т. е. 
есть частное решение уравнения (3.41).
Рассмотрим неоднородное уравнение вида.
y" + p∙y' + q∙y = A∙eγx, (3.42)
где в правой части А и γ — заданные числа.
Если γ не совпадает ни с одним из двух корней k1, k2 характеристического уравнения
k2+p∙k+q=0,
то будем искать решение уравнения (3.42) в том же виде, что правая часть,
т. е. в виде
=A1∙eγx,
где А1 — искомый численный коэффициент. Тогда 
=А1∙γ∙еγх, 
=А1∙γ2еαх. Подставив выражения для , и в (3.42) и разделив обе части уравнения на еγх, получим:
А1(γ2+р∙γ+q)=A.
Так как γ2+р∙γ+q≠0, то из этого уравнения можно найти неизвестный параметр А1 частного решения,:
. (3.43)
Тогда искомое частное решение определится по формуле
Пример 3.11. Найти частное решение неоднородного уравнения
y" + 3∙y' −10∙y = 12∙e−4x.
Решение. В данном примере А=12, γ=−4. Находим корни характеристического уравнения k2+3∙k−10=0 : k1=−5, k2=2. Как видим, γ не совпадает ни с одним из двух корней k1, k2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение исходного уравнения ищем в виде 
.
По формуле (3.43) находим
.
Таким образом, искомое частное решение: 
.
В правильности полученного решения легко убедиться, подставив , и в заданное уравнение.
Найдем теперь частное решение уравнения (3.42), в случае, когда параметр γ его правой части совпадает с одним из корней k1, k2 характеристического уравнения, т. е. γ2+р∙γ+q=0 и при этом (γ2+р∙γ+q)′=2γ+p≠0. Иными словами, γ является простым (некратным) корнем характеристического уравнения. В данном случае будем искать частное решение уравнения (3.42) в виде
=A1хeγx.
Тогда
, 
.
Подставив выражения для , и в (3.42) и разделив обе части уравнения на еγх, получим:
.
Учитывая, что γ2+рγ+q=0 , и 2γ+p≠0, получаем
. (3.44)
Тогда искомое частное решение определится по формуле
Пример 3.12. Найти частное решение неоднородного уравнения
y" + 3y' −10y = −7e2x.
Решение. В данном примере А=−7, γ=2. Корни характеристического уравнения такие же, как в предыдущем примере : k1=−5, k2=2. Как видим, γ=k2 и γ≠k1, т. е. γ является простым корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение исходного уравнения ищем в виде 
.
По формуле (3.44) находим 
. Искомое частное решение:
Если, наконец, γ есть двукратный корень характеристического уравнения, т. е γ=k1=k2, то нетрудно показать, что частное решение уравнения (3.42) надо искать в виде
.
Таким же методом можно находить решение и в более общем случае, когда правая часть исходного неоднородного уравнения имеет вид произведения Р(х)∙eγx, где Р(х) — многочлен от х вида
Р(х)=аnxn+an-1xn-1+…+a0
с известными коэффициентами an, an-1, … , a0.
Если γ не является корнем характеристического уравнения, составленного для заданного дифференциального уравнения второго порядка, то и решение надо искать в виде
= Р1(х)∙еγх, (3.45)
где P1(x) — многочлен той же степени, что и Р(х)
Р1(х)=bn∙xn+bn-1∙xn-1+ …+b0,
причем искомыми являются коэффициенты bn, bn-1, …, b0. Подставляем выражения для 
и в заданное дифференциальное уравнение, сокращая на еγх и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим уравнения для определения коэффициентов P1(x). Следует подчеркнуть, что многочлен P1(x) должен быть обязательно полным, т. е содержать все степени х от нуля до n, независимо от того содержатся ли или нет все степени х в многочлене Р(х).
Если же γ есть корень характеристического уравнения, то в правой части (3.45) надо ввести множитель х или х2, смотря по тому, будет ли γ простым или двукратным корнем характеристического уравнения. То есть, если γ совпадает только с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение заданного неоднородного дифференциального уравнения
ищется в виде
= х∙Р1(х)∙еγх, (3.46)
А если γ совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, аналогичное решение ищется в виде
= х2∙Р1(х)∙еγх. (3.47)
Пример 3.13. Найти частное решение неоднородного уравнения
y" + 3y' −10y = (4x3-1)e2x. (3.48)
Решение. В данном примере P(x)=4x3-1, γ=2. Корни характеристического уравнения такие же, как в предыдущем примере : k1=−5, k2=2. Как видим, γ=k2 и γ≠k1, т. е. γ является простым корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение исходного уравнения ищем в виде 
, где P1(x)=b3∙x3+b2∙x2+b1∙x+b0.
Тогда 
Находим первую и вторую производные от :
,
.
