Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 5 )

y∙p′+3p=0.

Разделяем переменные:

.

Интегрируем: ln| p|+ln| y3|=|C1|. Откуда p∙y3=C1. Так как p=z∙z′, то z∙z′∙y3=C1. После разделения переменных: . Интегрируя, получаем . Учитывая произведенную ранее замену z=y′, получим

, или . Отсюда следует, что , или

. Приведем подинтегральную функцию в левой части равенства к табличному виду: . Тогда После упрощений окончательно получаем искомый общий интеграл заданного в условии дифференциального уравнения:

.

4. Левая часть уравнения

F(x,y, y′, y′′, … , y(n))=0 (4.20)

есть однородная функция аргументов y, y′, y′′, … , y(n).

В этом случае понизить порядок уравнения можно, вводя вместо y новую переменную z(x) по формуле , или по формуле y′=y∙x. Получим уравнение (n-1)-го порядка. Это следует из следующих очевидных формул:

, , , … . (4.21)

Тогда в силу условия однородности, после подстановки выражений для y, y′, y′′, … , y(n) в (4.20), обе части уравнения можно разделить на общий множитель . Произвольная постоянная в интеграле будет произвольным множителем в y.

Если переменную z вводить по формуле y′=y∙x. То общим множителем, на который будем делить обе части уравнения, будет y:

, , и т. д.

Пример 4.4. Уравнение xy2=y∙y′′′–y′∙y′′ является однородным относительно y, y′, y′′ и y′′′. Понизим порядок этого уравнения заменой . Тогда подставляя в заданное уравнение вместо y, y′, y′′ и y′′′ их выражения (4.21) и сократив обе части уравнения на общий множитель , получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной z:

2x=z′′+3zz′+z3−z∙(z′+z2),

или

2x=z′′+2zz′.

Дальнейшее понижение порядка можно осуществить, если учесть, что 2zz′=(z2)′. Тогда x=z′′+(z2)′, или x=(z′+z2)′. Переходя к дифференциалам:

и разделяя переменные: d(z′+z2)=2xdx, получим после интегрирования

z′+z2=x2+C1. (4.22)

Таким образом, получено нелинейное относительно z дифференциальное уравнение первого порядка. Это дифференциальное уравнение относится к классу уравнений Рикатти

y′+P(x)y+Q(x)y2+R(x)=0,

которое не приводится при произвольных коэффициентах к квадратурам. Его можно привести к линейному уравнению, если известно какое-либо частное решение. Действительно, пусть z1(x) – известное частное решение уравнения (4.22), т. е.

. (4.23)

Введем в уравнение (4.22) вместо z новую искомую функцию u(x) по формуле . Тогда . Подставляя z и z′ в (4.22) и принимая во внимание равенство (4.23), получим для u линейное дифференциальное уравнение первого порядка

u′+2z1u+1=0,

которое решается методом вариации произвольной постоянной.

4.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Приведем без доказа­тельства виды решений уравнений высших порядков, аналогичные полученным в п.3.5 и в п. 3.8 для уравнений второго порядка.

Однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=0, (4.24)

где р1, р2 ... , рn — заданные вещественные числа. Составим характе­ристическое уравнение, аналогичное уравнению (3.15):

kn+p1kn-1+…+pn-1k+pn=0 (4.25)

Всякому простому вещественному корню k=k1 этого уравнения соответствует решение . Если этот корень имеет кратность r, то ему будут соответствовать следующие r решений:

Паре мнимых сопряженных корней k=α±βi первой кратности соответствуют решения

еαхcos βx и еαхsin βx.

Если эти корни не простые, а имеют кратность r, то им соответ­ствуют следующие 2r решений:

еαхcos βx, xеαхcos βx, … , xr-1 еαхcos βx,

еαхsin βx, xеαхsin βx, … , xr-1 еαхsin βx.

Таким образом, используя все корни уравнения (4.25), мы получим n решений уравнения (4.24). Умножая эти решения на произвольные постоянные C1, C2,…, Cn и складывая, будем иметь общий интеграл уравнения.

Пример 4.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′+3y′′-4y′-12y=0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

k3+3k2-4k-12=0.

Его корни: k1=2, k2=−2, k3=−3. Это простые вещественные корни, поэтому частными решениями, соответствующими этими корням будут: y1=e2x, y2=e−2x, y3=e−3x. Общее решение имеет вид: y=C1y1+C2y2+C3y3, или окончательно

y= C1e2x+C2 e−2x +C3 e−3x.

