Кредитные дериваты как инструмент хеджирования (стр. 2 )

Следует отметить, что вышесказанное не означает, что сами дефолты независимы между собой. Если определить так же как , но со случайной компонентой , то это индикатор дефолта для фирмы i, но это не есть условие для . Также, и будут одинаково распределены для всех i и j, но это не означает независимости этих величин. Проще всего продемонстрировать это на примере. Пусть p=0,5, а с вероятностями по 0,5. В этом случае либо все вернут займы, либо все не вернут, таким образом, взаимно независимы, а нет.

Еще одно ключевое предположение модели: одинаково для всех займов. Если построить модель, где необязательный параметр для каждого дефолта, то это предположение повлечет полную корреляцию и для всех i и j. Высокая корреляция между дефолтами не испортит модели, а наоборот позволит выделить систематическую компоненту. Если корреляция между высока, но не равна единице, то выделить систематическую компоненту, можно используя средний уровень .

2.2. Модель банковского займа [50]

Пусть фирма i предполагает взять кредит сроком на один год в размере рублей. В конце года фирма выплачивает обратно сумму плюс процент, если будет платежеспособна. В противном случае она выплачивает рублей, где . - константа и одинакова для всех фирм.

Пусть безрисковая ставка означает стоимость банковских фондов. Тогда прибыль банка запишется в виде:

(1)

где означает ставку процента, назначенную по займу, а средний объем , . Для последнего равенства, используется предположение о том, что N достаточно велико, чтобы отображать несистематический риск. Т. к. размер займа не отражает вероятность невозврата по этому займу, то можно использовать .

Величина отражает среднюю прибыль банка. Если , то уровень дефолтов постоянен во времени и банк будет поучать такую прибыль почти наверно, т. е. с вероятностью равной единице. Нестабильность прибыли год от года описывается случайной величиной . Этот объем вычитается из среднего уровня прибыли для того, чтобы выделить систематическую компоненту риска невозврата займа. Следует отметить, что на каждый рубль займа банк несет потери в размере , это есть уровень потерь для банка.

Пусть означает стоимость банковского гонорара в будущем в расчете на один рубль кредита. Банк ожидает, что эта премия или компенсация будет содержаться в процентной ставке.

Тогда из выражения (1) можно вывести процентную ставку:

(2)

Более сложный вопрос о знаке , если , то отпадает надобность в банках как в посредниках, т. к. тогда они не производят добавленной стоимости. Можно спорить, что банки создают добавленную стоимость посредством организации мониторинга, но в рассматриваемой модели мы предполагается симметричность информации, поэтому мониторинг излишен. Конечно, банки занимаются посреднической деятельностью, но здесь эта деятельность не учитывается, поэтому модель не зависит принципиально от знака . Кроме этого, для того, чтобы было одинаково для всех банков, необходимо чтобы банковский рынок достаточно конкурентен. Если же конкуренция отсутствует, то такое предположение не правомерно.

В следующих параграфах мы рассмотрим различные виды кредитных производных финансовых инструментов и их уровень эффективности по отношению к кредитному риску. Начнем с самых простых, а затем перейдем к более сложным.

2.3. Покупка страховки

Для начала хотелось бы рассмотреть случай, когда банк не прибегает к хеджированию кредитного риска, а использует покупку страховки. В отличие от производных контрактов, где компания заемщик не является стороной сделки, покупка страховки подразумевает непосредственное участие заемщика.

Рассмотрим два случая. Пусть . Тогда, при предположении о большом N, банковская прибыль не является случайной величиной. В частности:

(3)

где ставка процента по кредиту. Т. к. множество банковских займов не подвержено риску, то банк будет ожидать возврата на каждый рубль стоимости кредита. Из уравнения (3) процентная ставка для кредитов этого множества:

(4)

Если не существует вероятности дефолта, то банк назначит просто . Выражение представляет собой страховую премию банка за возможный невозврат займа. Т. к. доля погашенных займов составляет , то эта доля определяет страховую премию на конец периода. Таким образом, банк в среднем получает вдобавок к на каждый рубль кредита. Это же выражение точно равно потерям на один рубль в случае дефолта.