Подставляем полученные выражения для и в заданное дифференциальное уравнение, делим обе части уравнения на e2x и приводим подобные члены. Получаем:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, придем к системе уравнений относительно неизвестных коэффициентов
Из которой следует, что 
, 
, 
, 
.
Таким образом, получаем искомое частное решение заданного дифференциального уравнения
.
Перейдем теперь к тем случаям, когда правая часть неоднородного уравнения содержит тригонометрические функции. Рассмотрим сначала уравнение
y" + p∙y' + q∙y = eγx(a∙cos φx+b∙sin φx) (3.49)
Пользуясь формулами
, 
,
можем представить правую часть уравнения (3.49) в виде
Ae(γ+φi)+Be(γ-φi)
где А и В — некоторые постоянные. Если сопряженные числа γ ± φi не являются корнями характеристического уравнения, то, согласно предыдущему, надо искать частное решение неоднородного уравнения (3.49) в виде
=A1e(γ+φi)+B1e(γ-φi),
или, возвращаясь от показательных функций к тригонометрическим, используя для этого формулу Эйлера
e±φxi=cos φx±i∙sin φx,
видим, что если γ+φi не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение уравнения (3.47) надо искать в виде
eγx(a1∙cos φx+b1∙sin φx) (3.50)
где а1 и b1—искомые постоянные.
Совершенно так же можно показать, что в правой части формулы (3.50) надо ввести множитель х, если (γ+φi) являются корнями характеристического уравнения. Тогда частное решение уравнения (3.49) будет иметь вид
х∙eγx(a1∙cos φx+b1∙sin φx) (3.51)
Постоянные a1 и b1 определяются подстановкой выражений для и в левую часть исходного уравнения. Заметим, что если в правой части (3.49) участвуют, например, только cos φx, то в решении (3.50) или (3.51) надо брать все же оба члена, содержащих как cos φx, так и sin φx.
Приведем, не останавливаясь на доказательстве, более общий результат. Если правая часть уравнения имеет вид
eγx [Р(х)∙cos φx+Q(x)∙sin φx)]
где Р(х) и Q(х) — многочлены от х, то и частное его решение надо искать в том же виде
=еγx[P1(x)∙ cos φx + Q1 (x)∙ sin φx], (3.52)
где P1(х) и Q1(x) — многочлены от х, степени которых надо принять равными наибольшей из степеней многочленов Р(х) и Q(х).
В самом общем случае частное решение имеет вид
=хr∙еγx∙[P1(x)∙ cos φx + Q1 (x)∙ sin φx], (3.53)
где r=0, если γ+φi не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, соответствующего левой части исходного неоднородного уравнения; r=1, если γ+φi есть простой корень характеристического уравнения; r=2, если γ+φi есть кратный корень характеристического уравнения.
Пример 3.14. Найти общее решение неоднородного уравнения
y" + 4y=sin x
Решение. Согласно структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (п.3.6) искомое решение складывается из двух решений 
, где 
– общее решение соответствующего однородного уравнения 
и – частное решение заданного неоднородного уравнения.
Найдем сначала общее решение однородного уравнения , соответствующего заданному неоднородному уравнению.
Корни характеристического уравнения k2+4=0: k1=-2i, k2=+2i. Тогда, в соответствии с таблицей, приведенной в п. 3.5, и учитывая, что в нашем случае α=0, β=2, общим решением однородного уравнения будет:
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать методом подбора частного решения. Для чего воспользуемся наиболее общей для неоднородных уравнений второго порядка формой частного решения (3.53).
Функция sin x в правой части исходного уравнения не содержит множителя eγx. Это означает, что он равен единице, то есть γ=0. Коэффициент при х в функции sin x равен единице. Из чего следует, что φ=1. Таким образом, комплексное число γ+φi=i не совпадает с корнями характеристического уравнения, и поэтому в формуле (3.53) r=0 множитель х в частном решении (3.53) будет отсутствовать. Кроме того, степень многочлена при sin x равна нулю. Следовательно, и многочлены Р1(х) и Q1(x) в (3.53) будут постоянными величинами: Р1(х)=a1, Q1(x)=b1. Тогда частное решение примет вид
.
Для определения неизвестных числовых коэффициентов a1 и b1 найдем первую и вторую производные от :
, 
.
Подставим и в исходное уравнение:
.
Или
.
Это равенство является тождеством, следовательно, коэффициенты при cos x и sin x в левой и правой частях равенства должны быть равны. Тогда а1=0, . Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: 
. А искомое общее решение:
.
Тема 4. Дифференциальные уравнения высших порядков.
4.1. Общие понятия.
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
. (4.1)
Если разрешить это уравнение относительно старшей производной, то уравнение примет вид
. (4.2)
Всякая функция у=φ(х), имеющая непрерывные производные до порядка n и удовлетворяющая уравнению (4.1) или (4.2) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, а сама задача нахождения решения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.
Для уравнения n-го порядка (4.1) или (4.2) начальные условия состоят в задании функции у и ее производных до (п–1)-го порядка включительно при некотором определенном значении х = х0:
, 
, 
, … , 
. (4.3)
Здесь 
— определенные числа. Для уравнения п-го порядка (4.2) имеет место теорема существования и единственности, совершенно аналогичная теореме Коши из п.2.1.
Теорема 4.1. Если f(x, у, у',..., у(п-1)) есть функция своих аргументов, которые считаются все независимыми переменными, однозначная, непрерывная и имеющая непрерывные частные производные по
у, у', у′′..., у(п-1) при значениях аргументов 
и всех значениях, достаточно близких к ним, то уравнение (4.2) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее начальным условиям (4.3).
Изменяя в начальных условиях постоянные получим семейство решений, зависящее от п произвольных постоянных С1, С2, … , Сп. Эти произвольные постоянные могут входить в решение и не как начальные условия:
у = φ(х, С1,С2, ..., Сп). (4.4)
Такое решение уравнения (4.2), содержащее п произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения п-го порядка. Оно может быть написано и в неявной форме:
у=Ф(х, С1,С2, ..., Сп )=0, (4.5)
и тогда оно называется общим интегралом дифференциального уравнения п-го порядка.
Придавая С1,С2, ..., Сп определенные численные значения, получим частное решение дифференциального уравнения п-го порядка. Дифференцируя по х (4.4) или (4.5) (п-1) раз и подставляя затем х = х0 и начальные условия (4.3), получим п уравнений. Предполагается, что эти уравнения разрешимы относительно С1,С2, ..., Сп при любых начальных данных из некоторой области их изменения. Таким образом, мы получаем решение, удовлетворяющее условиям (4.3). Определение особого решения то же, что и для уравнения первого порядка.
Рассмотрим несколько типов дифференциальных уравнений п-го порядка, допускающие относительно простые решения.
4.2. Дифференциальные уравнения п-го порядка, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим последовательно, в каких случаях возможно и как осуществляется понижение порядка дифференциального уравнения.
1. Уравнение содержит только производную п-го порядка и независимую переменную
y(n)=f(x). (4.6)
Выясним сначала форму общего решения уравнения (4.6). Пусть у1(х) есть какое-либо решение уравнения (4.6), то есть
. (4.7)
Введем в уравнение (4.6) вместо y новую искомую функцию z по формуле
y=y1(x)+z. (4.8)
Подставляя в уравнение (4.6), получим для z уравнение 
или в силу тождества (4.7)
z(n)=0.
Так как производная n-го порядка равна нулю, то сама функция z есть многочлен (n-1)-ой степени с произвольными постоянными коэффициентами
z= C1xn-1+С2хп-2+ … +Сп,
и формула (4.8) дает форму общего решения уравнения (4.6)
y=y1(x)+ C1xn-1+С2хп-2+ … +Сп, (4.9)
то есть общее решение уравнения вида y(n)=f(x) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена (п-1)-й степени с произвольными постоянными коэффициентами.
Остается найти какое-либо частное решение y1(x) уравнения (4.6). Принимая во внимания, что у(п)=(у(п-1))′, или 
приходим к равенству dy(n-1)=f(x)dx. Интегрируем левую и правую части:
, (4.10)
Таким образом, однократное интегрирование исходного дифференциального уравнения n-го порядка привело к снижению порядка уравнения на единицу.
Далее, так как y(п-1)=(y(п-2))′, то dy(n-2)= 
. Интегрируем:
,
или с учетом (4.10)
y(n-2)=
.
Мы видим, что каждое интегрирование дифференциального уравнения приводит к снижению его порядка на единицу. Продолжая это процесс до тех пор, пока порядок исходного уравнения не снизится до единицы. После n-го интегрирования получим искомую функцию:
, (4.10)
которая включает в себя частное решение, и после интегрирования будет иметь вид (4.9).
Заметим, что правая часть (4.10) называется n-кратным интегралом функции f(x) и часто записывается в более компактном виде:
.
Пример 4.1. Найти общее решение дифференциального уравнения
y′′′=sin x.
Решение. Данное уравнение является уравнением вида (4.6), где n=3, f(x)=sin x. Для получения общего решения необходимо трижды проинтегрировать функцию sin x, иначе говоря, необходимо найти трехкратный интеграл от функции sin x:
.
Полученное общее решение содержит частное решение y1=cos x и многочлен второй степени C1x2+C2x+C3 с произвольными постоянными коэффициентами С1, С2, С3.
