ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 8 КЛАССЕ
ПО ТЕМЕ «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УСТНЫЕ СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ».
Учитель математики МОУ «СОШ п. Новосельский Ершовского района Саратовской области»
Тема урока «Квадратные уравнения и устные способы их решения»
Цели урока:
•Обобщение и систематизация знаний по теме «Решение квадратных уравнений разными способами».
• Научить учащихся некоторым приёмам устного решения квадратных уравнений.
•Развитие внимания и логического мышления.
Задачи урока
* отработка способов решения квадратных уравнений;
* выработка умения выбирать наиболее рациональный способ решения;
* развитие памяти, внимания, умения сравнивать и обобщать;
* проверка уровня усвоения темы путем дифференцированного опроса учащихся;
* воспитание навыков контроля и самоконтроля;
* подготовка содержательной базы для успешной сдачи ЕГЭ.
Ход урока
1. Орг. момент. Тема, цели.
2. Проверка д/з ( фронтально проверить типы уравнений и способы их решения)
Как вы думаете, какое из уравнений каждой группы является лишним и почему? | ||
• x² – 16x = 0, • 2x² – х - 5 = 0, • 16 – x² = 0, • 4x² = 0. (полное) | • x² – 5x + 1 = 0, • x² + 3x – 5 = 0, • 2x² – 7x – 4 = 0, • x² + 2x - 1 = 0. (неприведённое) | (особое отличие - новый вопрос урока) • 5x² – 2x – 3 = 0, • x² + 2x – 35 = 0, • 2x² + 9x – 11 = 0, • x² – 6x + 15 = 0. (дискриминант ˂0) |
(устно найдите их корни, вспоминая приёмы решения)
Какими могут быть решения квадратных уравнений в зависимости от значения дискриминанта?
«ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ.
D = в2 - 4 а с или D1 =к2 – ас, если b=2к
1) D ˃0 уравнение имеет два корня х1,2=
;
2) D = 0 уравнение имеет один корень х = -в/2а
3) D ˂ 0 корней нет.
Самостоятельная работа. | ||
Вариант 1. 1. 3х² – 27 = 0; (-3; 3) 2. 2х² = 4 – 7х. ( - 4; 0,5 ) | Вариант 2. 3.4х² – 20х = 0; (0; 5) 4.х² – 1 = 8х(х + 1). (-1;-1/7) | Вариант 3. 5. х² –х – 30 = 0; (-5;6) 6.5х(х - 3) = 3х – 16. (2; 1,6) |
3. Новые способы решения уравнений
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств.
Мы изучили формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.
Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.
(Повторим один из основных способов, позволяющий решать квадратные уравнения рациональней)
Теорема Виета.
Если х1 и х2 корни приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0,
то x1 + x2 = - p, а x1 x2 = q.
Если взять уравнение общего вида ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0 и разделить его почленно на а, то получим уравнение х2 + 
х + 
= 0 и тогда по теореме Виета
x1 + x2 = -, а x1 x2 =.
В каких случаях эффективнее применять теорему Виета?
• Проверка правильности найденных корней.
• Определение знаков корней квадратного уравнения.
• Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения.
Решите следующие задания:
1. Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения
x² – 22x + 105 = 0 ?
2. Определите знаки корней уравнения x² + 5x – 36 = 0, x² + 5x + 36 = 0,
3. Найдите устно корни уравнения x² – 9x + 20 = 0.
4.Рассмотрим другие приёмы устного решения квадратных уравнений
a x2 + b x + c = 0.
1.Если a + b + c = 0, то один корень уравнения x1 = 1, а второй x2 = c/a.
(Докажем это, используя определение корня уравнения.)
2.Если a - b + c = 0, то один корень уравнения x1 = - 1, а второй x2 = - c/a (доказательство аналогичное)
Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:
2x² + 3x + 1 = 0; 5x² – 4x – 9 = 0; 7x² + 2x – 5 = 0;
х² + 17x – 18 = 0; 100x² – 97x – 197 = 0
Особенно удобно пользоваться этим способом при решении квадратных уравнений с большими коэффициентами
1. 319х2 + 1988х + 1669 = 0;х2 + 326х + 13 = 0;х2 – 137х – 208 = 0;х2 + 978х + 39 = 0; 5. 83х2 – 448х – 391 = 0; придумайте про наступающий год аналогичное уравнение (например, 2009х2 + 2010х +1 = 0).
5. А если а ± b + с ≠ 0?
На этот случай тоже есть несколько способов устного решения квадратных уравнений, так называемый приём «переброски» коэффициентов
2х2 – 11х + 5 = 0; «перебрасываем 2 к 5 как множитель» х2 – 11х + 10 = 0 корни уравнения 10 и 1 и теперь их обратно делим на 2, получаем 5 и ½. (Проверьте, правильно ли решено уравнение?)
(сами решите следующее уравнение таким же способом)
6х2 – 7х – 3 = 0 х2 – 7х - 18 = 0 корни уравнения 9 и - 2 и теперь их обратно делим на 6, получаем 1,5 и -1/3.
6. Подведение итогов: а) № 000 (на доске)
б) Составьте уравнение к решению задачи. Периметр прямоугольника равен 94 см. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 480см2.
в) решите уравнения устно одним из изученных способов
х² – 12x + 27 = 0, х² – 14x + 40 = 0, 3х² – 18x + 15 = 0, 4х² – 24x + 32 = 0, 2х² – 6x – 56 = 0,
7. Другие способы решения квадратных уравнений устно
(обозначить их на доске и предложить самим детям определиться с необходимостью применять указанные способы устного приёма решения квадратных уравнений)
А) ах2 + (а2+1)х + а = 0; х1= - а, х2=-1/а 6х2+37х + 6=0; х1 = - 6, х2 = - 1/6;
Б) ах2 – (а2+1)х + а = 0; х1= а, х2= 1/а 15х2 – 226х + 15=0; х1 = 15, х2 = 1/15;
В) ах2 + (а2-1)х – а=0; х1= - а, х2= 1/а 17х2 + 288х – 17=0; х1 = - 17, х2 = 1/17;
Г) ах2 - (а2-1)х - а=0; х1= а, х2= -1/а 10х2 - 99х – 10 = 0; х1 = 10, х2 = - 1/10.
(Попытайтесь найти обоснование приёмов решения этих уравнений дома.)
Наберитесь храбрости и приобретите новые знания, приумножая их вы станете мудрее, что позволит вам более умело применять ваши знания на практике.
8. Д/з п.21-23 повторить, решить № 000 и задания индивидуальные.
1. 2х² – 16x = 0, 2. 5х² – 125 = 0, 3. х²– 4x – 32 = 0,
4. х²+ 12x + 32 = 0, 5. х²+ 11x – 26 = 0, 6. 5х² – 40x = 0, 7. х²– 11x + 24 = 0, 8. 4х² – 12x – 40 = 0, 9. 2х² + 13x – 24 = 0.
Учебник–Алгебра 8 – авторы: , , под редакцией – 17-е изд., - М.:Просвещение, 2009. – 271с.
