Элементы линейной алгебры (стр. 2 )

Вычислим значения выражений необходимые для формул (3.4)

(вычислено выше),

,

,

.

Найдем значения переменных, подставив полученные значения в формулы (3.4)

, , .

Ответ: .

Задача 3.4. Исследовать систему линейных уравнений на совместность, в случае совместности системы найти ее общее решение. Выполнить проверку.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) 2) 3) 4) 5) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

6) 7) 8) 9) 10) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)

Пример 3.4

Исследовать систему линейных уравнений на совместность, в случае совместности системы найти ее общее решение. Выполнить проверку.

Решение

Для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде применимы методы Гаусса и Жордана-Гаусса. Составим расширенную матрицу системы

.

В соответствии с методом Жордана-Гаусса будем выполнять следующие операции: в ненулевой строке основной матрицы системы выберем элемент – разрешающий элемент; в столбце, соответствующем выбранному элементу с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы получим нули. Далее будем повторять аналогичные действия (выбирать элементы необходимо в разных строках матрицы) до тех пор, пока разрешающие элементы не будут выбраны во всех строках:

.

, значит, система совместна. Кроме того, ранг матриц меньше количества переменных, поэтому система имеет бесконечно много решений.

Столбцы, в которых в процессе решения были выбраны разрешающие элементы, образуют единичную матрицу, а соответствующие им переменные являются базисными.

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений, которую записываем на основе последней матрицы

, , – базисные переменные, , – свободные переменные.

Выразим из каждого уравнения базисные переменные через свободные

Свободные переменные принимают произвольные значения, а значения базисных переменных вычисляются в соответствии с полученными выражениями.

Пусть , , тогда получим общее решение системы

.

Для проверки подставим найденное решение в исходную систему

Упростив каждое уравнение в системе, получим

Все равенства верные, значит, решение системы найдено верно.

Ответ: .

Задача 3.5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17); 18) ; 19) ; 20) ;

21) ; 22) ; 23); 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) .

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

2) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ;

3) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) .

Пример 3.5

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение

Составим характеристическое уравнение

,

где A – заданная матрица, Е – единичная матрица, – независимая переменная.

.

Решая полученное уравнение, найдем его корни , , – собственные значения исходной матрицы

,

,

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть – искомый собственный вектор.

Составим систему однородных уравнений

или

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как определитель ее матрицы коэффициентов равен нулю.

Пусть , тогда система примет вид

Найдем общее решение системы методом Жордана – Гаусса

,

откуда

, – базисные переменные, – свободная переменная, следовательно, общее решение системы имеет вид

, где – любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение системы. Положим , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , будет равен

.

При и аналогично приведенному выше решению состав­ляем и находим решение соответствующей системы однородных уравнений.

Пусть , тогда система примет вид

Общее решение системы данной системы найдем методом Жордана – Гаусса,

откуда получим,

, – базисные переменные, – свободная переменная, таким образом, общее решение системы имеет вид

, где – любое число.

Положим , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , будет равен

.

Пусть , тогда система примет вид

Найдем общее решение системы методом Жордана – Гаусса

,

откуда

, – базисные переменные, – свободная переменная, следовательно, общее решение системы имеет вид

, где – любое число.

Положим , тогда собственный вектор, соответствующий собственному значению , будет равен

.

Ответ: , , ;

, , .

Задача 3.6. Предприятие выпускает три вида изделий с использованием четырех типов сырья. Нормы затрат сырья на каждое изделие определены матрицей затрат А, себестоимость единицы сырья отражена в матрице С. Найти общие затраты на сырье при плане выпуска продукции, указанном в матрице В.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 1 по 15:

1) ; ; ;

2) ; ; ;

3) ; ; ;

4) ; ; ;

5) ; ; ;

6) ; ; ;

7) ; ; ;

8) ; ; ;

9) ; ; ;

10) ; ; ;

11) ; ; ;

12) ; ; ;

13) ; ; ;

14) ; ; ;

15) ; ; .

Предприятие выпускает три вида изделий с использованием четырех типов сырья. Нормы затрат сырья на каждое изделие определены матрицей затрат А, стоимость доставки единицы сырья каждого типа отражена в матрице D. Найти общие затраты на транспортировку сырья при плане выпуска продукции, указанном в матрице В.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 16 по 30:

16) ; ; ;

17) ; ; ;

18) ; ; ;

19) ; ; ;

20) ; ; ;

21) ; ; ;

22) ; ; ;

23) ; ; ;

24) ; ; ;

25) ; ; ;

26) ; ; ;

27) ; ; ;

28) ; ; ;

29) ; ; ;

30) ; ; .

Пример 3.6

Предприятие выпускает три вида изделий с использованием четырех типов сырья. Нормы затрат сырья на каждое изделие определены матрицей затрат , себестоимость единицы сырья отражена в матрице . Найти общие затраты на сырье при плане выпуска продукции, указанном в матрице .

Решение

Найдем затраты каждого вида сырья на выпуск всей запланированной продукции

.

Вычислим общие затраты на все сырье

.

Ответ: общие затраты на сырье составят 1501 ден. ед.

Задача 3.7. В статистической линейной модели Леонтьева многоотраслевой экономики задана матрица - матрица коэффициентов прямых затрат. Установить, является ли модель Леонтьева продуктивной.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) .

Пример 3.7