вероятность нахождения частицы посередине ямы рана 0. В классической физике все положения частицы равновероятны.

Пример 1. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной l. Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале Dl = 0,01l в двух случаях: 1) вблизи стенки (0 < x < l);

2) в средней части ящика ((l - Dl)/2 ≤ x ≤(l + Dl)/2).

1)0,02; 2)0,01; 3)0,60; 4)0,54.

Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна dw = êy(x)ê2×dx.

В первом случае искомая вероятность найдётся интегрированием в пределах от 0 до 0,01l:

.

Так как x изменяется в интервале 0 ≤x ≤0,01l и, следовательно, px/l <l, справедливо приближённое равенство

sin2(px/l) » (px/l)2.

С учётом этого выражение (1) примет вид

.

После интегрирования получим

w = .

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи её максимума в заданном малом интервале (Dl = =0,01l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

w = 2×(sin2(pl/2l)×Dl/l = 2×0,01l/l = 0,02.

Задания к теме

Задание 34

Частица массой m с энергией E < U0 подлетает к потенциальному барьеру высотой U0 Для области I уравнение Шредингера имеет вид…

*1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 35

Частица массой m с энергией E < U0 подлетает к потенциальному барьеру высотой U0 Для области II уравнение Шредингера имеет вид…

*1) ;

2);

3);

4) .

Задание 36

На рисунке приведены картины распределения плотности вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n = 2 соответствует график …

1); *2); 3); 4).

Задание 37

На рисунке приведены картины распределения плотности вероятностей нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n = 4 соответствует график …

1); 2); 3); *4).

Задание 38

Вероятность обнаружить электрон на участке (a, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле

,

где ω - плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ - функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 39

Вероятность обнаружить электрон на участке (a, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле

,

где ω - плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ - функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 40

Вероятность обнаружить электрон на участке (a, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , где ω - плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ - функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 41

Вероятность обнаружить электрон на участке (a, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле

,

где ω - плотность вероятности, определяемая ψ- функцией. Если ψ - функция имеет вид указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) ; 5) .

Задание 42

На рисунке изображена плотность вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность её обнаружения в центре ямы равна …

*1) 0; 2) ; 3) ; 4) .

Задание 43

На рисунке изображена плотность вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от «стенок» ямы. Вероятность её обнаружения на участке равна …

*1) ; 2) ; 3) 0; 4) .

Задание 44

На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности обнаружения электрона по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний с различными значениями главного квантового числа n. В состоянии с n = 4 вероятность обнаружить электрон в интервале от  до l равна

*1) 5/8; 2) 3/8; 3) ¾; 4) 7/8.

Задание 45

На рисунке приведены возможные ориентации вектора – орбитального момента импульса электрона в атоме. Значение орбитального квантового числа для указанного состояния равно:

*1 5

Задание 46

На рисунке приведена одна из возможных ориентаций момента импульса электрона в р-состоянии. Какие еще значения может принимать проекция момента импульса на направление Z внешнего магнитного поля?

1) - 2 *2) - *3) 4) 2

Задание 47

Момент импульса электрона в атоме и его пространственные ориентации могут быть условно изображены векторной схемой, на которой длина вектора пропорциональна модулю орбитального момента импульса  электрона. На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Значение орбитального квантового числа и минимальное значение главного квантового числа для указанного состояния соответственно равны …

*1) l = 1, n = 2

2) l = 1, n = 1

3) l = 3, n = 3

4) l = 3, n = 4

Задание 48

На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Величина орбитального момента импульса (в единицах ħ) для указанного состояния равна …

*1) 2)

Задание 49

На рисунке приведены возможные ориентации вектора . Величина орбитального момента импульса (в единицах ħ) для указанного состояния равна …

1) *2)

Задание 50

Частица находится в прямоугольном одномерном потенциальном ящике с непроницаемыми стенками шириной 0,2 нм. Если энергия частицы на втором энергетическом уровне равна 37,8 эВ, то на четвертом энергетическом уровне равна _____ эВ.

*1) 151,2 2) 75,6 3) 18,9 4) 9,45

3.4. Спектр атома водорода. Правила отбора. Теория Бора для водородоподобных систем

Теоретическое введение

В 1905 году Дж. Томсоном была предложена модель атома, который представлял собой шар с равномерно распределенным положительным зарядом, внутри которого находятся электроны.

В 1911 году Резерфорд, бомбардируя a-частицами ( м/с) металлическую фольгу, определял углы их рассеяния на атомах мишени, регистрируя сцинтилляции на экране, покрытом сернистым цинком.

