Рабочая программа дисциплины эконометрика (стр. 6 )

В практике эконометрических исследований наибольшее распространение получили двухфакторные линейные модели, примером которой служит следующая аналитическая зависимость:

y = a0 + a1x – уравнение регрессии.

Коэффициенты a0 и a1, уравнения регрессии рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК) с использованием следующих аналитических зависимостей:

(Syi) × (Sxi) – n × Syixi

a1 =

(Sxi)² - n × Sxi²

(Syixi) × (Sxi) - (Syi) × (Sxi²)

a0 =

(Sxi)² - n × Sxi²

Производим необходимые расчетные процедуры по нахождению следующих уравнений регрессии:

1. W2 = f (W1); W2 = f (W3); W 2 = f (W4);

2. W3 = f (W2);

3. W4 = f (W3);

1.1.  Расчёт W2 = f (W1):

Sxi = 182,7

(Sxi)² = 33379,29

Sxi² = 3460,73

Syi = 76,1

Syixi = 930,14

n × Sxi² = 55371,68

n × Syixi = 14882,24

a0 = 4,248

a1 = 0,0445

W2 = 4,248 + 0,0445 × W1

1.2.  Расчёт W2 = f (W3):

Sxi = 17,62

(Sxi)² = 310,4644

Sxi² = 21,9464

Syi = 76,1

Syixi = 87,049

n × Sxi² = 351,1424

n × Syixi = 1392,784

a0 = 3,35

a1 = 1,276

W2 = 3,35 + 1,276 × W3

1.3.  Расчёт W2 = f (W4):

Sxi = 389

(Sxi)² = 151321

Sxi² = 10289.5

Syi = 76,1

Syixi = 1810,8

n × Sxi² = 164776

n × Syixi = 28972,5

a0 = 5,96

a1 = -0,047

W2 = 5,96 – 0,047 × W4

2.  Расчёт W3 = f (W2):

Sxi = 76,1

(Sxi)² = 5791,21

Sxi² = 446,19

Syi = 17,62

Syixi = 87,049

n × Sxi² = 7139,04

n × Syixi = 1392,784

a0 = 0,918

a1 = 0,0385

W3 = 0,918 + 0,0385 × W2

3.  Расчёт W4 = f (W3):

Sxi = 17,62

(Sxi)² = 310,4644

Sxi² = 21,9464

Syi = 389

Syixi = 430,27

n × Sxi² = 351,1424

n × Syixi = 6884,32

a0 = 23,5

a1 = 0,74

W4 = 23,5 + 0,74 × W3

II.  Основы корреляционного анализа.

Требуется установить корреляционную зависимость между сроком окупаемости проекта и остальными показателями массива.

Рассмотрим 2 фактора: X ; Y

Коэффициент корреляции двух факторов рассчитывается по формуле:

,

где

- корреляционный момент;

и - оценки среднего значения факторов X и Y;

n - это количество инвестиционных проектов;

- среднее квадратическое отклонение фактора Х;

- среднее квадратическое отклонение фактора Y.

2.1 Рассчитываем для факторов W2 и W1.

× (0,24 × 26,08) + (-0,56 × (-2,22)) + (1,24 ×

× (-2,22))+(4,44 × (-4,22))+(1,24 × (-9,02))+(4,84 × 0,28)+(-2,06 ×

× (-3,12))+(0,04 × (-8,42))+(-2,26 × (-4,52))+(-1,46 × (-0,62)) +

+(3,04 × 18,58)+ (-1,16 × (-0,02)) + (-2,36 × 4,18) + (-2,36 ×

 

×0,58) + (-1,16 × (-6,42)) + (-1,76 × (-8,92)) = 4,12.

× (0,0576 + 0,3136 + 1,5376 +19,7136 +1,5376+

+ 23,4256 +4,2436 +0,0016 + 5,1076 + 2,1316 + 9,2416 +

+1,3456 + + 5,5696 + 5,5696 + 1,3456 + 3,0976) = =.

(680,1664 + 4,9284 + 4,9284 + 17,8084 + +81,3604 + 0,0784 + 9,7344 + 70,8964 + 20,43 + 0,3844 +

+345,2164+ 0,0004 + 17,4724 + 0,3364 + 41,2164 +79,5664) =

= .

1. .

Как видно из представленного расчёта, зависимость между сроком окупаемости и объёмом инвестиций не существенна.

2.2 Рассчитываем для факторов W2 и W3.

