Элективный курс по алгебре для 9-го класса на тему «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» (стр. 2 )

·  при обсуждении задач использовать эвристику – искусство поиска решения, в котором можно пользоваться какими угодно соображениями, нестрогими рассуждениями, в частности, геометрической интерпретацией;

·  предельно ориентировать содержание изученного материала на практическое применение;

·  уделять большое внимание процессу целеполагания;

·  обеспечить условия, необходимые для овладения способами самостоятельного взаимодействия с различными источниками информации настоящего времени;

·  использовать разнообразные методы контроля, итоговой формой контроля является сдача папки с решенными задачами по курсу (не менее 2 задач за занятие);

·  считать критерием эффективности изучения программы повышение интереса к предмету и дальнейшее обучение в 10 классе математического профиля.

Для практической части необходимо подбирать задачи из действующих учебников алгебры 8-9 классов, отмеченные (*), а также задачи повышенной трудности [1], [3], [21]. Для развития мотивации к изучению курса следует подбирать (заимствовать) задачи из материалов вступительных экзаменов в средне специальные и высшие учебные заведения [6], [7], [17], либо с некоторыми изменениями в них, такими, чтобы задачи непосредственно примыкали к задачам вступительных экзаменов и по содержанию, и по уровню трудности. С другой стороны,

16

содержание вступительных экзаменов, уровень трудности предлагаемых задач достаточно неопределенны, и поэтому решение этих более сложных задач позволит построить процесс диагностики для создания 10 класса математического профиля и, кроме этого, создаст «запас прочности» на будущее.

На заключительном занятии элективного курса можно провести конференцию учащихся с подведением итогов решения задач и предоставлением каждым слушателем своей папки с решенными в ней задачами, заинтересовавшими их (за одно занятие в папку должно отбираться не менее двух задач). Составление папки с задачами способствует закреплению и систематизации знаний учащихся. В будущем она может пригодиться при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Литература

[1]-[9], [12], [13], [16]-[18], [19]-[22], [25], [28], [32], [33].

17

1.2. Разработка занятий элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

Занятие I. Квадратный трехчлен и его свойства. Понятие об уравнении с параметром

Цель: закрепление знаний по теме «Квадратный трехчлен и его свойства»; развитие умения решать нестандартные задачи.

Ход занятия:

1.  Организационный момент. Введение в элективный курс «Квадратные уравнения и неравенства с параметром», сообщение целей и задач данного курса, требований к учащимся, форм и методов работы, системы контроля уровня достижений учащихся и критериев оценки, ожидаемого результата по окончании изучения курса.

2.  Обзорная лекция по теме «Квадратный трехчлен и его свойства. Понятие об уравнении с параметром».

Прежде всего, вспомним факты, изученные в курсе алгебры, о квадратном трехчлене Ax +Bх +C (при А0) (1).

1. Количество корней квадратного трехчлена.

Для определения количества корней квадратного трехчлена достаточно знать знак дискриминанта D=B2-4AC: два корня, если D>0; один корень, если D=0; нет корней, если D<0.

2. Нахождение корней квадратного трехчлена при D0 по формуле

. Причем, при D=0 корни совпадают .

18

3.  Теорема Виета: Если дискриминант (при А0), то трехчлен

Ax +Bх+C имеет корни и , удовлетворяющие соотношениям: (*)

И наоборот, если числа и удовлетворяют соотношениям (*), то они являются корнями квадратного трехчлена Ax +Bх+C.

4. Квадратное уравнение – это уравнение, соответствующее квадратному трехчлену (1), Ax +Bх+C=0, где х – переменная, А, В, С - некоторые числа, А0.

5. Понятие об уравнении с параметром.

Пусть задано уравнение f(x,a)=0. Его называют уравнением с неизвестным х и параметром а, если, в частности, ставится задача найти х для каждого значения а.

Уравнение с параметром – это, по существу, краткая запись множества уравнений, получаемых при различных значениях а.

Пример. Рассматривается серия уравнений: , , . В общем виде эти уравнения можно записать: , где а – некоторое число, которое называется параметром.

4.  Решение задач

3.1. Рассмотрение примера решения задачи:

19

При каких значениях m ровно один из корней уравнения 3х2+х+2m-3=0 равен 0?

Учитель записывает решение на доске и поясняет каждый шаг.

3.2. Решение задач.

- задания 1, 2: каждое задание один из учеников решает на доске, остальные – в тетради. После решения задания 2 ученик с помощью учителя записывает на доске условия, определяющие количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения А(а).