Для проведения аналогии со страхованием предполагается, что банк назначает процентную ставку по кредиту равную для всех займов, но просит предъявить страховку от третьего лица на случай невозврата долга. Пусть чистая страховая сумма в случае дефолта составит , а общая компенсация равна с премией на один рубль займа. Выплаты для фирмы, банка и страховщика на один рубль кредита составят:

	Страховщик	Банк
Фирма платежеспособна
Фирма не платежеспособна

Другими словами ставка процента в выражении (3) такая же, как если бы банк требовал страховку. Единственное отличие в том, что банк сам обеспечивает страхование.

Другой случай, когда риск не исключен. Хеджирование отсутствует, и банковская прибыль есть случайная величина, которая записана в выражении (1). Математическое ожидание (1):

(5)

Пусть величина означает рыночную компенсацию за хранение риска на один рубль кредита. Банк ожидает, что эта компенсация будет содержаться в процентной ставке по кредитам . Другими словами, прибыль на один рубль будет эквивалентна . Решая уравнение (5) относительно , получается:

(6)

(6а)

(6б)

Из (5а) видно, что равна плюс премия за держание риска. В качестве альтернативы можно интерпретировать в (6б) как гарантию возврата по ставке . Здесь важно отметить, что страховка имеет смысл только до заключения кредитного контракта. Применяя закон больших чисел и, предполагая, что , получается, что страховка принесет нулевую прибыль. Хотя если , то банковская прибыль в выражении (1) будет зависеть от реализованного объема , т. е. с процентной ставкой из выражения (6) банк ожидает прибыль в размере на один рубль кредита, но реальная прибыль может быть больше или меньше этого уровня. Таким образом, страхование не снижает систематический риск, присущий кредиту. Банк хеджирует этот риск, как показано в следующих параграфах.

2.4. Хеджирование кредитным дефолтным свопом

Приступим к рассмотрению модификаций модели, которые предлагает автор, и в которых проводится анализ хеджирования кредитного риска. Для начала предлагается рассмотреть кредитные дефолтные свопы (credit default swaps). Этот инструмент является одним из самых простых продуктов и занимает первое место по количеству заключаемых сделок.

Кредитный дефолтный своп представляет собой соглашение, по которому стороны обмениваются кредитным риском без переуступки самого актива. Это двусторонний финансовый контракт, по которому одна сторона (покупатель кредитной защиты) производит периодические выплаты другой стороне (продавцу кредитной защиты) в обмен на платеж, обусловленный наступлением кредитного случая по указанному активу указанного предприятия (Рис.1) [47].

Рис.1. Платежи по кредитному дефолтному свопу

Под кредитным событием обычно подразумевается банкротство компании заемщика, неплатежеспособность, но это также может быть понижение рейтинга компании заемщика, введение управления имуществом должника и т. д. Периодичность платежей определяется соглашением сторон, но обычно они происходят на ежеквартальной или ежегодной основе. Сам платеж играет роль премии за принимаемый продавцом кредитный риск [44].

Условный платеж производится обычно расчетным способом, тогда он отражает убыток кредиторов при наступлении кредитного случая. Размер платежа определяется как величина падения цены облигаций от номинальной стоимости или другой зафиксированной в контракте цены на определенную дату. Часто размер платежа устанавливается в виде определенного процента от номинала. Такой способ расчета называют бинарным. В качестве альтернативы расчет может производиться в форме физической поставки. В этом случае покупатель кредитной защиты поставляет облигацию, а продавец выплачивает ее номинальную стоимость [46].

Дефолтные свопы могут иметь в своей основе как отдельный кредит или облигацию, так и целую корзину кредитов, такие свопы называются корзинные дефолтные свопы (basket default swaps). Для нашей модели подходит именно такой вид свопа.