Пример 4.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′+y′′-2y′+12y=0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

k3+k2-2k+12=0.

Его корни: k1=k2=2, k3=−3. Все корни вещественные. Кратному корню k1=k2=2 с кратностью, равной двум будут соответствовать два частных решения: y1=e2x и y2=xe2x. Простому корню k3=−3 будет соответствовать одно частное решение: y3 =e−3x. Общим решением уравнения будет

y= C1e2x+C2 xe2x +C3 e−3x.

Пример 4.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′+y′′-2=0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

k3+k2-2=0.

Его корни: k1,2=−2±2i, k3=1. Видим, что характеристическое уравнение имеет пару мнимых сопряженных корней k1,2=−2±2i первой кратности, которым соответствуют частные решения y1= е−2 х cos 2x и y2= е−2 х sin 2x, соответственно. Вещественному простому корню k3=1 характеристического уравнения соответствует частное решение y3 =ex . Таким образом, получим общее решение заданного в условии дифференциального уравнения

y= C1 е−2хcos 2x + C2 е−2хsin 2x+ C3ex.

4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Для разыскания частного решения неоднородного уравнения

y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=f(x) (4.26)

можно применять метод вариации произвольных постоянных, рассмотренный в п. 3.7 для линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Если правая часть уравнения (4.26) имеет вид P(x)ekx, где Р(х) –многочлен и k не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения (4.25), то и решение уравнения можно искать в виде

у = Р1(х)ekx,

где Р1(х) — многочлен той же степени, что и Р(х).

Если k есть корень уравнения (4.25) кратности r, то надо положить

у = xr P1(x)ekx.

Если правая часть имеет вид f(x) = ekx [P(x)cos bx + Q(x)sin bx]

и (k±bi) не являются корнями характеристического уравнения (4.25), то и решение надо искать в том же виде

y = ekx [P1(x)cos bx + Q1(x)sin bx],

где степени многочленов Р1(х) и Q1(x) надо брать равными наибольшей из степеней многочленов Р(х) и Q(х).

Если же (k±bi) суть корни (4.25) кратности r, то к правой части послед­ней формулы надо приписать множитель xr и общее решение примет вид:

y = xrekx [P1(x)cos bx + Q1(x)sin bx].

Пример 4.8. Найти общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка

y(IV)−2y′′′+2y′′−2y′+y=x∙sin x.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение

k4−2k3+2k2-2k+1 =0

может быть представлено в виде

(k2+1)(k−1)2 = 0

и имеет двойной корень k1=k2=1 и пару мнимых сопряженных корней k3,4=±i.

Как известно из п.3.6, общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

По таблице общих решений однородных уравнений, приведенной в п. 3.5, где α=0, β=1, получим общее решение соответствующего однородного уравнения u(IV)−2u′′′+2u′′−2u′+u=0:

u=(C1+C2x)ex+C2cos x+C3sin x.

Частное решение будем искать в виде xrekx [P1(x)cos bx + Q1(x)sin bx]. Сравнивая правую часть заданного в условии уравнения с этой формулой, видим, что в данном случае k=0, b=1 и k±bi=±i есть простые корни характеристического уравнения, т. е r=1. Кроме того, P(x)=0, Q(x)=x, следовательно, наибольшей из степеней многочленов Р(х) и Q(х) является первая степень. Это означает, что и искомые многочлены Р1(х) и Q2(х) должны иметь первую степень. С учетом сказанного частное решение будет иметь вид

,

где a, b, c, d – искомые коэффициенты.

Находим производные и и подставляем их в исходное уравнение. Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений. Решая ее, находим неизвестные коэффициенты a, b, c, d. Подставляем их в выражение для . Общее решение заданного в условии неоднородного уравнения найдем как сумму найденного ранее общего решения u соответствующего неоднородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y=(C1+C2x)ex+C2cos x+C3sin x+ .

Тема 5. Системы дифференциальных уравнений.

5.1. Общие понятия.

При решении многих задач требуется найти функции y1=y1(x), y2=y2(x),…, yn=yn(x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент x, искомые функции y1, y2,,…, yn и их производные. Совокупность соотношений вида

, (5.1)

где где y1, y2,,…, yn – искомые функции, x – независимая переменная, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Если система разрешима относительно производных искомых функций:

(5.2)

то такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Если правые части уравнений нормальной системы (5.2) не зависят от x, т. е. система имеет вид

то такая система называется автономной, или стационарной системой.