- задание 3: учащимся дается время на самостоятельное выполнение задания. После того, как с заданием справилась треть класса, один из учеников, его выполнивших, записывает решение на доске.

Дополнительные задания:

- учащиеся, решающие «вперед», самостоятельно выполняют задания 4-7. В конце занятия производится устная проверка решения этих заданий: рассказывается идея и шаги решения.

Задания.

Основная часть:

1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

x2+(m+3)x+m-3=0

2. При каких значениях параметра р уравнение рх- х+3=0 имеет единственное решение?

20

При решении данного уравнения необходимо учесть, что может быть р=0. В этом случае уравнение также имеет единственное решение.

В общем случае условия существования единственного решения запишутся следующим образом:

или

Если то уравнение не имеет корней.

Если то уравнение имеет бесконечно много решений.

3.  При каких значениях параметра а уравнение ах-4х+а+3=0 имеет не более одного корня?

Дополнительные задания:

4. При каких значениях а корни уравнения 4х2+(5а-1)х+3а=-а равны по модулю, но противоположны по знаку?

5.  Найдите все значения параметра k, при которых уравнение

(k-2)x -2kx+2k-3=0 имеет хотя бы один корень?

6.  Доказать, что при любом значении а уравнение х2+(а-2)х+(а-3)=0 имеет два корня.

7.  При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

21

4. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание – 1 балл).

5. Постановка домашнего задания:

Задания, аналогичные задачам, решаемым на занятии:

№1. а) При каких значениях k оба корня уравнения х2+(16-k)х+k+8=0 равны 0?

б) При каких значениях а корни уравнения х2-2х+m-1=0

равны по модулю, но противоположны по знаку?

№2. При каких а уравнение

а) (а-4)х+(2а-4)х-(а-2)=0 имеет не менее одного решения;

б) (а+1)х+2(а+1)х-2=0 не имеет корней.

Задания на самостоятельный поиск решения:

№3. а) Найти корни квадратного уравнения ах2+bх+с=0, если а–b+с=0.

б) При каких значениях параметра а уравнения равносильны? (Вспомнить, какие уравнения называются равносильными)

Литература: [3], [8], [12], [13], [18].

22

Занятие II. Теорема Виета. Знаки корней квадратного трехчлена

Цель: формирование умения определять знаки корней квадратного трехчлена, применяя теорему Виета.

Ход занятия:

1.  Организационный момент. Сообщение темы и целей занятия.

2.  Проверка домашнего задания: решение №1, №2 записано учителем на доске, ученики проверяют; №3: один из учеников, выполнивший задание №3а), записывает до начала занятия решение на доске, второй - №3б); затем задания разбираются. Если задания никем не выполнены, то решение объясняет учитель.

3.  Обзорная лекция по теме «Теорема Виета. Знаки корней квадратного уравнения».

Теорема Виета: Если дискриминант (при А0), то трехчлен

Ax +Bх+C имеет корни и , удовлетворяющие соотношениям: (*)

И наоборот, если числа и удовлетворяют соотношениям (*), то они являются корнями квадратного трехчлена Ax +Bх+C.

Исходя из теоремы Виета, получаются условия, определяющие знак корней трехчлена (Таблица 3).

23

Таблица 3.

Знак корней	>0 >0	0 0	<0 <0	0 0	>0 <0	=0 >0	=0 <0
Условия

4.  Решение задач. Задание 1 решает один из учеников на доске. Затем ученики выполняют задания самостоятельно с последующей проверкой на доске.

Задания:

1. При каком значении параметра а уравнение х2+(3а-5)х-2=0 имеет корни разных знаков?

2. При каком значении параметра а корни трехчлена (а-4)х2+(а+2)х+2 положительны?

3. Найти все а, для которых уравнение (а-1)х2+(2а+3)х+2+а=0 имеет корни одного знака.

4. Найти все а, при которых неравенство справедливо для всех неотрицательных х.

5. Не решая уравнение определить знаки его корней:

ах+2(а+1)х+2а=0;

Дополнительные задания:

6. При каких значениях р неравенство 5х-4(р+3)х+4<р справедливо для всех отрицательных х?

24

7. Определить знак корней уравнения:

а) 3ах+(4-6а)+3(а-1)=0; б) (а-3)х2-2(3а-4)х+7а-6=0.

8. Решить уравнение, используя теорему Виета: х2-(2а+1)х+а+а2=0.

5. Подведение итогов.

- Какова была тема занятия? Что нового узнали на занятии?

- Достигли ли цели, поставленной в начале занятия?

Учитель ставит баллы (от 1 до 8) ученикам, наиболее активно работавшим на занятии.

6. Постановка домашнего задания.

1. При каком значении параметра а оба корня уравнения

(а-2)х2-2ах+а+3=0 положительны?

2. Определить знак корней уравнения: (а-2)х2-2ах+2а-3=0.

3. Найти все а, при которых неравенство справедливо для всех отрицательных х.

4. Задания по теме следующего занятия «Соотношения на корни квадратного трехчлена»:

А) При каком значении параметра а уравнение х2+(а2+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0?

Б) При каком значении параметра а один из корней уравнения

х2-(3а+2)х+а2=0 в девять раз больше другого?

Литература: [4], [8], [9], [13], [18], [27].

Занятие III. Соотношения на корни квадратного трехчлена

Цель: отработка навыка применения теоремы Виета при решении задач; формирование умения записывать на математическом языке условие задачи, умения анализировать, обобщать, находить рациональный способ решения задачи.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

25

2. Разбор домашнего задания.

В №1-3 устно проверяется идея решения и называются ответы. Те, кто не справился с решением какой-то задачи, должны обратиться за помощью к тем, у кого решение выполнено верно, и исправить свои ошибки.

Учащимся предлагается показать найденное решение №4. Задача подробно разбирается, анализируется.

3. Решение задач.

3.1. При разборе №4 из домашнего задания делается вывод, как выполнять задания на соотношения между корнями квадратного уравнения, а именно: чтобы найти все значения параметра а, при которых корни уравнения Ax +Bх+C=0 удовлетворяют некоторому соотношению G(,,a)=0 (соответственно, G(,,a) 0 или G(,,a) 0), достаточно найти все значения а, удовлетворяющие условиям:

(для G(,,a)0 или G(,,a)0 получаем соответствующие неравенства вместо третьего уравнения системы).

3.2. Совместное выполнение задания:

При каких значениях сумма квадратов корней уравнения равна 4?

26

При выполнении задания необходимо выразить через коэффициенты уравнения сумму квадратов корней уравнения; найти а; проверить существование корней, подставив полученные а в данное уравнение.

3.3. Выполнение заданий в парах.

Каждое предложенное задание сначала обсуждается в парах. Затем происходит всеобщее обсуждение решения. Найденное решение одним из учеников записывается на доске.

1. Найти все значения , при которых корни уравнения удовлетворяют условию .

2. При каких значениях сумма квадратов корней уравнения является наименьшей? Чему равна эта сумма?

В следующих задачах используется такое соотношение между корнями, которое непосредственно не выражается через коэффициенты. В этом случае составляем систему, где два уравнения — формулы Виета, а третье — заданное соотношение. При решении такой системы корни уравнения обычно находятся, поэтому специально проверять их существование не надо.

3. При каких а разность корней уравнения равна 14?

4. При каких значениях параметра k произведение корней уравнения х2+3х+(k2-7k+12)=0 равно 0?

5. При каких а разность корней уравнения 2х2 - (а + 1)х + (а - 1) =0 равна их произведению?

Дополнительные задания:

6. В уравнении х2-2х+а=0 квадрат разности корней равен 16. Найти а.

27

7. Известно, что корни уравнения х2-5х+4=0 на 1 меньше корней уравнения х2-7х+3а-6=0. Найти а и корни каждого из уравнений.

8. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа х1-2 и х2-2.

4. Подведение итогов занятия.

- Что нужно сделать, чтобы решить задачу на соотношение на корни квадратного уравнения?

Учащиеся в паре оценивают работу друг друга по пятибалльной шкале. Также учитель ставит по одному баллу наиболее активным учащимся.

5. Постановка домашнего задания

Задания, обязательные для выполнения:

1.  В уравнении х2-4х+а=0 сумма квадратов корней равна 16.

Найти а.

2.  При каком значении а сумма квадратов корней уравнения

х2+(2-р)х-р-3=0 равна квадрату разности корней этого уравнения?

3.  Определить а таким образом, чтобы корни уравнения

2х2+(2а-1)х+а-1=0 удовлетворяли соотношению 3х-4х=11.

Дополнительные задания:

4.  Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2х1+3 и 2х2+3.

5.  Не вычисляя корней уравнения 3х2+8х-1=0 найти х1х23+х2х13.

6.  При каких значениях р и q корни уравнения х2+рх+q=0 равны 2р и ?

Литература: [5], [16], [25], [29], [33].

Занятие IV-V. Квадратный трехчлен: теорема Виета; знаки корней квадратного трехчлена; соотношения на корни квадратного уравнения

28

Цель: закрепление умения использовать теорему Виета для определения знаков корней квадратного трехчлена и решения задач на соотношения между корнями квадратного уравнения; применение имеющихся знаний при решении задач; формирование умения работать в группе.