Пусть банк решает хеджировать свой риск при помощи кредитного дефолтного свопа, т. е. он перепродает часть риска на финансовом рынке без переуступки самого актива. В таком случае рынок назначит «цену» за этот риск, пусть это будет . Т. е., это платеж со стороны банка, в обмен на который третья сторона при наступлении кредитного события (дефолта со стороны заемщика) выплатит банку, определенную сумму. Эта сумма в расчете на один рубль займа составит . Будем считать, что своп заключается сроком на один год, и выплата по нему производится один раз. Хеджирование потребует свопа на каждый рубль риска каждый с фиксированными выплатами равными , т. е. банк с помощью свопа обменяет систематическую часть кредитного риска, на фиксированную сумму. Таким образом, выражение в уравнении (1), можно заменить фиксированной частью .

(7)

После замены получим:

(8)

Отсюда можно найти ставку банковского процента. Помним про то, что в этой ставке содержится премия банка.

(9)

Первое слагаемое в формуле (9) представляет собой ставку процента, которую назначил бы банк при отсутствии дефолтов, второе же слагаемое ничто иное, как премия за хранение риска и необходимость проведения хеджевых операций.

Кредитные дефолтные свопы могут выполнять не только функции хеджирования. В литературе встречается, по крайней мере, восемь функций кредитного дефолтного свопа. Применение свопов для других целей не менее интересно, однако, мы не имеем возможности анализировать все существующие стратегии.

2.5. Хеджирование свопом на совокупный доход

Более сложная структура кредитных дериватов, рассмотренная автором - своп на совокупный доход (или total-retune swap), так же как и дефолтный своп - это двусторонний контракт, который заключается с целью передачи кредитного риска от одной стороны к другой [37]. Принципиальное отличие свопа на совокупный доход от других инструментов рынка дериватов заключается в том, что контрагенты обмениваются всеми видами экономических рисков. Поток доходов по указанному в контракте активу обменивается на другой денежный поток [47].

Рис.2. Потоки платежей по свопу на совокупный доход

По условиям свопа на совокупный доход покупатель или плательщик выплачивает продавцу, или получателю, полную сумму доходов по базовому активу. Полная сумма доходов, как правило, включает в себя процентные платежи по облигациям, выплаты дивидендов по акциям и любые платежи, связанные с изменением их стоимости. Платежи можно рассчитать как произведение ставки роста стоимости обязательств заемщика на номинальную величину. В свою очередь получатель осуществляет регулярные платежи по плавающей ставке плюс спрэд оговоренного размера и равные произведению этой индикаторной плавающей процентной ставки на номинал контракта. Платежи по свопу на совокупный доход производятся вне зависимости от того, имел ли место кредитный случай. В этом случае продавец свопа несет риск уменьшения стоимости компании заемщика [44].

Срок действия свопа не обязательно совпадает с датой погашения ценной бумаги или кредита. Для расчета платежей применяется два варианта: денежный, когда стороны осуществляют все платежи. Или с физической поставкой, когда плательщик производит поставку указанной в контракте облигации в обмен на выплату получателем ее номинальной стоимости [9].

Банк, желающий осуществить хеджирование, является покупателем total-retune свопа. Обозначим индикаторную плавающую ставку , и будем считать, что номинальная сумма контракта равна . Поскольку при заключении данного контракта происходит обмен экономическими рисками, то за все выданные кредиты банк будет получать плавающую ставку процента.

Ставка роста обязательств заемщика это, как правило, увеличение купонов облигаций или дивидендов, приходящихся на одну акцию. Будем считать, что компания заемщик выпускает только акции, дивиденды по которым растут в год темпом . В этом случае банковская прибыль окажется равной:

(10)

Учитывая, что случайная величина прибыли обменивается на фиксированные выплаты, равные , получим:

(11)

Решая это уравнение, относительно получим выражение для процентной ставки:

(12)

Деление процентной ставки на два слагаемых такое же, как и в первом параграфе.

Рассмотренный инструмент, также имеет несколько функций.

2.6. Хеджирование кредитным дефолтным опционом

Помимо свопов на рынке кредитных дериватов довольно популярным инструментом являются кредитные опционы. Именно они будут рассмотрены в этом параграфе. Кредитные дефолтные опционы (credit default options) расширяют круг дефолтных инструментов рынка кредитных дериватов. Они предоставляют участникам рынка возможности страхования риска неисполнения обязательств по кредиту и обладают при этом преимуществами опционных рынков. Кредитные дефолтные опционы – это обычные опционы колл или пут, выписанные на кредит, облигацию или определенный актив компании заемщика. Выплаты по кредитному опциону является функцией от стоимости актива компании заемщика на определенный момент времени в контракте. Покупатель такого опциона должен заплатить некоторую премию [37]. Эта премия является аналогом страховки от неблагоприятного изменения качества кредита.

