Вариант (стр. 1 )

Вариант 1

1.  Среди 20 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 6 билетов. Определить вероятность того, что среди них хотя бы 2 выигрышных.

2.  В отрезке единичной длины наудачу выбираются две точки. Определить вероятность того, что расстояние между точками не превосходит ¼.

3.  Система S состоит из четырех независимых подсистем . Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы и состоят из двух независимых дублирующих блоков и () (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков .

4.  Дана система из двух блоков а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступления первого режима 0.2, второго 0.5, третьего 0.3 . Надежность работы первого блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.8; 0.7 . Надежность работы второго блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.9; 0.8 . Найти надежность системы, если блоки независимы.

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 5 нестандартных, выбраны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 2 нестандартных изделия, используя классическое определение вероятностей и формулу Бернулли.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,003. Поступило 500 вызовов. Определить вероятность того, что будет менее 2 «сбоев».

7.  Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Случайная величина Х - число проб при открывании замка (испробованный ключ в последующих пробах не участвует). Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины : .

Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения ; найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Число ошибок в каждой контрольной по теории вероятностей распределено по закону Пуассона со средним равным 7. Сколько в среднем надо проверить контрольных, чтобы обнаружить работу, содержащую не более 2 ошибок?

10.  Известно, что за год перегорает 80% электроламп. Сколько в среднем из 10 ламп перегорит за два года, если срок службы каждой лампы имеет показательное распределение?

11.  Диаметр детали есть нормальная случайная величина со средним 1,06 см. Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины - диаметра детали, если известно, что 5% деталей имеют диаметр меньше 1 см.

12.  Складывается чисел, каждое из которых округлено с точностью до . Предполагается, что ошибки от округления независимы и равномерно распределены в интервале (). Используя центральную предельную теорему найти пределы, в которых с вероятностью 0,99, будет лежать суммарная ошибка.

Вариант 2

1.  Из колоды содержащей 36 карт вынимается наугад 5. Найти вероятность того, что среди них ровно три карты пиковой масти.

2.  Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 200 минут. Одно из событий длится 10 мин., другое - 15 мин. Определить вероятность того, что события «перекрываются» по времени.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем . Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков , и () (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков .

4.  Испытывается прибор, состоящий из двух узлов а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Надежности (вероятности безотказной работы за время Т) узлов а и b известны и равны P(а) = 0.8, P(b) = 0.9 . Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени Т выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятность того, что неисправен только узел а.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 3 конденсатора. Для контроля выбирают 5 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет хотя бы 1 конденсатор, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,004. Поступило 500 вызовов. Определить вероятность, что при этом будет не более 6 «сбоев».

7.  В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 3 детали. Случайная величина Х - число стандартных деталей в выборке. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Число изюминок в каждом кексе имеет распределение Пуассона со средним равным 5. Сколько в среднем надо съесть кексов, чтобы обнаружить кекс не содержащий изюминок?

10.  Система состоит из двух независимых дублирующих друг друга блоков (для выхода системы из строя необходимо, чтобы вышли из строя оба блока), средний срок службы каждого из которых равен 3 годам. Найти средний срок службы системы, если сроки службы блоков распределены по показательному закону.

11.  Размер детали X представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним 20 см (соответствует стандарту на размер) и среднеквадратичным отклонением s = 0,2 см. Найти вероятность того, что из трех наугад выбранных деталей, размеры хотя бы одной отличаются от стандарта больше чем на 0,5 см.

12.  Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,5; в девятку – 0,3; в восьмёрку – 0,1; в семерку – 0,05; в шестёрку – 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Используя ЦПТ определить вероятность того, что стрелок набрал более 950 очков.

Вариант 3

1.  Игральная кость подброшена два раза. Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях будет не менее 10.

2.  Плоскость разграфлена параллельными линиями с шагом 2 см. На плоскость бросается монета диаметром 1,5 см. Определить вероятность того, что она не пересечет ни одну из линий.

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем и . Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков , и () (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок состоит из последовательно соединенных блоков и .

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков .

4.  50 % приборов собирается из деталей первого сорта, 30 % приборов собирается из деталей второго сорта, остальные - из деталей третьего сорта. В первом случае надежность прибора в течение времени Т равна 0.95, во втором его надежность 0.85, а в третьем - 0.8. Прибор в течение времени Т работал безотказно. Чему равна вероятность того, что он собран из деталей третьего сорта?

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 5 нестандартных, выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется хотя бы 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятностей и формулу Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,008. Поступило 500 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 2 «сбоев».

7.  Производится три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. Случайная величина Х – число появлений события А в указанных испытаниях. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Система состоит из двух последовательных блоков (для выхода системы из строя достаточно, чтобы вышел из строя хотя бы один блок), средний срок службы каждого из которых равен 3 годам. Найти средний срок службы системы, если сроки службы блоков распределены по показательному закону.

10.  Случайные величины независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти .

11.  Число опечаток на странице имеет распределение Пуассона со средним значением 5 опечаток на страницу. Определить сколько в среднем в книге из 200 страниц, есть страниц, содержащих от 3 до 5 опечаток.

12.  Урожай пшеницы (в центнерах) на каждом из 3600 Га – случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [18, 22]. Используя ЦПТ, найти симметричный относительно среднего значения интервал, в котором с вероятностью 0,95 лежит общий урожай пшеницы. Оценить вероятность попадания в найденный интервал, используя неравенство Чебышева.

Вариант 4

1.  Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма числа очков не превосходит 6.

2.  Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 200 минут. Одно из событий длится 10 мин., другое - 20 мин. Определить вероятность того, что события «перекрываются» по времени.

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем Sа и Sbc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков аk и bck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок bсk состоит из последовательно соединенных блоков bk и ck.

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.85, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.95.

4.  Испытывается прибор, состоящий из двух узлов а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Надежности (вероятности безотказной работы за время Т) узлов а и b известны и равны P(а) = 0.85, P(b) = 0.95 . Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени Т выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятность того, что неисправен только узел b.

5.  Из 50 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 5 конденсаторов. Для контроля выбирают 8 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не более 2 конденсаторов, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,009. Поступило 600 вызовов. Определить вероятность того, что будет не более 3 «сбоев».

7.  В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки наудачу извлекается 3 карандаша. Случайная величина Х - число красных карандашей в выборке. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины : , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения ; найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Продолжительность работы электролампы – случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром ч-1. Какова вероятность того, что лампа за месяц (30 дней) не перегорит?

10.  При записи программы на неисправном накопителе появляется в среднем 3 ошибки. Какова вероятность безошибочной записи? Сколько раз в среднем надо записывать программу, чтобы получить безошибочную запись? Предполагается, что количество ошибок имеет распределение Пуассона?

11.  При измерении детали ее длина является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 22 мм и среднеквадратическим отклонением 0,2 мм. Найдите интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9545 попадает .

12.  Урожай овса (в центнерах) на каждом из 4900 Га – случайная величина, распределенная по показательному закону со средним значением равным 20. Используя ЦПТ, найти симметричный относительно среднего значения интервал, в котором с вероятностью 0,98 лежит общий урожай овса. Оценить вероятность попадания в найденный интервал, используя неравенство Чебышева.

Вариант 5

1.  Из колоды содержащей 36 карты вынимается наугад 5. Найти вероятность того, что это две шестерки, две семёрки и туз.

2.  Найти вероятность того, что корни уравнения вещественны, если коэффициенты и любые числа, удовлетворяющие условиям: .

3.  Система S состоит из двух независимых дублирующих блоков аbсk (k = 1,2). Блок аbсk состоит из трех последовательно соединенных блоков аk , bk и сk

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.9, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.8.

4.  Для проверки геодезических работ назначена группа экспертов, состоящая из трех подгрупп. В первой подгруппе - 2 человека, во второй - 4 и в третьей - 5. Эксперты первой подгруппы принимают верное решение с вероятностью 0,9, эксперты второй подгруппы c вероятностью 0,8, эксперты третьей подгруппы с вероятностью 0,7. Наудачу вызванный эксперт принимает 3 независимых решения. Найти вероятность того, что принимал решения эксперт из первой подгруппы, если все 3 решения приняты верно.