Так как некоторые a-частицы отклонялись на большие углы, Резерфорд пришел к выводу о существовании ядра атома, в котором сосредоточен весь положительный заряд и почти вся масса атома.

Ядро создает сильное электрическое поле, так как имеет малый объем. Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния a-частиц по углам которая предполагала взаимодействие a-частицы и ядра атома по закону Кулона как для точечных зарядов.

a-частица при центральном попадании в ядро сближается на расстояние, которое можно найти. Посчитав, что вся кинетическая энергия a-частицы расходуется на потенциальную энергию взаимного отталкивания , можно получить:

=

При подстановке значений получаем, что размер ядра равен

м.

3.5. Модель атома водорода Бора

Теоретическое введение

Возникшее противоречие ядерной модели атома с классической электродинамикой (которое заключалось в том, что электрон, двигаясь ускоренно, должен терять энергию на излучение электромагнитных волн и за короткое время ~10-8 с упасть на ядро), было разрешено Нильсом Бором в 1913 году. Бор ввел постулаты, противоречащие классическим представлениям.

1.  Атом может находиться в определенных энергетических состояниях, при которых он не излучает и не поглощает энергию. Из бесконечного множества электронных орбит в действительности реализуются только дискретные орбиты, удовлетворяющие квантовым условиям.

2.  При переходе атома из одного энергетического состояния с энергий в другое с излучается или поглощается квант энергии .

.

Стационарные орбиты электрона определяются главным квантовым числом, которое разрешает только определенные значения момента импульса электрона.

Существование дискретных уровней энергии атома было доказано немецкими физиками Франком и Герцем в1914 г. В этих опытах использовался триод, заполненный парами ртути. Между К и С создавалось ускоряющее напряжение, которое плавно менялось, а между С и А - постоянное поддерживалось задерживающее напряжение. Зависимость анодного тока I от ускоряющего напряжения U, полученная в опыте, оказалось, имела максимумы. Это свидетельствовало о том, что при соударениях электронов с атомами электроны могли испытывать неупругие столкновения, когда их энергия была равна энергии возбуждения атома.

Согласно закону Ньютона электрону центростремительное ускорение сообщает кулоновская сила

(1)

+е – заряд ядра атома

Откуда

, где n = 1,2, 3, … (2)

При n = 1 м – радиус первой боровской орбиты.

Энергия атома водорода:

Подставив сюда (2), получим разрешенные энергии атома водорода:

, где

n = 1,2,3,…

Частота спектральной линии при переходе атома из состояния с энергией n в состояние с энергией m определяется:

(4)

с-1

Вычисленные по формуле (4) частоты оказались в полном согласии с экспериментом. Однако модель Бора была не последовательно классической, но и не квантовой. При помощи данной теории невозможно в принципе объяснить закономерности спектров многоэлектронных атомов.

Таким образом, теория Бора являлась переходным этапом в развитии квантовой физики.

Теория атома водорода, построенная Бором, подтверждалась экспериментальным определением частот излучения атома водорода, которые называются серями.

Бальмер установил, что частоты волн водорода, излучаемые в видимом диапазоне, определяются по формуле Бора и соответствуют переходу на второй энергетический уровень со всех выше лежащих.

Эту серию назвали серией Бальмера

, n = 3, 4, 5,…

Серия Лаймана

, n = 2, 3, 4, 5,…

3.6. Квантовомеханическая модель атома водорода

Квантовая физика дает для атома водорода такое же решение для значений энергии атома, что и теория Бора, но она боле последовательна и описывает не только излучение атома водорода.

Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода имеет вид:

Решения этого уравнения для любого положительного значения энергии соответствует пролету электрона около ядра и удалению в бесконечность, что не соответствует определению атома, как динамически устойчивой системы.

Решения, соответствующие дискретным отрицательным значениям энергии, равной

, n = 1,2,3,…

соответствуют электрону, связанному с ядром.

При n = 1 получим значения энергии в основном состоянии атома водорода эВ.

Так как электрон в атоме водорода движется в центрально-симметричном поле ядра, то оператор Лапласа и собственные волновые функции удобно записывать в сферической системе координат

.

Собственные волновые функции содержат 3 целочисленных параметров n, l, mℓ , которые называются квантовыми числами.

Число n – главное квантовое число. Оно определяет уровни энергии электрона в атоме.

ℓ – азимутальное или орбитальное квантовое число, оно определяет модуль орбитального момента импульса ).

mℓ – магнитное квантовое число, оно определяет проекцию орбитального момента импульса на некоторое направление z, определяемое внешним магнитным полем)

.

n = 1, 2, 3,…. При данном n ℓ = 0, ±1, ±2, ±3, … ±(n – 1).