Кредитный опцион пут (или опцион колл) предоставляет покупателю право, но не обязательство продать (или купить) заранее оговоренный актив по заведомо определенной цене, которую называют ценой исполнения или страйком.

При исполнении обязательств стороны могут производить денежные расчеты или прибегать к варианту с физической поставкой. Главное отличие кредитного опциона в том, что платежи по нему обуславливаются наступлением кредитного случая. Рынок кредитных опционов призван обеспечить участников рынка кредитной защитой, поэтому он представлен только опционами на продажу [47]. Сроком исполнения опциона чаще всего является дата предполагаемого гашения кредита. Отметим, что кредитный опцион может быть как европейским, так и американским, если о неплатежеспособности заемщика стало известно до истечения срока кредитного договора [39].

Рис.3. Потоки платежей по кредитному дефолтному опциону

Банк выплачивает покупателю премию за опцион, равную . Предположим также, что - это стоимость актива компании заемщика в будущем в расчете на один рубль кредита. Тогда банковская прибыль запишется следующим образом:

(13)

В случае дефолта банк получит стоимость актива компании, которая была оговорена в опционном контракте. Как и раньше хеджирование потребует опциона на каждый рубль риска с премией . Поэтому, также как и в предыдущем параграфе можно заменить в уравнении (13), на фиксированную часть . В результате получим:

(14)

Из уравнения (14) процентная ставка для кредитов из этого множества:

(15)

Если не существует вероятности дефолта, а хеджирование отсутствует, то банк назначит ставку . Выражение представляет собой страховую премию банка за возможный невозврат займа и необходимость хеджирования.

Как и многие кредитные дериваты кредитный дефолтный опцион является многофункциональным инструментом. Помимо выполнения непосредственной задачи хеджирования от кредитного риска кредитный опцион имеет еще ряд назначений.

1.7. Хеджирование кредитным спрэд опционом

Следующий кредитный производный инструмент, который мы рассмотрим это кредитный спрэд-опцион (credit spread option). Это один из самых простых инструментов рынка кредитных дериватов. Кредитный спрэд опцион это соглашение, которое дает держателю право, но не наделяет обязанностью купить или продать определенный актив с заранее установленным кредитным спрэдом (доходностью акций компании заемщика минус доходность другого определенного в контракте актива) [37].

Опционы на кредитный спрэд позволяют покупать или продавать указанный актив по указанной цене в течение определенного периода времени или на определенную дату в будущем [47].

Рис.4. Потоки платежей по опциону на кредитный спрэд

Цена исполнения или страйк обычно устанавливается в форме спрэда к ставке LIBOR или другой ставке эталону. Вероятность выплат по такому опциону зависит от того, насколько рыночный спрэд будет выше или ниже страйкового спрэда. Например, если спрэд, по которому торгуется базовая облигация, будет ниже страйка, то опцион истечет неисполненным и инвестор ничего не платит, в противном случае банк поставляет облигацию, а инвестор производит платеж по цене, по которой спрэд доходности равен страйковому значению [9].

Таким образом, банку для хеджирования необходимо либо купить спрэд опцион пут, либо продать спрэд опцион колл. Пусть премия за опцион составляет в расчете на каждый рубль риска . Остановимся на варианте, когда банк для хеджирования своих позиций покупает опцион пут. Если по истечении срока контракта текущий спрэд меньше страйка, то опцион не исполнятся. Если же наоборот, то банк получает сумму равную , это спрэд (разница между доходностью акций компании и безрисковой ставкой) в расчете на один рубль займа [44].

Для простоты будем считать, что опционный контракт заключается сроком на год, а выплата оговоренной суммы производится один раз в конце отчетного периода. По аналогии с предыдущими параграфами записываем банковскую прибыль:

(16)

Помня, что премия, уплаченная за опцион, составляет в расчете на один рубль риска , заменяем случайную величину прибыли фиксированными выплатами, получим новую запись прибыли:

(17)

Из этого выражения находим банковскую ставку процента:

(18)

Здесь, второе слагаемое процентной ставки также является премией банка за хранение части кредитного риска и хеджирование.