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 5 нестандартных, выбраны случайным образом 7 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется хотя бы 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятности и формулу Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,003. Поступило 600 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 2 «сбоев».

7.  В урне 5 белых и 20 черных шаров. Вынули 3 шара. Случайная величина Х - число вынутых белых шаров. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : , . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Число ошибок в каждой контрольной по теории вероятностей распределено по закону Пуассона со средним равным 5. Сколько в среднем надо проверить контрольных, чтобы обнаружить не содержащую ошибок?

10.  Продолжительность работы электролампы – случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром ч-1. Перегоревшую лампу немедленно заменяют новой. Какова вероятность того, что за 100 часов лампу придется заменять не менее двух раз?

11.  Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением и среднеквадратическим отклонением s = 0,05 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на e = 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.

12.  Сколько (минимум) необходимо взять случайных величин, равномерно распределенных на интервале [0; 1], чтобы с вероятностью не меньшей 0,99 ожидать, что среднее арифметическое этих величин будет лежать в интервале [0,49; 0,51]. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.

Вариант 6

1.  Из полной колоды карт (36 листов) вынимается 4 карты. Найти вероятность того, что все карты разной масти.

2.  Два судна могут подойти к причалу в любое время в течение суток независимо. На причале одно место для разгрузки. Разгрузка длится 2 часа. Какова вероятность того, что одному из судов придется ждать.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Sа и Sb состоят из двух независимых дублирующих блоков аk и bk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(с) = 0.85.

4.  Испытывается прибор, состоящий из двух узлов а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Надежности (вероятности безотказной работы за время Т) узлов а и b известны и равны P(а) = 0.8, P(b) = 0.7 . Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени Т выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятность того, что неисправны оба узла.

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 4 нестандартных, выбраны случайным образом 9 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется хотя бы 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятности и формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,002. Поступило 600 вызовов. Определить вероятность того, что будет не более 1 «сбоя».

7.  Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка - 0,6, для второго - 0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: . , , . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания величины на участок .

9.  Количество голов, забиваемых командой Томь в каждом матче, есть случайная величина, имеющая распределение Пуассона со средним равным 1. Сколько в среднем надо посетить матчей, чтобы увидеть хотя бы 3 гола забитые Томью в одном матче?

10.  Срок службы электролампы - случайная величина, распределенная по показательному закону со средним значением 1/2 года. Какова вероятность, что на 2 года потребуется более 3 ламп? Предполагается, что сгоревшая лампочка немедленно заменяется новой.

11.  Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором содержится 80 % значений случайной величины.

12.  Случайная величина является средней арифметической независимых и одинаково распределенных случайных величин, среднеквадратическое отклонение каждой из которых равно 2. Сколько нужно взять таких величин, чтобы с случайная величина с вероятностью, не меньшей 0,92, имела отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,05. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.

Вариант 7

1.  Из колоды 36 карт выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажутся хотя бы два туза?

2.  В сфере радиуса 2 случайно и независимо друг от друга разбросано 10 точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра до ближайшей точки не меньше 1.

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем Sа и Sbc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистема Sbc состоят из двух независимых дублирующих блоков bсk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок bсk состоит из последовательно соединенных блоков bk и ck

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а) = 0.95, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.8.

4.  Прибор состоит из двух узлов а и b, соединенных последовательно в смысле надежности, и стабилизатора напряжения S, работающего в двух режимах. При работе стабилизатора в первом режиме с вероятностью 0.7 надежность узлов P(а) = 0.9, P(b) = 0.95. При работе стабилизатора во втором режиме надежность узлов P(а) = 0.8, P(b) = 0.9. Найти надежность прибора, если узлы независимы.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 7 конденсаторов. Для контроля выбирают 5 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не более 2 конденсаторов, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,001. Поступило 700 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 2 «сбоев».