При данных n и ℓ mℓ = 0, ± 1, ±2, …, ±ℓ.

Энергетическое состояние электрона определяется только квантовым числом n. Решения, удовлетворяющие стандартным условиям, получаются при значениях l , не превышающих n – 1

- всего n значений

При данном ℓ квантовое число m может принимать 2ℓ + 1 различных значений

.

Состояния атома с одинаковой энергией (одинаковым квантовым числом n), отличающиеся числами l и m, называются вырожденными состояниями.

Число различных состояний называется кратностью вырождения.

Так как для данного n , а m может принимать , значение, то кратность вырождения водородного атома:

Таким образом, каждому значению En соответствует несколько собственных функций , отличающихся числами ℓ и mℓ..

Состояние электрона с ℓ = 0 называют S – состоянием,

ℓ= 1 - p – состоянием,

ℓ = 2 - d, ℓ = 3 - f, ℓ = 4 - g, ℓ = 5 - h.

Так как , то возможны следующие состояния:

1S

2S 2P

3S 3P 3d

4S 4P 4d 4f

В квантовой механике доказывается, что для орбитального вантового числа имеется правило отбора

Это значит, что возможны такие переходы, при которых ℓ изменяется на единицу.

Поэтому для серии Лаймана )

Бальмера

При увеличении числа n дискретность энергетических уровней уменьшается и характер поведения частицы приближается к классическому. В этом состоит принцип соответствия:

При больших квантовых числах следствия, вытекающие из квантовой механики, должны совпадать с результатами классической теории.

Подобно тому, как при релятивистская механика переходит в ньтоновскую, при квантовая механика переходит к классическому описанию (пренебрегаем ).

Собственные функции распадаются на два множителя:

,

- вещественный,

- комплексный.

Так как координаты r, независимы, то при подстановке в уравнение Шредингера в сферических координатах уравнение Шредингера разбивается на две независимые части.

Первое уравнение Шредингера для радиальной части

и для сферической части

Первое уравнение зависит только от вида потенциальной энергии, а следовательно определяется конкретной физической природой взаимодействия частиц (для нашего случая – кулоновского).

Второе уравнение не зависит от вида силового поля, поэтому его решение одинаково для всех центрально-симметричных полей.

Условие нормировки для этих уравнений имеет вид в сферических координатах:

- телесный угол

Из решения этих уравнений можно сделать следующие выводы:

1) Электрон может иметь в атоме водорода лишь дискретные значения энергия:

, n = 1, 2, 3,…

2) Состояние электрона в атоме характеризуется набором 4 квантовых чисел

а) главного квантового числа n, определяющего энергию электрона;

б) орбитальное квантовое числа ℓ, определяющего дискретное значение модуля орбитального момента импульса

Магнитного квантового числа mℓ, определяющего стационарные ориентации орбитального момента импульса электрона L в пространстве, например, их проекции на направление внешнего магнитного поля .

Диапазону значений ℓ соответствует значений mℓ..

Например, если ℓ = 2, то вектор орбитального момента импульса электрона в атоме может принимать в пространстве дискретных ориентаций.mℓ = 0, ±1, ±2.

г) спинового квантового числа s, определяющего ориентацию собственного момента импульса электрона (спина).

Собственный механический момент электрона определяется

, где .

Проекция собственного механического момента равна

.

Полный механический момент электрона складывается из спинового и орбитального моментов электрона

, j = ℓ + s, ℓ + s-1, │ℓ-s│,

j – квантовое число полного момента импульса.

Проекция полного механического момента

Взаимодействие орбитального и магнитного момента (как взаимодействие магнитных стрелок) приводит к расщеплению энергетических уровней, а следовательно, спектральных линий. Оно называется спин-орбитальным взаимодействием.

3.7. Векторная модель атома

Движение электронов в других атомах, помимо атома водорода, определяется теми же квантовыми числами n, ℓ, j, mℓ, ms. Но влияние на движение электрона других электронов приводит к тому, что его энергия зависит кроме n и от квантового числа ℓ.

Механические и магнитные моменты атомов складываются из орбитальных и спиновых моментов отдельных электронов.

Возможны два случая:

1. Если орбитальные моменты связаны между собой сильнее, чем с и наоборот (такая связь называется LS-связью), то все моменты складываются в суммарный орбитальный момент атома , а все в суммарный спиновый момент . А затем находится полный момент атома .