2. Уравнение не содержит функции у и ее нескольких последовательных производных у′, у", ... , у(k-1) , т. е. имеет вид
(4.11)
Вводя новую функцию y(k)=z(x), понизим порядок уравнения на k единиц:
F(x, z, z', ... , z(n–k)) = 0.
Если найдем общий интеграл этого последнего уравнения
z=φ(x, C1, C2, … ,Cn-k),
то у определится из уравнения:
y(k)= φ(x, C1, C2, … ,Cn-k),
рассмотренного нами выше.
Пример 4.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
y(4)+2y′′′+y′′–6x2+1=0 (4.12)
Решение. Это уравнение четвертого порядка не содержит у. Следовательно, оно допускает понижение порядка. Производные, входящие в это уравнения начинаются с производной второго порядка, то есть в нашем случае k=2. Заменой z=y′′ понижаем порядок уравнения на две единицы: z′′+2z′+z–6x2+1=0. Получили дифференциальное уравнение второго порядка, которое запишем в виде
z′′+2z′+z=6x2-1. (4.13)
Это линейное относительно функции z и ее производных неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения u′′+2u′+u=0 и частного решения 
неоднородного уравнения (п.3.6).
Найдем сначала общее решение однородного дифференциального уравнения. Корни характеристического уравнения k2+2k+1=0: k1=k2=−1. Корни характеристического уравнения кратны, поэтому общее решение однородного уравнения запишем в виде
u=e-x(C1+x∙C2). (4.14)
Частное решение неоднородного уравнения (4.13) будем искать методом неопределенных коэффициентов (п.3.8). Правая часть уравнения представляет собой многочлен второй степени. Так как в правой части отсутствуют множитель eγx и тригонометрические функции, то γ =0 и φ=1. Таким образом, комплексное число γ±φi=±i не совпадает с корнями k1 и k2 характеристического уравнения. Следовательно, r=0 и частное решение будем искать в виде многочлена второй степени =b2x2+b1x+b0. Дважды дифференцируем : 
, 
и подставляем в (4.13). После приведения подобных членов и группируя коэффициенты по степеням x, получим равенство
b2x2+(4b2+b1)x+(2b2+2b1+b0)=6x2-1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях этого равенства, приходим к системе уравнений
из которой находим коэффициенты b2=6, b1=-24, b0=35 и частное решение
. (4.15)
Общее решение уравнения (4.13) есть результат суммирования найденного ранее общего решения (4.14) соответствующего однородного уравнения и частного решения(4.15) неоднородного уравнения:
z= e-x(C1+xC2)+ 
.
Учитывая замену z=y′′, приходим к уравнению второго порядка
y′′= e-x(C1+xC2)+ . (4.16)
Это уравнение относится к виду (4.6) и решается по формуле (4.10). Поскольку в левой части нашего уравнения производная второго порядка от y, то для нахождения y берем двукратный интеграл:
.
3. Уравнение не содержит независимой переменной x, т. е. имеет вид
F(y, y′, y′′, … , y(n))=0. (4.17)
Примем у за независимую переменную и введем новую функцию у′=z(y). Применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных от у по х следующие выражения
(4.18)
. (4.19)
Аналогично можно найти и производные более высоких порядков. Таким образом, порядок уравнения понижается на единицу. Далее выраженные через z производные у′, у′′, у′′′, … подставляем в исходное уравнение. Если преобразованное после такой подстановки уравнение проинтегрировано, то получим решение относительно z:
z=φ(у, С1, С2, … , Сп–1).
Выполняем обратную замену
у′= φ(у, С1, С2, … , Сп–1),
откуда
dy= φ(у, С1, С2, … , Сп–1)dx,
или
.
Интегрируя, получаем решение
.
Одна из произвольных постоянных Сп входит в качестве слагаемого к х, а это равносильно тому, что всякую интегральную кривую можно перемещать параллельно оси ОХ.
Пример 4.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
y∙y′′′+3y′∙y′′=0.
Решение. Данное уравнение не содержит независимой переменной x.
Принимаем за независимую переменную y и вводим новую функцию z(y)=y′. Находим y′′ и y′′′ по формулам (4.18, 4.19). Запишем их в более компактном виде:
y′′=z′∙z, y′′′=z′′∙z2+(z′)2∙z,
где z′′ и z′ 
.
Подставляем полученные выражения для y′, y′′ и y′′′ в исходное уравнение, сокращаем обе части уравнения на z, считая, что z≠0 и получаем дифференциальное уравнение второго порядка
y∙[z′′∙z+(z′)2]+3z′∙z=0,
или
y∙(z′∙z)′+3z′∙z=0.
Снизить порядок полученного уравнения на единицу можно заменой p=z′∙z. Тогда уравнение примет вид
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