Кредитные спрэд опционы не являются столь функциональными инструментами, как, например дефолтные свопы.

1.8. Хеджирование связанными кредитными нотами

В последнюю очередь проанализируем балансовые инструменты хеджирования кредитного риска. Эти инструменты имеют более сложную структуру, чем сами дериваты. Мы будем рассматривать только один вид балансового инструмента, а именно, связанные кредитные ноты (credit linked notes).

Связанные кредитные ноты представляют собой комбинацию купонной облигации и кредитного опциона. По этому соглашению продавец берет на себя обязанности производить периодические платежи в течении действия контракта, но эти выплаты могут быть уменьшены на определенную величину базисных пунктов при возникновении дефолта со стороны компании заемщика, к которой привязано данное соглашение [44].

На практике заключение данного вида контракта выглядит следующим образом [47].

Рис.5. Потоки платежей по связанной кредитной ноте

Согласно условиям контракта инвестор приобретает ноту у эмиссионной организации (это либо сами заемщики, либо специальные трастовые фонды). Эмитент на полученные от продажи ноты деньги приобретает первоклассные ценные бумаги, т. е. бумаги с высоким кредитным рейтингом. Нота, как правило, структурирована таким образом, что при наступлении дефолта основная сумма, подлежащая погашению инвестору, сокращается на определенную величину. Важную роль в данной схеме играет организующий банк, который выплачивает эмитенту нот, а тот в свою очередь инвестору спрэд оговоренного размера в обмен на платежи, обусловленные дефолтом. Инвестор же получает премию за принятие на себя риска дефолта.

Здесь инвестор по сути дела выступает в роли продавца кредитной защиты по долгам предприятия, получая взамен спрэд к доходности, а эмитент нот страхует риск дефолта предприятия.

Для хеджирования с помощью этого инструмента банк продает связанную кредитную ноту. При этом он получает некоторую сумму от его продажи, по аналогии с продажей облигации. Пусть его стоимость составляет . Затем в течение определенного в контракте времени банк делает периодические платежи, опять же по аналогии с купонной облигацией. Однако эти платежи могут быть уменьшены на определенное количество пунктов при невыполнении обязательств со стороны компании заемщика.

Пусть стоимость одного купона составляет , который получает покупатель linked notes, а стоимость уменьшенного платежа . В этом случае прибыль банка можно записать как:

(19)

Для простоты будем предполагать, что контракт заключается сроком на год и купон выплачивается один раз в конце года.

Банк выплачивает покупателю сумму равную при благоприятном исходе событий и при неблагоприятном. В случае неспособности заемщика расплатиться с кредитором банк выигрывает сумму равную . Отметим, что сумму равную стоимости облигации банк получает в любом случае.

Таким образом, при дефолте компании заемщика банк выручит выше обозначенную сумму. Процедура хеджирования потребует продажи такого инструмента, так, чтобы в случае дефолта банк получал на каждый рубль риска . Заменяя случайную величину фиксированной, получим:

(20)

Мы можем найти процентную ставку:

(21)

Во всех рассмотренных ситуациях банк осуществлял хеджирование на всю сумму, подверженную риску (т. е. коэффициент хеджирования равен единице). Напомним, что банк может хеджировать не все свои кредиты, а оставлять часть риска себе, поэтому прибыль банка можно записать в другом виде.

Пусть :

(22)

где правая часть получена из (1) путем преобразований. Таким образом - это ожидаемые к возврату займы. Тогда можно записать:

В первом параграфе была произведена замена на , либо посредством страхования этого риска, либо с помощью производных контрактов, по которым выплаты зависят от индекса .

Введем обозначение:

(23)

где - «квази – фиксированная» прибыль банка в расчете на каждый рубль займа.

Посредством хеджирования части займов из всего их множества, банк может оставлять себе какую-то часть этого риска. В частности банк может долю для оптимизации возвратности по хеджированным займам, тогда: