где u(x) – искомая функция от x.
Дифференцируя, находим
.
Подставив у и у′ в уравнение (13), получим
→ 
→ 
= 
→
→ 
.
Подставляем полученное выражение для u в (15), получим формулу общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка
(16)
Естественно, нет необходимости запоминать выведенные формулы, т. к. все они будут получаться автоматически при решении конкретных задач.
Пример 13. Найти общее решение уравнения
Решение.
Первый этап. Найдем решение однородного уравнения (Q(x) = 0),
т. е. решение уравнения
Это уравнение с разделяющимися переменными
После интегрирования и элементарных преобразований будем иметь
y = C(1+ x2).
Второй этап. Ищем общее решение неоднородного уравнения ( Q(x) ≠ 0) в виде
y = u(x)∙(1+ x2). (17)
Находим производную
y′ = u′(x)(1+x2) + u(x)∙2x
и подставляем у и у′ в исходное уравнение
Отсюда следует
Или
.
Интегрируем и получаем
Для получения ответа подставим найденное выражение для u(x) в (17)
4. Уравнение Бернулли.
Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (13) и в общем виде может быть представлено как
y' + P(x)∙y = Q(x)∙yn, (18)
причем показатель степени n можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этом случае уравнение будет линейным.
Уравнение Бернулли можно решить двумя способами.
Первый способ состоит в том, что уравнение Бернулли приводится к линейному дифференциальному уравнению (13) с помощью замены переменной по формуле
u = y1-n (19)
Второй способ – заключается в нахождении решения уравнения Бернулли методом вариации произвольной постоянной, который уже рассматривался при решении линейных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим метод решения уравнения Бернулли методом замены переменной. Из формулы (19) следует, что
(20)
Умножим обе части уравнения Бернулли (18) на 
(1-n)∙y-n∙ y' + (1-n)∙P(x)∙y1-n= (1- n)∙Q(x)
Или с учетом (19), (20)
u′ + (1-n)∙P(x)∙u = (1-n)∙Q(x)
Обозначим (1-n)∙P(x)= Р1(х); (1- n)∙Q(x)= Q1(x). Получим
u′ + P1(x)∙u = Q1(x) (21)
Это линейное относительно u дифференциальное уравнение. Решив его, например, по формуле общего решения (16), получим общее решение, в котором вернемся к старой переменной у по формуле u = y1-n.
Пример 14. Найти общее решение уравнения
(у ≥ 0; х ≠ 0)
Решение. Это уравнение Бернулли, причем 
. Решим это уравнение методом замены переменной. Умножим обе части уравнения на (n-1)∙y-n, т. е. на 
. Получим 
или
.
Обозначим 
. Тогда 
. Производим замену переменной
Это уравнение линейно относительно u. Решая его по формуле общего решения, получим
или
Используя свойства логарифмов, получим
или
Возвращаясь к старой переменной у, получим
Это общее решение уравнения Бернулли.
Особое решение у = 0. Оно превращает заданное уравнение в тождество и, в то же время, не может быть получено из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной С.
Пример 15. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Это уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом вариации произвольной постоянной.
Первый этап. Решаем однородное уравнение
→ 
→ 
.
Второй этап. Ищем общее решение исходного уравнения Бернулли в виде
.
Найдем 
= 
= 
. Подставим 
и 
в исходное уравнение.
+
= 
→ 
→ 
→ 
→ 
→ 
.
Возвращаемся к старой переменной и получаем общее решение
.
Тема 3. Дифференциальные уравнения второго порядка.
3.1. Общие понятия
Определение 3.1. Уравнение, связывающее, независимую переменную х, искомую функцию у(х), ее, первую производную у′(х) и. вторую производную у′′(х), называется дифференциальным уравнением второго порядка.
F(х, у, у', у") =
Если это возможно, то в виде, разрешенном относительно старшей производной, уравнение можно записать как
у" = f(х, у,у′). (3.2)
Определение 3.2. Общим решением уравнения (3.1), или (3.2) называется функция у = φ(х, С1,С2), содержащая две произвольные постоянные С1 и С2 и удовлетворяющая условиям:
1) при любых постоянных С1 и С2 функция у = φ(х, С1,С2) является решением уравнения:
2) каковы бы ни были начальные условия у(х0) = у0, у′(х0) = у′0, существуют единственные значения С10 и С20 такие, что функция
у = φ(х,C10,С20) является решением уравнения и удовлетворяет этим начальным условиям.
Геометрически общее решение представляет бесконечное множество кривых. Для выделения из этого множества какой-либо одной необходимо, кроме координат точки (х0,у0), через которую эти кривые проходят дополнительно задать еще одно условие, например, угловой коэффициент касательной, т. е. значение производной у' в этой точке
Определение 3.3. Частным решением уравнения (3.1) или (3.2) называется всякое решение у = φ(х, С10,С20), получающееся из общего решения у = φ(х, С1,С2), при фиксированных значениях С1 = С10 и С2 = С20.
Замечание.
1)Соотношение вида Ф(х, у, С1,С2), неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
2) График частного решения называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.
Теорема 3.1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка (теорема Коши).
Если правая часть f(х, у,у') уравнения у" = f(х, у у') и ее частные производные fу(х,y,у') и fy′ (х,y,у') определены и непрерывны в некоторой области G переменных х, у и у', то какова бы ни бы ла внутренняя, точка (х0,у0,у′0) этой области, существует и притом единственное решение
у = φ(х), удовлетворяющее начальным условиям у(х0) = у0 и у′(х0) = у′0.
Теорема приводиться без доказательства.
Задача Коши и краевая задача.
Итак, для получения частного решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать два дополнительных условия. В зависимости от способа задания этих дополнительных условий существует два различных типа задач задача Коши и краевая задача. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и ее производной в некоторых точках исследуемой области.
Если эти условия задаются в одной точке, то мы имеем дело с задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными
условиями а точка х = х0 в которой они задаются - начальной точкой. Математическая формулировка задачи Коши имеет вид
(3.3)
Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются при этом граничными или краевыми условиями. На практике, обычно граничные условия задаются в двух точках х = а и х = b являющихся границами области решения дифференциального уравнения.
Математическая формулировка краевой задачи имеет вид
(3.4)
Теоремы подобной теореме Коши для этого случая не существует и в зависимости от граничных условии задача может иметь единственное решение может иметь бесчисленное множество решений или вообще не иметь решения.
Например, общим решением уравнения у" + у = 0 является функция (это легко проверить непосредственной подстановкой)
у = A sin х + В cos х.
Рассмотрим три случая задания дополнительных условий
1) y(0) = у(π) = 0 в этом случае из условия у(0) = 0 находим
В = 0, следовательно, у = Asin x и при втором условии у(π) = 0 получаем бесчисленное множество решений (рис. 3.1);
2) у(0) = 0 у(b) = 1 0 < b < π. В этом случае существует единственное решение 
(рис. 3.2)
3) у(0) = 0 у(π) = 1 , в этом случае решений нет так как не существует синусоиды проходящей через точки (0,0) и (π, 1).
Рис. 3.1. Бесчисленное множество решений краевой задачи
Рис. 3.2. Единственное решение краевой задачи
3.2. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнении второго порядка, которые с помощью замены переменной приводятся к уравнениям первого порядка. Такое преобразование уравнения называется понижением порядка
1. Уравнение не содержит у и у'
у" = f(x) (3.5)
Обозначим производную через новую переменную y' = p(x), тогда
у" = р'(x). Подставляем новое значение производной в исходное уравнение (3.5), получим уравнение первого порядка:
решая которое, имеем
Так как р(x) = y′, то y' = F(x) + C1. Отсюда, интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения (3.5):
Пример 3.1. Найти общее, решение уравнения у" = х2.
Решение. Полагая y' = p(x), получаем у" = р'(x) и следовательно, необходимо решить уравнение первого порядка
Решение этого уравнения : 
. Заменяя р(х) на у' и интегрируя еще раз, находим общее решение уравнения:
2. Уравнение не содержит явным образом искомую функцию у.
(3.6)
Вводя, как и предыдущем случае, новую функцию y' = p(x) и замечая, что у" = р'(x), получаем уравнение первого порядка, относительно функции р(х):
Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение:
а затем из соотношения y' = p(x) получаем общий интеграл уравнения (3.6)
.
Пример 3.2. Найти частное решение уравнения
при 
, 
Решение. Положим у' = р(х), у" = р'(х). Получим уравнение первого порядка
Разделим переменные и проинтегрируем
,
Потенцируя, находим
.
Так как р(х) = у', то у'= C1(1 + х2). Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Используя дополнительные начальные условия , , и учитывая, что у'= C1(1 + х2), получим систему из двух уравнений
Решая систему, получим 
, 
Следовательно, частное решение имеет вид
.
3. Уравнение не содержит явным образом. независимую переменную х.
у" = f(y,y') (3.7)
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р(у). зависящую от переменной у. полагая у' = р(у). Дифференцируем последнее равенство по х, учитывая, что у является функцией от х:
=
=
.
Так как 
= у' = р(у), то окончательно
.
Подставляя выражение для у' и у" в исходное уравнение (3.7). получаем уравнение первого порядка относительно функции р(у):
.
Интегрируя это уравнение можно найти:
.
Подставляя значение р в уравнение у' = р(у), получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции у от х:
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим общий интеграл исходного уравнения
.
Пример 3.3. Найти общее решение уравнения уу" = (у')2.
Решение. Введем новую переменную у' = р(у). тогда у" = и наше уравнение преобразуется к виду:
.
Предположив, что р ≠ 0, сократим это уравнение на р, разделим переменные 
и проинтегрируем:
,
откуда p=C1y.
Поскольку у' = р(у) мы имеем уравнение
.
Заменяя y′ на и разделяя переменные, найдем:
.
После интегрирования получим
.
Откуда получаем общее решение заданного уравнения
.
Уравнение р = 0 содержится в полученном общем решении при С1 = 0 и С2 = 0.
4. Уравнение F(х, у, у', у") = 0, где функция F(х, у, у', у") однородная относительно у, у', у" допускает понижение порядка при введении новой функции z = у'/у или при замене у =
Пример 3.4. Найти общее решение уравнения уу" – (у')2 = 0.
Решение. Выражение уу" – (у')2 является однородной функцией второго порядка относительно у, у' и у''.
Делая замену переменной 
. Тогда
.
Учитывая, что по условию числитель этой дроби равен нулю получим
.
Интегрируя, получаем z = C1. Следовательно, 
.
После интегрирования
ln|y| = C1x + lnC2
Окончательно общее решение
.
3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Определение 3.4. Линейным однородным дифференциальным уравнением, второго порядка называется уравнение вида
=
(3.8)
Разрешим уравнение (3.8) относительно старшей производной у''
(3.9)
Так как это уравнение является частным случаем дифференциалъного уравнения второго порядка у" = f(x,у,y') то для него справедлива тeoрема существования и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка (теорема Коши), сформулированная в предыдущем разделе. Однако для линейного уравнения эта теорема может быть сформулирована проще.
Действительно, если коэффициенты уравнения 
, 
, 
непрерывны в некотором интервале (а,b), причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, тогда правая часть уравнения (3.9) и ее частные производные по у и у'
, 
являются непрерывными функциями при любых значениях переменных у, у' и при значениях х, принадлежащих интервалу (а,b).
Теорема 3.2. Теорема Коши - существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Если коэффициенты , , линейного однородного уравнения (3.8) непрерывны интервале (а,b) причем коэффициент не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то каковы бы ни были начальные условия 
, 
, где точка х0 принадлежит интервалу [а,b], существует единственное решение уравнения удовлетворяющее данным начальным условиям.
3.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Теорема 3.3. Если функции 
, 
являются частными решениями линейного однородного уравнения второго порядка (3.8) то их линейная комбинация 
также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных: С1 и С2.
Так как общее решение 
дифференциального уpaвнeния второго порядка содержит две произвольные постоянные С1 и С2, то возникает вопрос не будет ли линейная комбинация любых двух частных решений , общим решением уравнения (3.8).
Можно убедиться, что это не всегда справедливо. Например, частными решениями уравнения 
являются 
, 
, 
и т. д. Однако не любая их линейная комбинация будет общим решением данного уравнения. Действительно, например, нельзя получить частное решение из линейной комбинации 
ни при каких начальных условиях.
Для того, чтобы линейная комбинация частных решений у1(х) и у2(х) была бы общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3.8) требуется выполнение условия линейной независимости частных решений у1(х) и у2(х).
Определение 3.5. Два решения у1(х) и у2(х) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка называются линейно независимыми на отрезке [a,b], если их линейная комбинация 
не равна тождественно нулю на этом отрезке, т. е., если их отношение на этом отрезке не является постоянным:
,
В противном случае решения называются линейно зависимыми и
=
∙
Что бы ответить на вопрос являются ли два решения у1(х) и у2(х) линейно независимыми удобно пользоваться определителем Вронского:
= 
(3.10)
Теорема 3.4. Если две функции у1(х) и у2(х) линейно зависимы на отрезке [a,b], то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.
Действительно, если 
, то
=
=
=0
Определение 3.6. Два частных решения у1(х) и у2(х) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образуют фундаментальную систему решений на некотором отрезке [a,b], если ни в одной точке этого интервала определитель Вронского не равен нулю 
.
Теорема 3.5. (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка).
Если два частных решения у1 = у1(х) и у2 = у2(х) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образуют на некотором отрезке [a,b] фундаментальную систему решений, то общее решение этого уравнения имеет вид
. (3.11)
Таким образом, из сказанного выше следует, что для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка нужно знать два его частных решения, образующих фундаментальную систему решений, т. е. являющихся линейно независимыми.
Известно, что если имеется одно частное решение у1 = у1(х) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка вида (3.8) , то другое линейно независимое от него решение у2 = у2(х) можно найти по формуле
(3.12)
где 
, и - переменные коэффициенты в уравнении (3.8).
Общих методов нахождения даже одного частного решения линейного однородного дифференциального уравнения с произвольными коэффициентами не существует. Но если мы откуда-то знаем у1(х) то по формуле (3.13) можно найти у2(х), а затем по формуле (3.12) и общее решение уравнения (3.9).
Пример 3.5. Найти второе частное решение у2 = у2(х) уравнения
, если 
Решение. По формуле (3.12):
=
=
=
=
.
Поскольку мы ищем частное решение, положим С = −1, С1 = 0. Тогда:
.
Тогда общее решение заданного однородного уравнения имеет вид:
.
Перейдем теперь к рассмотрению уравнения (3.8), в котором все коэффициенты являются постоянными величинами. Оказывается, в этом случае несложно найти его частное решение.
3.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение 
= 0 с постоянными коэффициентами а0, а1, а2, где а0 ≠ 0 . Разделив все члены уравнения на а0 и обозначив а1/а0 = р, а2/а0 = q запишем данное уравнение в виде
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