В дальнейшем мы будем рассматривать нормальные системы общего вида.

Порядок системы дифференциальных уравнений равен наивысшему из порядков уравнений, входящих в эту систему.

Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков можно свести к нормальной системе, если ввести новые искомые функции.

Теорема Коши существования и единственности решения для системы (5.2) формулируется следующим образом.

Если правые части уравнений системы, то есть функции fi(x,y1,y2,…,yn), где i=1,2,…,n, а также их частные производные , ,…, непрерывны по всем переменным в некоторой области G, то для любых начальных значений переменных x0 , y10 , y20 , … , yn0 , принадлежащих области G, существует единственное решение y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) системы, удовлетворяющее этим начальным условиям: y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0.

Проинтегрировать систему – значит определить функции y1, y2,,…,yn, удовлетворяющие системе уравнений (5.2) и данным начальным условиям:

y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0.

Процесс нахождения решений системы дифференциальных уравнений называется интегрированием системы.

Геометрический смысл нормальной системы дифференциальных уравнений заключается в том, что нормальная система вида (5.2) задает поле направлений в (n+1)-мерном пространстве. Причем в любой точке данного поля направление касательной к интегральной кривой совпадает с направлением этого поля.

Общим решением системы дифференциальных уравнений называется система функций

,

непрерывно дифференцируемых по независимой переменной x и непрерывных относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. При этом указанные функции φi, i=1,2,…,n должны обращать систему дифференциальных уравнений в систему тождеств и из них должны получаться все возможные частные решения.

Частным решением системы дифференциальных уравнений называется такое решение системы, которое получается из общего решения при некотором наборе всех произвольных постоянных, включая ±∞.

Особым решением системы дифференциальных уравнений называется такое решение системы, которое не получается из общего решения ни при некотором наборе произвольных постоянных, включая ±∞.

Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений формулируется следующим образом. Среди всех решений дифференциальных уравнений найти то, которое удовлетворяет поставленным начальным условиям:

y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0.

Геометрически это означает, что из семейства интегральных кривых, являющихся решением системы дифференциальных уравнений, нужно выбрать ту, которая проходит через точку с заданными координатами:

(x0, y10, y20, … , yn0).

Для решения системы дифференциальных уравнений существует множество способов. Один из них состоит в том, что система n дифференциальных уравнений первого порядка сводится к одному уравнению первого порядка. Этот способ называется методом исключения неизвестных.

5.2.  Решение системы дифференциальных уравнений первого порядка методом исключения неизвестных.

Интегрирование системы вида (5.2) производится следующим образом.

1). Дифференцируем по x первое из уравнений (5.2):

2). Заменяем производные их выражениями f1, f2,,…, fn из уравнений (5.2). Получим уравнение:

Дифференцируя это уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:

.

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

(5.3)

3). Из первых n-1 уравнений определим y2, y3,,…,yn, выразив их через x, y1 и производные :

(5.4)

4). Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (5.3), получим уравнение n-го порядка для определения y1:

(5.5)

5). Решая это уравнение, определим y1:

(5.6)

6). Дифференцируя последнее выражение n-1 раз, найдем производные как функции от x, C1, C2,,…,Cn.

7). Подставляя эти функции в систему (5.4), определяем y2, y3,,…,yn:

(5.7)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям y1(x0)=y10 , y2(x0)=y20 , … , yn(x0)=yn0, остается лишь найти из уравнений (5.6) и (5.7) соответствующие значения постоянных C1, C2,,…,Cn (подобно тому, как это делалось в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (5.2) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5.5) будет линейным.

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1 уравнений системы (5.3) можно определить функции y2, y3,,…,yn. Может случиться, что переменные y2,y3,,…,yn исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n.

Пример 5.1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

1). Дифференцируем по x первое уравнение системы

.

Получим

.

2). Заменяем в правой части полученного уравнения производные их выражениями 2x–y1–2y2 и –3y1+y2+1 из заданной системы и приводим подобные члены. В результате имеем линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

.

Полученное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит в данном случае переменной y2, поэтому отпадает необходимость в выполнении третьего и четвертого шагов.

5). Решаем это уравнение. Перепишем его в виде

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка. Его решение, как известно, складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Решим сначала соответствующее однородное уравнение:

u′′-7u=0.

Характеристическое уравнение k2−7=0 имеет корни k1= , k2=−. Следовательно, частными решениями однородного уравнения будут:

, ,

а их линейная комбинация

+

является общим решением однородного дифференциального уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде

,

или

+.

