Вариант (стр. 2 )

7.  Три стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка 0,9, для второго 0,8, для третьего – 0,7. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  В итоговой контрольной по теории вероятностей студенты (каждый) делают в среднем по две ошибки. Какова вероятность, что конкретная работа не содержит ошибок? Сколько в среднем надо проверить работ, чтобы обнаружить безошибочную?

10.  Система, состоящая из двух блоков, выходит из строя, если выходит из строя хотя бы один из блоков. Найти средний срок службы системы, если сроки службы блоков имеют показательное распределение со средними значениями 3 и 5 лет соответственно.

11.  Случайная величина распределена нормально с дисперсией 2,25 и средним 2. Найти вероятность того, что она примет значение в интервале (1, 3).

12.  Сколько (минимум) раз надо подбросить игральную кость, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ожидать, что частота выпадения шестерки будет отличаться от вероятности появления шестерки на величину не большую 0,1. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.

Вариант 8

1.  В урне имеется 5 черных и 7 красных шаров. Последовательно (без возвращения) извлекается три шара. Найти вероятность того, что все три шара будут красными.

2.  Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 100 минут. Одно из событий длится 8 мин., другое - 12 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Sа и Sc состоят из двух независимых дублирующих блоков аk и ck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.8, P(b) = 0.95, P(с) = 0.85.

4.  Дана система из двух блоков а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступления первого режима 0.1, второго 0.3 . Надежность работы первого блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.95; 085 . Надежность работы второго блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.95; 0.8 . Найти надежность системы.

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 10 нестандартных, выбраны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 2 нестандартных изделия, используя классическое определение вероятности и формулу Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,002. Поступило 400 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 3 «сбоев».

7.  Бросают три монеты. Случайная величина X - число выпавших решек. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания величины на участок от 0 до 1/2.

9.  Число изюминок в каждом кексе имеет распределение Пуассона со средним равным 6. Сколько в среднем надо съесть кексов, чтобы обнаружить кекс, в котором будет менее 2 изюминок?

10.  Срок службы электролампы - случайная величина, распределенная по показательному закону со средним значением 0,6 года. Сколько в среднем перегорит из 20 электроламп за 2 года? (Перегоревшая лампа новой не заменяется).

11.  Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием m=10. Вероятность попадания Х в интервал (10; 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (20; 30)?

12.  Игральная кость бросается 1000 раз. Найти симметричные относительно среднего пределы, в которых с вероятностью, большей 0,99, будет находиться число выпавших очков. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.

Вариант 9

1.  Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) хотя бы на одной появится 2 очка, б) на них выпадет по одинаковому числу очков.

2.  Найти вероятность того, что корни уравнения вещественны, если коэффициенты и любые числа, по абсолютной величине не превышающие 1.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Sа и Sc состоят из двух независимых дублирующих блоков аk и ck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.8, P(b) = 0.95, P(сk) = 0.85.

4.  В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 10 % изделий, второй - 15%, третий – 75% изделий. Среди изделий 1-го завода 70% первосортных, второго – 55%, третьего – 20%. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено третьим заводом.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 10 конденсаторов. Для контроля выбирают 6 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них из строя за время Т выйдет не более 1 конденсатора, используя классическое определение вероятностей и формулу Бернулли.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,002. Поступило 800 вызовов. Определить вероятность того, что будет не менее 3 «сбоев».

7.  Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка - 0,7, для второго - 0,4. Случайная величина Х - число попаданий в мишень. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти .

9.  Число дефектных пикселей для каждого монитора некоторой партии имеет распределение Пуассона со средним значением 3 пиксела. Монитор признается негодным, если он содержит более 10 дефектных пикселей. Каков средний процент брака для данной партии мониторов?

10.  Устройство состоит из 100 элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение одного года работы равна 0,05 и не зависит от состояния других элементов. Найдите среднее значение числа элементов, которые откажут в течении 5 лет, если срок службы элемента имеет показательное распределение.

11.  Случайная величина X распределена нормально с параметрами и . Найти 1) Вероятность попадания X в интервал . 2) Границы интервала, симметричного относительно M(X), в котором будет находиться 70% значений случайной величины.

12.  Имеется 100 независимых значений случайной величины, распределенной равномерно на интервале . Какова вероятность, что среднее арифметическое этих значений отклонится от математического ожидания случайной величины на величину не большую 0,05. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.

Вариант 10

1.  Из колоды содержащей 36 карт вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что среди них два туза и король.

2.  Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 30 минут. Одно из событий длится 2 мин., другое - 10 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистема Sb состоят из двух независимых дублирующих блоков bk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а) = 0.95, P(bk) = 0.9, P(с) = 0.99.

4.  Дана система из двух блоков а и b, соединенных параллельно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступления первого режима 0.1, второго 0.3 . Надежность работы первого блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.8; 085 . Надежность работы второго блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.95; 0.8 . Найти надежность системы, если блоки независимы.

5.  Из100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 20 конденсаторов. Для контроля выбирают 10 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не менее 2 конденсаторов, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,006. Поступило 100 вызовов. Определить вероятность того, что будет менее 2 «сбоев».

7.  Из партии в 20 изделий, среди которых имеются 5 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Случайная величина X число бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: , . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти .

9.  В итоговой контрольной по теории вероятностей студенты (каждый) делают в среднем по две ошибки. Какова вероятность, что конкретная работа не содержит ошибок? Сколько в среднем надо проверить работ, чтобы обнаружить безошибочную?

10.  Солнечная батарея состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение одного года работы равна 0,02 и не зависит от состояния других элементов. Найдите среднее значение числа элементов, которые откажут в течении 10 лет, если срок службы элемента имеет показательное распределение.

11.  Случайная величина имеет нормальное распределение со средним равным 2 и неизвестным значением . Определить , если известно, что .

