Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 3 )

y" + py' + qy = 0 (3.13)

Попробуем найти решение этого уравнения в виде у = еkх, где k неизвестная постоянная. Дифференцируем эту функцию дважды у' = = kеkx, у" = k2еkх и подставляя функцию и производные в уравнение (3.13) получим

(3.14)

Так как еkx ≠ 0 то после сокращения на еkx , будем иметь

(3.15)

Полученное квадратное уравнение (3.15) называется характеристиче­ским уравнением исходного дифференциального уравнения (3.13). Решение характеристического уравнения имеет два корня

,

Если k - корень характеристического уравнения то функция у = еkх - решение дифференциального уравнения. При решении характеристического уравнения возможны три случая.

I. Корни уравнения k1 и k2 различные действительные числа (k1 ≠ k2).

II. Корни уравнения равные действительные числа (k1 = k2).

III Корни уравнения комплексные числа.

Рассмотрим более подробно каждый этот случай в отдельности.

I. Корни характеристического уравнения действительные и различные k1 ≠ k2. В этом случае частными решениями будут функции , .

Эти решения линейно независимые так как

Следовательно, они образуют фундаментальную систему решений. То­гда по теореме 3.5

= +

Пример 3.6. Найти общее решение уравнения у" + у' – 2у = 0

Решение. Характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Находим корни характеристического у равнения:

→ ,

Отсюда фундаментальная система частных решений

а общее решение

(3.16)

II. Корни характеристического уравнения действительные и равные

k1 = k2 = k=. В этом случае одно частное решение имеет вид у1 = еkх. Покажем что в этой ситуации функция у2 = х∙еkх также является решением исходного дифференциального уравнения. Используем для этого формулу (3.12) из п. 3.4.

= ==.

Учитывая, что p = –2k получим y2(x) = x∙ekx.

Проверим полученный результат. Дифференцируя функцию у2(х), находим

,

Подставим у2, и в дифференциальное уравнение (3.13)

++ q∙ х∙еkх = 0

или

Так как k является корнем характеристического уравнения то . Кроме того, или 2k = -p, т. е. 2k + p≡ 0. Следовательно, и функция у2(х) = х∙еkх действительно является решением уравнения (3.13).

Найденные частные решения у1 = еkх и у2 = х∙еkх образуют фундаментальную систему решений так как они линейно независимы

Таким образом, общее решение однородного линейного уравнения (3.13) в случае равенства корней характеристического уравнения k1 = k2 = k имеет вид (см. теорему 3.5)

у = + = (3.17)

Пример 3.7. Haйти общее решение уравнения у"– 4у' + 4у = 0

Решение. Характеристическое уравнение k2 – 4k + 4 = 0 име­ет равные корни k1 = k2 = 2. В этом случае фундаментальная система частных решений запишется в виде у1 = е2x, у2 = хе2х, а общее решение

III. Корни характеристического уравнения комплексные. Комплекс­ные корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются сопряженными комплексными числами

,

В этом случае частное решение уравнения (3.13), записывается сле­дующим образом в виде комплексных функций, что мы отмечаем чертой сверху

==∙; ==∙.

Применяя формулы Эйлера (, ) выражения для у1 и у2 можно переписать в виде

,

Эти решения являются комплексными. Для получения действитель­ных частных решений, рассмотрим новые функции

=

=

Функции у1 и у2 являются линейными комбинациями исход­ных частных решений и и, следовательно, сами являются решениями уравнения (3.13) в соответствии с условиями теоремы 3.3 (см. п.3.4. Свойства решений линейного однородного дифферен­циального уравнения второго порядка).

Решения у1 и у2 образуют фундаментальную систему решений, так как они линейно независимы. Таким образом, общее решение однородного ли­нейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

в случае комплексных корней характеристического уравнения записыва­ется в виде

Или

.

Пример 3.8. Найти общее решение уравнения у" + 4у′+ 5у = 0

Решение. В этом случае характеристическое уравнение k2+4k+5 = 0 имеет комплексные корни k1 = −2 + = −2 + i и k2 = −2 − = −2 − i Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения можно записать в виде

Заключая этот раздел, приведем таблицу формул общего решения уравнения (3.13) в зависимости от вида корней характеристического урав­нения, использование которой может оказать существенную помощь при решении примеров.

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение	k2 + pk + q = 0
Корни характеристиче­ского уравнения			k1 =α + βi k2 =α − βi
Фундаментальная си­стема частных решений
Вид общего решения

3.6. Структура общего решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Определение 3.7. . Линейным неоднородным дифференциальным уравнением, второго порядка называется уравнение вида

= (3.18)

Перепишем его в виде

y" + p(х)y' + q(х)y = f(x) , (3.19)

где =; =

Согласно теореме Коши – существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения второго порядка (теорема 3.2. в п.3.3.),будем рассматривать реше­ния уравнения (3.19) в промежутке непрерывности p(х), q(x) и f(x).

Пусть есть частное решение уравнения (3.19), так что

(3.20)

Введем вместо у новую функцию u по формуле:

(3.21)

Подстановка в уравнение (3.19) дает

или

+ =

Тогда с учетом (3.20)

= 0 (3.22)

Это уравнение называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (3.19). Если u1 и u2 –два его линейно независимых решения, то, согласно формуле (3.21) формула

(3.23)

будет давать все решения уравнения (3.19), т. е. будет его общим решением.

Таким образом, формула (3.23) отражает структуру общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

Это можно сформулировать так: общее реше­ние линейного неоднородного уравнения второго порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Данная структура остается справедливой и для линей­ных неоднородных уравнений любого порядка.

3.7. Метод вариации произвольных постоянных при решении линейных неоднородных уравнений второго порядка.

Зная два линейно независимых решения u1 и u2 линейного однородного уравне­ния (3.22), можно, как мы сейчас увидим, найти и частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (3.19), а, следовательно, и его общее решение. Мы применим при этом метод вариации произ­вольных постоянных, который применялся нами при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка, т. е. уравнений вида y'+P(x)y = Q(x), (см. тему 2).

Пусть u1 и u2 – два линейно независимых решения уравнения (3.22). Его общее решение выражается, как известно, по формуле

Будем искать решение уравнения (3.19) в том же виде, считая только С1 и С2 не постоянными, а искомыми функциями от х:

(3.24)

Так как неизвестных функций две, а уравнение одно, для решения задачи введем дополнительное условие: выберем неизвестные функции v1 и v2 таким образом, чтобы

= 0 (3.25)

Дифференцируя выражение (3.24), будем иметь

+.

Учитывая (3.25):

(3.26)

Вторая производная

+ (3.27)

Подставив (3.24), (3.26) и (3.27) в исходное линейное неоднородное уравнение (3.19), получим

(+) + p(x)∙() +

+ q(x)( ) =

Или перегруппировав слагаемые:

+ +

+ + =

Принимая во внимание, что u1 и u2 суть решения однородного уравнения (3.22), и вспоминая условие (3.25), будем иметь алгебраичес­кую систему уравнений первой степени

(3.28)

для определения v1(x) и v2(x).

Ввиду линейной независимости решений u1 и _u2:

W(u1, u2)= = ≠ 0

а потому система (3.28) дает вполне определенные выражения для и :

, (3.29)

Интегрируя найденные таким образом функции и , найдем v1(x) и v2(x):

, (3.30)

и подставляя в (3.24), получим общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка (3.19), представляющее собой в соответствии с формулами (3.21), (3.23) сумму общего решения u(x) линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3.22) и частного решения

заданного уравнения (3.19).

Пример 3.9. Найти общее решение уравнения

. (3.31)

Решение. Первоначально найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

, (3.32)

Представим заданное уравнение в виде . Это дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка (см. п. 3.2). Для его решения воспользуемся подстановкой , тогда . Однородное уравнение примет вид

.

Решаем это уравнение, разделяя переменные

→ → → → →

→ → → → → →

→ → .

Итак, с учетом принятых в данном разделе обозначений общее решение однородного уравнения (3.32) найдено в виде

, (3.33)

где u1 = x2 и u2 = 1 являются частными решениями, образующими фундаментальную систему решений.

В соответствии с изложенным выше методом вариации произвольных постоянных решение неоднородного уравнения (3.31) будем искать, заменив константы С1 и С2 на неизвестные функции v1(x) и v2(x).

(x) (3.34)

Тогда придем к системе уравнений (3.28) в которой u1 = x2, u2 = 1, u′1 = 2x, u′2 = 0, f(x)=x :

(3.35)

Определитель этой системы, равный определителю Вронского, не равен нулю при любых значениях х из области его допустимых значений:

W(u1, u2)= = = =

Следовательно, система уравнений (3.35) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера (3.29)

= = = = .

Итак, получили два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными:

,

Решение которых имеет вид:

, .

Подставляя полученные функции в формулу (3.34), получаем общее решение заданного в условии задачи неоднородного уравнения (3.31):

.

Пример 3.10. Найти общее решение уравнения

(3.36)

Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения

(3.37)

Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид k2 – 4 = 0. Его корни: k1 = -2, k2 = 2. Следовательно, фундаментальной системой решений является u1 = e-2x, u2 = e2x. Действительно

= = ≠ 0.

Тогда общее решение однородного уравнения (3.37):

= . (3.38)

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных, решение исходного неоднородного уравнения следует искать в виде

= . (3.39)

Система уравнений для определения неизвестных и в данном случае выглядит следующим образом:

Решаем эту систему относительно и :

== ,

=.

Интегрируя найденные таким образом функции и , найдем v1(x) и v2(x):

.

Интегрируем по частям дважды:

+=

=.

Интегрируем по частям функцию :

.

.

.

.

Таким образом, общее решение (3.39) исходного неоднородного уравнения примет вид

+

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, окончательно получим

.

3.8.  Решение линейных неоднородных уравнений второго порядка с правой частью специального вида.

Если правая часть линейного неоднородного уравнения второго порядка

y" + p∙y' + q∙y = f(x) (3.40)

имеет специ­альный вид, то можно гораздо проще отыскивать частные решения, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных. В основе такого подхода к отысканию частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка лежит метод, получивший название метода подбора частного решения, или метода неопределенных коэффициентов.

Сделаем сначала одно замечание. Положим, что правая часть уравнения (3.40) есть сумма двух сла­гаемых:

y" + p∙y' + q∙y = f1(x) + f2(x) (3.41)

и положим, что и есть частные решения неоднородного урав - нения, когда правая часть равна f1(x) и f2(х), т. е.

,

Складывая, получим