Для нахождения неизвестных функций и составим систему уравнений вида (3.28), где , :

.

Найдем определитель этой системы

==.

Тогда

,

.

Интегрируя полученные выражения, получим

, .

Таким образом, общим решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка относительно y1 будет:

+,

или

.

6) Дифференцируем y1 один раз и находим производную :

.

7). Подставляем найденные выражения для y1 и в первое уравнение заданной системы

и получим после несложных преобразований:

.

Таким образом, решение системы найдено.

В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть Fx, Fy, Fz – проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекция вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т. е. от

Искомыми функциями в этой задаче являются три функции:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Эти функции определяются из уравнений динамики (закон Ньютона):

(5.8)

Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае плоского движения, т. е. движения, когда траекторией является плоская кривая (лежащая, например, в плоскости Oxy), получаем систему двух уравнений для определения функций x(t) и y(t):

(5.9)

. (5.10)

Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений (5.9) и (5.10) покажем, как это делается. Введем обозначения:

, .

Тогда

, .

Система двух уравнений второго порядка (5.9), (5.10) с двумя искомыми функциями x(t) и y(t) заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями x, y, u, u:

,

,

.

5.3.  Решение нелинейных систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Если система дифференциальных уравнений (5.2) является нелинейной относительно одной или нескольких входящих в нее переменных, то применение рассмотренного выше метода приведет к трудностям, связанным с необходимостью решения нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка (см. замечание 1 в п.5.2). В таком случае часто бывает удобней пользоваться методом интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, которое является следствием системы уравнений (5.2) и интегрируется в квадратурах, например, имеет вид

dФ(x, y1, y2, … , yn)=0.

Функция Ф(x, y1, y2, … , yn), которая тождественно равна постоянной при подстановке в нее решений yi=yi(x) (i=1,2,…,n), называется первым интегралом системы (5.2). Если имеется k первых независимых интегралов

Ф1(x, y1, y2, … , yn)=С1,

Ф2(x, y1, y2, … , yn)=С2,

……………………….. (5.11)

Фk(x, y1, y2, … , yn)=Сk, k≤n

то из системы (5.11) можно выразить k неизвестных функций через остальные. Подставив их в систему (5.2), приходим к задаче об интегрировании системы дифференциальных уравнений с меньшим числом неизвестных. В частности, если k=n, то все неизвестные функции y1, y2, … , yn определяются из системы интегралов (5.11).

Иногда нахождение интегрируемых комбинаций облегчается при помощи так называемой симметрической формой записи системы уравнений (5.2):

,

где fi(x,y1,y2,…,yn) – правые части уравнений в нормальной системе (5.2).

Метод интегрируемых комбинаций позволяет решить систему, оставаясь в рамках уравнений первого порядка.

Заметим, что все сказанное о нелинейных системах относится и к линейным системам, записанным в нормальной форме.

Пример 5.2. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений

.

Решение. Из уравнения находим ln|x|=ln|y|+lnC1, или

.

Это первый интеграл. Далее решаем уравнение , которое с учетом того, что x=C1y перепишем в виде . Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, используя свойство пропорций представим это уравнение как:

.

Решаем его по формуле общего решения

,

где в данном случае P(y)=, Q(y)=C1y. Тогда

z=C1y2+C2y, или z=xy+C2y.

Итак, мы получили два первых интеграла

и

Так как они независимы и число их равно числу уравнений рассматриваемой системы, то других интегралов, которые были бы независимы от полученных, т. е. не являлись бы их следствием нет.

Пример 5.3. Проинтегрировать систему дифференциальных

уравнений

Решение. Если мы хотим получить решение без параметра t, представим эту систему в симметрической форме

.

Полученная система состоит из одного уравнения. Делим левую часть на правую и получаем интегрируемую комбинацию – дифференциальное уравнение Бернулли:

.

Общее решение этого уравнения:

y2=C1x–2xln|x|

является первым интегралом системы. Этот интеграл является единственным независимым интегралом для симметрической формы, полученной в начале решения, поскольку она состоит из одного уравнения.

Если мы хотим, чтобы в решении присутствовал параметр t, то подставляем полученное для y2 выражение в первое уравнение исходной системы:

.

Откуда

.

После интегрирования:

.

