Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
Алгоритмы дискретной математики
для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Автор программы:
, д. ф.-м. н., профессор, *****@***ru.
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики «29» июня 2012 г.
Зав. кафедрой
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите ]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите ] ________________________ [подпись]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1 Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 231300.62 «Прикладная математика», обучающихся по специализациям «Математическое и программное обеспечение систем управления» и «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», изучающих дисциплину «Алгоритмы дискретной математики».
Программа разработана в соответствии с:
· ФГОС 231300 Прикладная математика 62 бакалавр.
· Образовательной программой 231300.62 «Прикладная математика».
· Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 231300.62 «Прикладная математика», специализаций «Математическое и программное обеспечение систем управления» и «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», утвержденным в 2012 г.
2 Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины Алгоритмы дискретной математики является обеспечение выполнения требований, изложенных в федеральном государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования по направлению подготовки 231300 Прикладная математика. Изучение дисциплины направлено на формирование перечисленных ниже элементов общекультурных и профессиональных компетенций.
Задачи дисциплины состоят в изучении алгоритмов дискретной математики и освоении современных компьютерных технологий их применения.
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать:
· Основные типы задач дискретной оптимизации на конечных структурах
· Классические алгоритмы дискретной оптимизации
· Основные методы синтеза сложных структур
Уметь:
· Формализовать задачи дискретной математики
· Определять корректность постановки задачи
· Применять известные алгоритмы дискретной математики и разрабатывать новые алгоритмы для решения прикладных задач
Владеть:
· Методами описания дискретных объектов
· Методикой и приемами реализации алгоритмов дискретной оптимизации
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
А) общекультурные (ОК):
- владеть культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации (ОК-1);
- уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
- готовностью к кооперации с коллегами (ОК-6);
- способностью оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной работы (ОК-14);
- уметь создавать и редактировать тексты профессионального назначения (ОК-15);
- способностью использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ОК-16).
Б) профессиональные (ПК):
- готовность к самостоятельной работе (ПК-1);
- способность использовать современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии программирования (ПК-2);
- знать основные положения, законы и методы естественных наук (ПК-11);
- готовность применять математический аппарат для решения поставленных задач
(ПК-12);
- способность самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных наук (ПК-14).
4 Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к математическому и естественнонаучному циклу дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Для специализаций «Математическое и программное обеспечение систем управления» и «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач» настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
· Математический анализ.
· Теория графов и комбинаторика.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
· Компьютерные технологии математических исследований.
· Методы оптимизации.
5 Тематический план учебной дисциплины
№ | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
1 | Перестановки и сочетания. Биномиальные коэффициенты. Формула бинома Ньютона. | 4 | 2 | 2 | ||
2 | Формула включения и исключения. Задача о беспорядках. | 4 | 2 | 2 | ||
3 | Производящие функции. Линейные рекуррентные последовательности. Числа Фибоначчи. Числа Каталана. | 4 | 2 | 2 | ||
4 | Основные определения теории графов. Изоморфизм графов. Матрица смежности. Эйлеровы и уникурсальные графы. Гамильтоновы графы. | 6 | 4 | 2 | ||
5 | Планарность графов. Теорема Эйлера о связи между числом вершин, ребер и граней связного плоского графа. Приложения к теории трехмерных выпуклых много-гранников. Теорема Понтрягина—Куратовского. | 8 | 6 | 2 | ||
6 | Топологические поверхности и укладка графов на них. Теорема Кенига. Род графа. Эйлерова характеристика топологической поверхности (определение, доказательство его корректности, явное вычисление, теорема о неравенстве для эйлеровой характеристики). Приложения к вычислению родов полного и полного двудольного графов. | 8 | 6 | 2 | ||
7 | Задача о раскраске карт. Теорема о явном виде хроматического числа замкнутой связной топологической поверхности без края. Теорема о пяти красках. | 8 | 4 | 4 | ||
8 | Сети. Алгоритм нахождения максимального потока и минимального разреза сети: теорема Форда—Фалкерсона . | 6 | 4 | 2 | ||
9 | Применение теории групп к перечислительным задачам теории графов. Группы преобразований, орбиты, стабилизаторы. Группы многогранников. Формула Бернсайда. Теорема Пойя о цикловом индексе. | 8 | 6 | 2 | ||
Итого | 54 | 36 | 118 |
6 Формы контроля знаний студентов
Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Параметры | |||
1 | 2 | 3 | 4 | |||
Текущий (6 неделя) | Контрольная работа | * | домашняя | |||
Текущий (6 неделя) | Контрольная работа | * | домашняя | |||
Итоговый | Экзамен |
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Порядок формирования оценок по дисциплине
Текущий контроль – домашняя контрольная работа в первом модуле,
домашняя контрольная работа во втором модуле
Итоговый контроль – устный экзамен в конце второго модуля.
Результирующая оценка за текущий контроль рассчитывается следующим образом:
Отекущий = 0,5·Ок/р + 0,5·Од/з
Активность работы студентов на практических лабораторных занятиях учитывается
в рабочей ведомости и составляет оценку Оаудиторная. Также учитывается оценка Осам. работа самостоятельной работы студентов: в практических домашних задачах на программирование оценивается функциональность и объем созданных программ; в самостоятельных докладах на семинарах – полнота и глубина освещения темы.
Итоговая оценка по курсу выставляется по следующей формуле:
Оитоговая = 0,4 Оэкзамен + 0,4·Отекущий + 0,2·Оаудиторная
где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене.
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе
По десятибалльной шкале | По пятибалльной системе |
1 – неудовлетворительно 2 – очень плохо 3 – плохо | неудовлетворительно – 2 |
4 – удовлетворительно 5 – весьма удовлетворительно | удовлетворительно – 3 |
6 – хорошо 7 – очень хорошо | хорошо – 4 |
8 – почти отлично 9 – отлично 10 – блестяще | отлично – 5 |
7 Содержание дисциплины
Тема 1. Основы комбинаторики
1.1. Перестановки и сочетания с повторениями и без повторений. Биномиальные коэффициенты. Формула бинома Ньютона.
1.2. Формула включения и исключения. Задача о беспорядках (шляпах).
1.3. Производящие функции.
1.4. Линейные рекуррентные последовательности. Формула для ее n-го числа. Применение к числам Фибоначчи.
1.5. Числа Каталана.
Основная литература
, Комбинаторика, НМУ, М., 1994
, Лекции о производящих функциях, МЦНМО, М., 2004
, Дискретная математика, Лань, М., 2008
, , Сборник задач по дискретной математике, Наука, М., 1977
Дополнительная литература
М. Холл, Комбинаторика, Мир, М., 1970
Тема 2. Основы теории графов
2.1. Основные определения. Изоморфизм графов. Матрица смежности графа.
2.2. Эйлеровы и уникурсальные графы: определения и примеры. Критерии эйлеровости (теорема Эйлера) и уникурсальности графов.
2.3. Гамильтоновы графы. Примеры гамильтоновых и негамильтоновых графов.
2.4. Планарные графы. Теорема Эйлера о связи между числом вершин, ребер и граней связного плоского графа. Приложения к теории трехмерных выпуклых много-гранников.
2.5. Непланарность графов K5 и K3,3. Критерий планарности графа (теорема Понтря-гина—Куратовского.
2.6. Определение замкнутой топологической поверхности (без края и с краем). Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Теорема о классификации замкнутых связных топологических поверхностей без края (формулировка).
2.7. Укладка графов на поверхности: теорема Кенига. Род графа.
2.8. Эйлерова характеристика топологической поверхности (определение и дока-зательство его корректности). Явное вычисление эйлеровой характеристики закнутых связных топологических поверхностей без края.
2.9. Теорема о неравенстве, связывающем эйлерову характеристику топологической поверхности с числами вершин, ребер и граней любого уложенного на эту поверхность без самопересечений связного графа.
2.10. Теорема о роде полного графа Kn и роде полного двудольного графа Kn,m (доказательство соответствующего неравенства)
2.11. Задача о раскраске карт. Хроматическое число. Теорема о явном виде хроматического числа замкнутой связной топологической поверхности без края (с доказательством соответствующего неравенства). Теорема о пяти красках.
Основная литература
Ф. Харари, Теория графов, Мир, М., 1973
, , Наглядная топология, Наука, М., 1982
, Дискретная математика, Лань, М., 2008
, , Сборник задач по дискретной математике, Наука, М., 1977
Дополнительная литература
О. Оре, Графы и их применение, Мир, М., 1965
З. Уилсон, Введение в теорию графов, Мир, М., 1977
Г. Рингель, Задача о раскраске карт, Мир, М., 1977
Тема 3. Основы теории сетей
3.1. Определение и примеры сети, ее пропускной способности, потока, его величины, разреза, пропускной способности разреза.
3.2. Алгоритм нахождения максимального потока и минимального разреза: теорема Форда—Фалкерсона (с доказательством).
Основная литература
Л. Форд, Д. Фалкерсон, Потоки в сетях, Мир, М., 1966
Дополнительная литература
Т. Ху, Целочисленное программирование и потоки в сетях, Мир, М., 1974
Тема 4. Применение теории групп к перечислительным задачам теории графов
4.1. Группы преобразований, орбиты, стабилизаторы. Группы многогранников. Основная теорема кристаллографии (формулировка).
4.2. Связь между порядком конечной группы преобразований, числом элементов в ее орбите и порядком стабилизатора точки из этой орбиты.
4.3. Связь между стабилизаторами разных точек одной орбиты.
4.4. Формула Бернсайда и примеры ее применения к задачам о перечислении объектов.
4.5. Цикловой индекс конечной группы перестановок. Теорема Пойя о цикловом индексе. Применение этой теории к подсчету числа неизоморфных графов с n вершинами и m ребрами.
Основная литература
Ф. Харари, Теория графов, Мир, М., 1973
Дополнительная литература
, Курс алгебры, Факториал Пресс, М., 2002
8 Образовательные технологии
Разбор примеров и практических задач.
8.1 Методические рекомендации преподавателю
Нет.
8.2 Методические указания студентам
Нет.
9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1 Тематика заданий текущего контроля
Домашняя контрольной работа no. 1.
Тема: комбинаторика.
Примерные вопросы:
1. Сколько существует 100-разрядных десятичных чисел, в каждом из которых цифра 2 встречается 28 раз?
2. Найти количество целых положительных чисел, не превосходящих 9999 и не делящихся ни на одно из чисел 6, 15 и 70.
3. Последовательность a1, a2, a3, … обладает свойствами: a1=1, a2=2 и an+2 -4an+1 +3an=0
при всех n. Найти формулу, выражающую an через n.
Домашняя контрольной работа no. 2.
Тема: теория графов и теория сетей.
Примерные вопросы:
1. Является ли данный граф (он явно указывается) уникурсальным. Ответ обосновать.
Если ответ положительный, то указать в этом графе маршрут, содержащий каждое ребро ровно один раз.
2. Найти максимальный поток и минимальный разрез в следующей сети (сеть явно указывается).
3. Выясните тип топологической поверхности, полученной указанным отождествлением
Заданной совокупности топологических многоугольников (она явно указывается).
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Дать определения перестановок из n по r без повторений и с повторениями. Привести примеры. Вывести формулы для их числа.
2. Дать определения сочетаний из n по r без повторений. Привести примеры. Вывести формулу для их числа.
3. Дать определения сочетаний из n по r с повторениями. Привести примеры. Вывести формулу для их числа.
4. Доказать формулу бинома Ньютона. Дать определение биномиальных коэффициентов и доказать простейшие тождества между ними.
5. Доказать формулу включения и исключения. Привести пример ее применения.
6. Рассказать как решается задача о беспорядках (о шляпах).
7. Дать определение линейной рекуррентной последовательности. Привести пример. Описать способ получения формулы для ее n-го члена. Привести пример нахождения такой формулы в каком-нибудь конкретном случае. Вывести формула n-го члена ряда Фибоначчи.
8. Дать определение чисел Каталана и вывести формулу для n–го числа Каталана.
8. Проиллюстрировать на примерах понятия графа, степени вершины графа, цикла в графе, связного графа, маршрута в графе, цикла, полного графа с n вершинами Kn, полного двудольного графа Kn,m. Дать определение изоморфных графов. Привести примеры изоморфных и неизоморфных графов. Может ли сумма степеней всех вершин графа быть равна 2009?
9. Дать определения эйлерова графа, эйлерова цикла. Доказать критерий эйлеровости графа. Привести пример нахождения эйлерова цикла в эйлеровом графе.
10. Дать определение гамильтонова графа, гамильтонова цикла. Привести примеры гамильтонова и негамильтонова графов.
11. Доказать теорему Эйлера о числе вершин, ребер и граней связного плоского графа.
12. Дать определение правильного выпуклого многогранника. Вывести из теоремы Эйлера о числе вершин, ребер и граней связного плоского графа про возможное число вершин, ребер и граней правильного выпуклого многогранника.
13. Доказать неравенство между числом Р и числом 3В-6 у связного плоского графа. Объяснить как из него вытекает непланарность полного графа с 5 вершинами (т. е. графа К5).
14. . Доказать неравенство между числом Р и числом 2В-4 у связного плоского графа. Объяснить как из него вытекает непланарность графа К3,3.
15. Дать определение гомеоморфных графов. Привести примеры гомеоморфных и негомеоморфных графов. Сформулировать критерий планарности (теорему Понтрягина--Куратовского). Привести пример применения этого критерия для какого-либо конкретного графа.
16. Доказать теорему Кенига. Дать определение рода графа. Какой род имеют графы К5 и К3,3? Обосновать ответ.
17. Дать определение топологической замкнутой поверхности без края. Дать определение ориентируемой и неориентируемой поверхности, привести примеры. Сформулировать теорему о классификации топологических замкнутых поверхностей без края. Зависит ли число В-Р+Г от выбора связного графа без самопересечений на поверхности (подкрепить ответ примером)? Какое дополнительное условие нужно наложить на рассматриваемые графы, чтобы ответ на предыдущий вопрос был отрицательным? Дать определение эйлеровой характеристики топологической поверхности. Доказать теорему о его корректности.
18. Вычислить эйлерову характеристику поверхностей Sg (сферы с g ручками) и Np.
19. Каким неравенством связаны число В-Р-Г для любого связного графа без самопересечений на топологический поверхности и эйлерова характеристики этой поверхности? Доказать его.
20. Каково минимальное число g, такое что полный граф Кs с s вершинами укладывается без самопересечений на сферу с g ручками? Доказать соответствующее неравенство. Укажите явно укладку без самопересечений графа K5 на тор.
21. Каково минимальное число g, такое что граф Кn, m укладывается без самопересечений на сферу с g ручками? Доказать соответствующее неравенство.
22. Расскажите о задаче о раскраске карт. Указать формулу для минимального числа красок, с помощью которых можно правильно раскрасить любую карту на замкнутой топологической поверхности без края. Докажите соответствующее неравенство. Вычислите это число с для тора. Нарисуйте на торе карту, которую нельзя правильно раскрасить меньшим, чем с, числом цветов.
23. Докажите теорему о 5 красках.
24. Что такое сеть, ее пропускная способность, поток в сети, величина потока, разрез, пропускная способность разреза? Привести примеры. Докажите теорему Форда-Фалкерсона.
25. Изложить на примере алгоритм нахождения максимального потока и минимального разреза в сети.
26. Дать определение группы преобразований, привести примеры. Дать определение орбиты точки и стабилизатора точки относительно заданной группы преобразований. Привести примеры.
27. Описать все элементы для каждой из групп правильных многогранников.
28. Сформулировать основную теорему кристаллографии о строении конечных групп вращений трехмерного евклидова пространства. Проиллюстрировать ее на примере группы вращений куба с отпиленным углом при вершине.
29. Как связаны порядок конечной группы преобразований, порядок стабилизатора некоторой точки и порядок орбиты этой точки? Проиллюстрировать эту связь на примерах.
30. Как связаны стабилизатор точки x со стабилизатором точки g(x), где g --- какое-то элемент из группы преобразований множества X? Докажите соответствующе утверждение. Одинаковые ли у этих стабилизаторов порядки?
31. Докажите формулу Бернсайда и проиллюстрируйте ее на примере, где X---множество вершин куба, а G---группа куба (т. е. группа всех его вращений).
32. Р асскажите как подсчитать с помощью теоремы Бернсайда число ожерелий из 6 бусин трех разных цветов.
33. Расскажите как подсчитать с помощью теоремы Бернсайда число различных кубов, вершины которых покрашены в три разных цвета..
34. Что такое цикловой индекс конечной группы перестановок G множества X из n элементов? Вычислите его когда n=3 и G --- группа всех перестановок из 3 элементов. А какой вид он имеет для произвольного n, когда G --- группа всех перестановок из n элементов?
35. Выпишете все орбиты группы подстановок из 3 элементов на множестве всех неупорядоченных пар различных элементов множества из 3 элементов.
36. Сформулируйте теорему Пойя о цикловом индексе и проиллюстрируйте ее на примере группы подстановок из 3 элементов.
37. Объясните схему нахождения числа неизоморфных графов с n вершинами и m ребрами с помощью теоремы Пойя. Проиллюстрируйте ее на примере, где n=4.
9.2 Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Нет.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Нет
10.2 Основная литература
, Комбинаторика, НМУ, М., 1994
, Лекции о производящих функциях, МЦНМО, М., 2004
Ф. Харари, Теория графов, Мир, М., 1973
, , Наглядная топология, Наука, М., 1982
, Дискретная математика, Лань, М., 2008
Л. Форд, Д. Фалкерсон, Потоки в сетях, Мир, М., 1966
, , Сборник задач по дискретной математике, Наука, М., 1977
10.3 Дополнительная литература
М. Холл, Комбинаторика, Мир, М., 1970
О. Оре, Графы и их применение, Мир, М., 1965
З. Уилсон, Введение в теорию графов, Мир, М., 1977
Г. Рингель, Задача о раскраске карт, Мир, М., 1977
Т. Ху, Целочисленное программирование и потоки в сетях, Мир, М., 1974
, Курс алгебры, Факториал Пресс, М., 2002
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
Не используются
10.5 Программные средства
Не используются
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Не предусмотрена
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не используется
Приложение
Методические рекомендации по формированию оценок по дисциплине
Данные методические рекомендации составлены на основании Положения об организации контроля знаний, утвержденного УС НИУ ВШЭ от 01.01.2001, протокол №26.