Ход занятия:

1.  Организационный момент.

2.  Проверка домашнего задания: 3 ученика до начала занятия записывают решение задач №1-3 на доске. На занятии учащиеся проверяют решение, исправляют ошибки. Задачи №4-6 учитель проверяет индивидуально у каждого учащегося.

3.  Решение задач. Класс делится на группы по 4-5 человек. Каждая группа получает по 2 блока заданий (у всех задания одинаковые), которые необходимо решить за определенное время (20 мин).

За каждое верно решенное задание первого блока будет ставиться 2 балла, второго блока – 3 балла.

За 17 минут до окончания занятия группы прекращают свою работу, начинается проверка и обсуждение решений, найденных группами. По результатам проверки подводятся итоги, и выявляется группа-победитель.

Задания:

Блок 1.

1.  При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х+(4-2а)х+3=0 имеет единственное решение?

2.  При каких значениях а уравнение

(а-6а+8)+ (а-4)х+(10-3а- а)=0 имеет более 2-х корней?

29

3.  При каком значении параметра а уравнение х2-2(а-1)х+а+5=0 имеет положительные корни?

4.  При каком значении параметра а уравнение х2+(3а-5)х-2=0 имеет корни разных знаков?

5.  При каком значении параметра а оба корня уравнения

х2-(3а-2)х-6а=0 неотрицательны?

6.  При каких значениях параметра k сумма корней уравнения

х2-2k(х-1)-1=0 равна сумме квадратов корней?

7.  Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/x1 и 1/x2 .

8.  Не вычисляя корней уравнения 3х2+8х-1=0, найти х1/х2+х2/х1 .

Блок 2.

1.  При каком значении параметра а уравнения х2+(а+3а+2)х=0 и х2-2(а+2)х+5а+6=0 равносильны?

2.  При каком значении параметра а корни трехчлена

3х2+(а-4а)х+а-1 равны по модулю и противоположны по знаку?

3.  Найти все значения а, при которых имеет корни уравнение

(2а+1)х-3(а+1)х+(а+1)=0.

4.  При каком значении а уравнения х2+ах+1=0 и х2+х+а=0 имеют общий корень?

5.  При каких значениях параметра р сумма квадратов корней уравнения х2+(р-1)х+р-1,5=0 наибольшая?

6.  Найти наименьшее значение выражения х12 + х22, если х1 и х2 – корни уравнения х2 - 2ах + а + 6 = 0.

7.  Корни х1 и х2 уравнения х2+рх+12=0 обладают свойством х2-х1=1. Найти р.

8.  При каком значении а уравнение (а+4х-х-1)(а+1-)=0 имеет 3 корня?

30

4.  Подведение итогов занятия:

- Подсчет количества верно решенных заданий у каждой команды, начисление командам баллов.

- Определение уровня достижения целей урока и меру участия каждого учащегося в занятии, оценка работы школьников. В каждой группе заполняется таблица (Таблица 4), происходит распределение общего количества баллов между членами каждой команды.

5. Постановка домашнего задания:

Каждый ученик должен выполнить любые пять заданий из блоков 1 и 2, которые не решал на занятии.

Литература: [3], [4], [5], [8], [9], [12], [13], [16], [18], [25], [29], [32], [33].

Занятие VI-VII. Расположение параболы относительно оси абсцисс

Цели: рассмотрение возможных случаев расположения параболы относительно оси абсцисс; использование графических представлений при решении задач; применение имеющихся знаний по решению квадратного уравнения.

Ход занятия:

1.  Организационный момент.

2.  Актуализация имеющихся знаний и мотивация изучения нового материала.

График квадратичной функции – парабола, вершина которой находится в точке с координатами (-B/(2A); -D/(4A)).

31

Ученикам дается задание самостоятельно изобразить все возможные случаи расположения параболы относительно оси Ох. Затем один из учеников изображает эти варианты на доске.

Возникают вопросы: Как задать нужное расположение параболы? Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты параболы, чтобы она была определенным образом расположена относительно оси Ох?

3.  Изучение нового материала.

Происходит беседа по изображенным рисункам, в результате которой составляется таблица (Таблица 5).

Таблица 5

1.		2.		3.
4.		5.		6.

4.  Закрепление полученных знаний.

Совместное решение задач: решение задачи 1 учитель объясняет и записывает на доске, далее – ученики с подсказками учителя.

32

1. При каких значениях параметра неравенство выполняется для любых

2. При каких неравенство выполняется для всех ?

2. При каких значениях неравенство выполняется для единственного значения