5.4. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

(5.12)

где коэффициенты aij суть постоянные. Здесь x – аргумент, y1(x), y2(x),…yn(x) – искомые функции. Система (5.12) называется однородной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (5.12) и другим методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений и носит название метода Эйлера.

Будем искать частное решение системы в следующем виде:

. (5.13)

Требуется определить постоянные A1, A2, …,An и k так, чтобы функции A1ekx, A2ekx,…,Anekx удовлетворяли системе уравнений (5.12). Подставляя их в систему (5.12), получим:

Сократим на ekx . Перенося все члены в одну сторону, собирая коэффициенты при A1, A2,…, An, получим систему уравнений

(5.14)

Выберем A1, A2,…, An и k такими, чтобы удовлетворялась система (5.14). Эта система есть система линейных алгебраических уравнений относительно A1, A2,…, An. Cоставим определитель системы (5.14):

(5.15)

Если k таково, что определитель D отличен от нуля, то система (5.14) имеет только нулевые решения A1=A2=…=An=0, а, следовательно, формулы (5.13) дают только тривиальные решения:

.

Таким образом, нетривиальные (ненулевые) решения вида (5.13) мы получим только при таких k, при которых определиобращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k:

(5.16)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (5.12), его корни называются корнями характеристического уравнения, или характеристическими числами.

Рассмотрим несколько случаев.

1)  Корни характеристического уравнения действительные и различные.

Обозначим через k1, k2,,…,kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня ki напишем систему (5.14) и определим коэффициенты

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k1 частным решением системы (5.12) является:

для корня k2 частным решением системы (5.12) является:

………………………………………………………………….

для корня kn частным решением системы (5.12) является:

Найденные частные решения образуют фундаментальную систему решений, следовательно, общее решение системы можно записать в виде:

(5.17)

где C1, C2,,…,Cn – произвольные постоянные. Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Пример 5.4. Решить систему дифференциальных

уравнений

Будем решать эту систему методом Эйлера. Согласно этому методу, частные решения системы ищем в виде

, .

Подставляем y1, y2 и их производные в заданную систему

Сокращая на ekx, получаем систему уравнений, аналогичную (5.14)

Из которой, в силу нетривиальных искомых решений, следует

или (k-1)2-4=0. Корни этого характеристического уравнения k1=3, k2=-1 — — простые, следовательно, соответствующие им частные решения имеют вид

Связь между коэффициентами найдем, подставив полученные частные решения, например, для y1 в первое уравнение исходной системы:

Вторые уравнения будут следствием записанных. Из полученной системы найдем: и . В силу произвольности и можем, например, принять, что . Тогда и . Тогда общее решение запишется в виде

,

или окончательно

.

2). Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные.

Этот материал хорошо изложен у Соболь стр. 587

Если корень k имеет кратность r, тогда этому корню соответствуют решения вида:

y1=P1(x)ekx, y2 =P2(x)ekx, …, yn=Pn(x)ekx,

где Pi(x) − полиномы степени не выше r.

Среди коэффициентов этих полиномов r коэффициентов являются произвольными, а остальные выражаются через них. Полагая один из этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные нулю, получаем r линейно независимых частных решений, соответствующих данному r-кратному корню k характеристического уравнения.

3).Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.

Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня:

Этим корням будут соответствовать решения

(5.18)

(5.19)

Коэффициенты и определяются из системы уравнений (5.14).

Действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения: (5.20)

где - действительные числа, определяемые через и .

Соответствующие комбинации функций (5.20) войдут в общее решение системы.

4). Среди корней характеристического уравнения есть комплексные кратные.

Решение проводится по схеме, приведенной в пункте 2. Каждый раз после получения комплексного решения проводится выделение действительной и мнимой частей.

Аналогичным методом можно находить решения системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

Приведем в качестве примера решение системы дифференциальных уравнений второго порядка

(5.21)

Снова ищем решение в виде

, .

Подставляя эти выражения в систему (5.21) и сокращая на ekx, получаем систему уравнений для определения A1, A2 и k:

(5.22)

Отличные от нуля A1 и A2 определяются только в том случае, когда определитель системы будет равен нулю:

(5.23)

Это есть характеристическое уравнение для системы (5.20); оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть k1, k2 , k3 и k4 – его корни (предполагаем, что корни различны). Для каждого корня ki из системы (5.22) находим значения A1 и A2. Общее решение, аналогично (5.17), будет иметь вид

Если среди корней будут комплексные, то каждой паре комплексных корней в общем решении будут соответствовать выражения вида (5.20).

.