1) Структура оценки по дисциплине согласно положению об организации контроля знаний:
2) Таблица 1. Формирование оценки по дисциплине: если дисциплина читается 1 этап (модуль)
Элемент оценки | Накопленная оценка | Итоговая оценка за экзамен/ зачет | Результирующая оценка | ||||
Текущий контроль | Аудиторная работа (Лекции, практические занятия, семинарские занятия) | Самостоятельная внеаудиторная работа студентов | |||||
Действия преподавателя | 1 | Выставление оценки контроля (эссе, контрольная работа, домашнее задание, реферат, коллоквиум) | Выставление оценки Оауд по 10-балльной шкале за аудиторную работу студента. ВАЖНО: в НИУ ВШЭ в рамках аудиторной работы не оценивается посещение лекций, семинарских занятий и практических занятий, а только работа студента. (Оценка выставляется только при решении преподавателя оценивать данный вид деятельности студента) | Выставление оценки Осам. работа по 10-балльной шкале за аудиторную работу студента. (Оценка выставляется только при решении преподавателя оценивать данный вид деятельности студента) | Выставление оценки за итоговый контроль (зачет/экзамен) в 10 балльной системе | 1 | Определение весов q1 и q2 (ВНИМАНИЕ, Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑qi = 1, при этом, 0,2 ≤ qi ≤ 0,8) |
2 | Определение весов ni (ВНИМАНИЕ, сумма ni =1) | ||||||
2 | Орезульт = q1·Оитог. контроль + q2·Онакопленная | ||||||
3 | Расчет оценки за текущий контроль Отекущий = n1·Оэссе + n2·Ок/р + n3·Ореф + n4·Окол + n5·Одз | ||||||
Определение весов k1 k2 k3 (ВНИМАНИЕ, сумма ki =1, в случае, если преподаватель не учитывает аудиторную и самостоятельную внеаудиторную работу студентов, то k2 и k3 равны 0 (нулю), а k1=1). | |||||||
Расчет накопленной оценки Онакопленная= k1* Отекущий + k2* Оауд + k3* Осам. работа | |||||||
Что получается в результате | Онакопленная* | Оитог. контроль | Орезультирующая* |
3) Формирование оценки по дисциплине, если она читается несколько этапов (модулей) поясним на примере дисциплины читаемой 3 этапа (таблица 2).
Таблица 2.Формирование оценки по дисциплине: если дисциплина читается несколько этапов (модулей)
Промежуточная оценка | Промежуточная оценка | Накопленная оценка 3 (за 3 тап) | Итоговая оценка | Результирующая оценка (Выставляется | |||||||
Элемент оценки | Накопленная | Оценка за экзамен/ зачет (по окончанию этапа 1) (ВАЖНО! | Накопленная | Оценка за экзамен/ зачет (по окончанию этапа 2) (ВАЖНО! | |||||||
Текущий контроль | Аудиторная работа | Самостоятельная внеаудиторная работа студентов | Текущий контроль | Аудиторная работа | Самостоятельная внеаудиторная работа студентов | Текущий контроль | Аудиторная | Самостоятельная внеаудиторная работа студентов | |||
Действия | действия преподавателя в рамках каждого этапа соответствуют действию преподавателя | действия преподавателя в рамках каждого этапа соответствуют действию преподавателя | действия | Выставление оценки за итоговый контроль (зачет/экзамен) в 10 балльной системе | Определение весов q1 и q2 (ВНИМАНИЕ, Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑qi = 1, при этом, 0,2 ≤ qi ≤ 0,8) | ||||||
Орезульт итог = q1·Оитог. контроль + q2·Онакопленная | |||||||||||
Результат | этап | Опромежуточная 1* | Опромежуточная 2* | Онакопленная 3* | Оитог. контроль | Орезультирующая Итог* | |||||
ИТОГ | Онакопленная Итоговая= (Опромежут 1+ Опромежут 2+ Онакопленная 3):кол-во модулей Среднее арифметическое от суммы оценок. | ||||||||||
* способ округления оценки должен быть указан в программе учебной дисциплины