× (0,24 × 0) + (-0,56 × (-0,1)) + (1,24 × 0,1) + (4,44× ×0,11) + (1,24 × (-0,85)) + (4,84 × 0,14) + (-2,06 × 0) + (0,04 ×

×0,29) + (-2,26 × (-0,46)) + (-1,46 × 0,69) + (3,04 × 0,7) + (-1,16 ×

×2,5) + (2,36 × 0,14) + (-2,36 × 0) + (-1,16 × 0,2) + (-1,76 ×

 

× (-0,42)) = -0,017.

×(0 + 0,01 + 0,01 + 0,0121 + 0,7225 + 0,0196 +

+ 0,2116 + 0,4761 + 0,49 + 0,2704 + 0,0196 + 0,04 + 0,1764) =

== 0,41.

2.

Как показывают расчёты, зависимость между сроком окупаемости и чистым дисконтированным доходом также не существенна.

2.3 Рассчитываем для факторов W2 и W4.

× (0,24 × 5,69) + (-0,56 × 8,69) + (1,24 × 11,69) + +(4,44 × (-0,31)) + (1,24 × (-6,31)) + (4,84 × (-7,31)) + (-2,06 ×

×5,69) + (0,04 × (-4,31) + (-2,26 ×(-3,31)) + (-1,46 × (-3,31) +

+(3,04 × 8,69) + (-1,16 × 8,69) + (-2,36 × (-0,31)) + (-2,36 ×

× (-11,81)) + (-1,16 × (-11,81) + (-1,76 × (-0,31)) = = =3,97

32,3761 + 75,5161 + 136,6561 + 0,0961 + 39,8161 + 53,4361 + 32,3761 + 18,5761 + 10,9561 + 10,9561+

 

+75,5161 + 0,0961 + 139,4761 + 139,4761 + 0,0961 = == 7,49

3.

Как показывают расчёты, зависимость между сроком окупаемости и внутренней нормой доходности является существенной.

2.4. Рассчитываем для факторов W2 и W .

= × (0,24 × 0,03) + (-0,56 × 0,11) + (1,24 × 0,13) +

+(4,44 × (-0,23)) + (1,24 × (-0,07)) + (4,84 × (-0,31)) + (-2,06 ×

×0,03) + (0,04 × (-0,37) + (-2,26 × 0,43) + (-1,46 × 0,47) + (3,04 ×

×0,11) + (-1,16 × (-0,27)) + (-2,36 × (-0,23)) + (-2,36 × 0,03) +

+(-1,16 × (-0,07) + (-1,76× 0,23) = = -0,23

× 0,0009 + 0,0121 + 0,0169 + 0,0529 + +0,0049 + 0,0961 + 0,0009 + 0,1369 + 0,1849 + 0,2209 +

+0,0121 + 0,0729 + 0,0529 + 0,0009 + 0,0049 + 0,0529 = == 0,25

4.

Зависимость существенная.

Произведённые расчёты позволяют сделать следующий вывод:

из 4-х факторов, для которых оценивалась корреляционная зависимость, в дальнейших исследованиях останется 3 фактора -

- W2, W1, W4 , т. е. срок окупаемости зависит от объёма инвестиций и внутренней нормы доходности (W1 и W4.)

III. Оценка параметров множественной регрессии.

В общем виде уравнение множественной регрессии можно записать следующим образом:

= b1x1 + b2x2+ b3x3 ,

где – оценка срока окупаемости;

= 1 – исходный параметр, принимаемый для упрощения дальнейших расчётов равным единице;

– объём инвестиций (W1);

– внутренняя норма доходности (W4);

b1, b2, b3 – постоянные коэффициенты (параметры модели).

Определим коэффициенты b1, b2, b3 с помощью метода наименьших квадратов, согласно которому параметры модели рассчитывают по следующим аналитическим зависимостям:

,

где - параметры модели, причём i – номер переменной, а j – номер значения проекта;

- исходная проекта матрица размерностью (16х3);

-матрица размерностью (3х16),транспонированная к матрице x;

– обратная матрица размерностью (3х3);

W – вектор-столбец неизвестных параметров.

Ввиду существенной неоднородности значений, необходимо от натуральных значений параметров сделать переход к кодированным, причём кодированная переменная изменяется в пределах:

3.1 Кодирование переменных

Рассчитаем координаты центра факторного пространства по переменным

.

Зависимость для переменных вычисляется по формуле:

.