12.  В данном хозяйстве урожайность куста картофеля, выраженная в килограммах, имеет следующее распределение: Определить, какое наименьшее количество кустов картофеля надо посадить, чтобы с вероятностью 0,975 снять урожай не менее 1000 кг (использовать ЦПТ)

Вариант 11

1.  В соревнованиях по футболу участвуют 20 команд. Случайным образом они делятся на две группы по 10 команд. Какова вероятность того, что 2 наиболее сильные команды при этом окажутся в одной группе?

2.  Два судна могут подойти к причалу в любое время в течение суток независимо. На причале одно место для разгрузки. Разгрузка длится 4 часа. Какова вероятность того, что одно из судов будет ждать более часа?

3.  Система S состоит из четырех независимых подсистем Sа , Sb и Sc и Sd. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистема Sb состоят из двух независимых дублирующих блоков bk (k = 1, 2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а) = 0.95, P(bk) = 0.9, P(с) = 0.8 , P(d) = 0.85.

4.  50 % приборов собирается из деталей первого сорта, 30 % приборов собирается из деталей второго сорта, остальные - из деталей третьего сорта. В первом случае надежность прибора в течение времени Т равна 0.95, во втором его надежность 0.75, а в третьем - 0.8. Прибор в течение времени Т вышел их строя. Чему равна вероятность того, что он собран из деталей третьего сорта?

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 15 нестандартных, выбраны случайным образом 10 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 2 нестандартных изделия, используя классическое определение вероятностей и формулу Пуассона.

6.  Вероятность наступления некоторого события в каждом из 600 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что в этой серии испытаний событие наступит не менее 500 раз.

7.  Три стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка 0,9, для второго 0,8, для третьего – 0,7. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Продолжительность работы электролампы – случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром ч-1. Какова вероятность того, что лампа за два месяца (60 дней) не перегорит?

10.  Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 150. Берется на пробу 2 кубических дециметра воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

11.  Случайные величины независимы и имеют нормальное распределение с параметрами . Случайная величина есть среднее арифметическое этих величин. Найти .

12.  Имеется 400 независимых значений случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром . Какова вероятность, что среднее арифметическое этих значений отклонится от математического ожидания случайной величины на величину большую 0,05. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.

Вариант 12

1.  Из колоды карт (36 листов) выбирается наудачу 5 карт. Какова вероятность, что среди них ровно 4 карты одной масти.

2.  В сфере радиуса 3 случайно и независимо друг от друга разбросано 5 точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки не меньше 2.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sс. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков аk и bk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.7.

4.  25 % приборов собирается из высококачественных деталей, остальные - из деталей обычного качества. В первом случае надежность прибора ( вероятность безотказной работы за время Т) равна 0,95, а если прибор собрали из обычных деталей, его надежность 0,75. Прибор в течение времени Т работал безотказно. Чему равна вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 20 изделий 1 сорта и 80 изделий 2 сорта случайным образом выбраны 8 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 3 изделия 1 сорта, используя классическое определение вероятности и формулу Бернулли.

6.  Вероятность наступления некоторого события в каждом из 200 независимых испытаний равна 0,2. Определить вероятность того, что число наступлений события в данной серии не превосходит 35.

7.  В урне 4 белых и 8 черных шаров. Вынимают последовательно шары до появления черного шара. Случайная величина Х - число вынутых шаров. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Количество дефектов для данной модели телевизоров имеет распределение Пуассона со средним значением 3 дефекта на телевизор. Сколько в среднем надо перебрать телевизоров, чтобы выбрать не содержащий дефектов?

10.  Время, затрачиваемое преподавателем на экзамене на одного студента, есть случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром ч-1. Какова вероятность того, что преподавателю на группу из 10 студентов потребуется больше 3 часов?

11.  Случайные величины независимы и имеют нормальное распределение с параметрами . Случайная величина есть среднее арифметическое этих величин. Найти .

12.  Для данного факультета оценка на экзамене по теории вероятностей имеет следующее распределение: . Используя ЦПТ определить вероятность того, что средний бал за экзамен потока из 81 студента лежит в интервале .

Вариант 13

1.  Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам. Каждый шарик с равной вероятностью и независимо от других попадает в любую лунку. Определить вероятность того, что все шарики окажутся в одной из лунок.

2.  Два парохода независимо подходят к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Время стоянки первого парохода один час, а второго - два часа. Какова вероятность, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала.

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем Sаb и Sс. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков аbk и ck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок аbk состоит из последовательно соединенных блоков аk и bk

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.7, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.8.

4.  Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% всех изделий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а) Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется нестандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии?

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 20 изделий 1 сорта и 80 изделий 2 сорта случайным образом выбраны 8 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 3 изделия 1 сорта, используя классическое определение вероятности и формулу Бернулли.

6.  Вероятность наступления некоторого события в каждом из 700 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству 545≤m£575.

7.  Охотник стреляет до первого попадания и успевает сделать три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,9; 0,7; 0,5. Случайная величина Х – число промахов. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения ; найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Деревья в лесу растут в случайных точках, которые образуют пуассоновское поле с плотностью 0,04 деревьев/м2. Найти среднее расстояние между деревьями.

10.  Продолжительность работы электролампы – случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром ч-1. Перегоревшую лампу немедленно заменяют новой. Какова вероятность того, что за 200 часов лампу придется заменять больше двух раз?

11.  Случайная величина имеет нормальное распределение . Найти интервал, симметричный относительно , вероятность попадания за пределы которого величины равна 0,3.

12.  Имеется 200 независимых значений случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром . Какова вероятность, что среднее арифметическое этих значений отклонится от математического ожидания случайной величины на величину не большую 0,1. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.