Производим кодирование переменных для объёма инвестиций (x2):

X2max = 37,5 Х20 = 0,5 × (37,5 + 2,4) = 19,95

X2min = 2,4 ∆Х2 = 0,5 × (37,5 – 2,4) = 17,55

37,5 –19,95 9,2 –19,95

X1= 17,55 = 1 X2= 17,55 = -0,61

9,2 –19,95 7,2 –19,95

X3= 17,55 = -0,61 X4= 17,55 = -0,73

2,4 –19,95 11,7 –19,95

X5= 17,55 = -1 X6= 17,55 = -0,47

8,3 –19,95 3 –19,95

X7= 17,55 = -0,66 X8= 17,55 = -0,97

6,9 –19,95 10,8 –19,95

X9= 17,55 = -0,74 X10= 17,55 = -0,52

30 –19,95 11,4 –19,95

X11= 17,55 = 0,57 X12= 17,55 = -0,49

15,6 –19,95 12 –19,95

X13= 17,55 = -0,25 X14= 17,55 = -0,45

5 –19,95 2,5 –19,95

X15= 17,55 = -0,02 X16= 17,55 = -0,99

Кодирование переменных для внутренней нормы доходности (x3):

X3max = 36 Х30 = 0,5 × (36 + 12,5) = 24,25

X3min = 12,5 ∆Х3 = 0,5 × (36 – 12,5) = 11,75

30 –24,25 33 –24,25

X1= 11,75 = 0,49 X2= 11,75 = 0,74

36 –24,25 24 –24,25

X3= 11,75 = 1 X4= 11,75 = -0,02

18 –24,25 17 –24,25

X5= 11,75 = -0,53 X6= 11,75 = -0,62

30 –24,25 20 –24,25

X7= 11,75 = 0,49 X8= 11,75 = -0,36

21 –24,25 21 –24,25

X9= 11,75 = -0,28 X10= 11,75 = -0,28

33 –24,25 33 –24,25

X11= 11,75 = 0,74 X12= 11,75 = 0,74

24 –24,25 12,5 –24,25

X13= 11,75 = -0,02 X14= 11,75 = -1

12,5 –24,25 24 –24,25

X15= 11,75 = -1 X16= 11,75 = -0,02

Произведённые расчёты необходимо свести в таблицу значений кодированных переменных (табл. 3)

Таблица 3

№ проекта	Срок окупаемости (W)	Объём инвестиций (x2)	Внутренняя норма доходности (x3)
1	2	3	4
1	5	1	0,49
2	4,2	-0,61	0,74
3	6	-0,61	1
4	9,2	-0,73	-0,02
5	6	-1	-0,53
6	9,6	-0,47	-0,62
7	2,7	-0,66	0,49
8	4,8	-0,97	-0,36
9	2,5	-0,74	-0,28
10	3,3	-0,52	-0,28
11	7,8	0,57	0,74
12	3,6	-0,49	0,74
13	2,4	-0,25	-0,02
14	2,4	-0,45	-1
15	3,6	-0,85	-1
16	3	-1	-0,02

Исходную матрицу x и вектор-столбец W необходимо записать, используя данные табл.1.

1 4,2 33 4,2

1 9,2 24 9,2

1 9,6 17 9,6

1 2,7 30 2,7

X = 1 4,8 20 W = 4,8

1 2,5 21 2,5

1 3,3 21 3,3

1 7,8 33 7,8

1 3,6 33 3,6

1 2,4 24 2,4

1 2,4 24 2,4

1 3,6 12,5 3,6

Тогда матрица, транспонированная к исходной матрице x, будет выглядеть следующим образом:

Произведение матриц запишется в следующем виде:

Произведение матрицы xT на вектор-столбец W рассчитывается так:

Итак, мы рассчитали матрицу и вектор-столбец (), однако, в зависимости

нет матрицы , а фигурирует её обратная матрица,

т. е.

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Определяем, квадратная ли исходная матрица; если она квадратная, то переходим к П.2, если нет, то обратной матрицы не существует.

2. Вычисляем определитель исходной матрицы:

если определитель = 0, то обратной матрицы не существует.

Если он ≠ 0, то переходим к П.3.

3. Вместо каждого элемента исходной матрицы подставляем его алгебраическое дополнение.

4. Полученную матрицу транспонируем

5. Элементы полученной матрицы делятся не определитель ∆ (п.2). Получаем обратную матрицу.

Матрица

квадратная, следовательно обратная матрица существует.

2.  Вычислим её определитель:

3. Каждый элемент исходной матрицы заменяем его алгебраическим дополнением.

8,23 2,03

Х11 = (+1) × 2,03 6,08 = -45,92

 

-7,77 2,03

Х12 = (-1) × 0,07 6,08 = -47,38

-7,77 8,23