Вариант (стр. 3 )

Вариант 14

1.  Из колоды содержащей 36 карт вынимается наугад 4. Найти вероятность того, что среди них три туза и шестерка пик.

2.  Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 60 минут. Одно из событий длится 7 мин., другое - 13 мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем Sа и Sbc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков аk и bck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок bсk состоит из последовательно соединенных блоков bk и ck

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.85, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.95.

4.  Дана система из двух блоков а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в двух разных режимах. Вероятность наступления первого режима 0.3. Надежность работы первого блока в 1 – м, 2 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.85 . Надежность работы второго блока в 1 – м, 2 – м режимах равна соответственно 0.7; 0.9 . Найти надежность системы.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 20 конденсаторов. Для контроля выбирают 8 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не более 2 конденсаторов, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность наступления некоторого события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,15. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству 45≤m≤60.

7.  Бросают две игральных кости. Случайная величина X сумма выпавших очков. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти .

9.  Количество голов, забиваемых командой Томь в каждом матче, есть случайная величина, имеющая распределение Пуассона со средним равным 0,6. Сколько в среднем надо посетить матчей, чтобы увидеть хотя бы 2 гола забитые Томью в одном матче?

10.  Срок службы электролампы распределен по показательному закону со средним значением равным 5 месяцам. Какова вероятность, что из 100 подключенных ламп за год перегорит меньше половины?

11.  Случайная величина распределена нормально с дисперсией . Найти вероятность того, что в результате испытания значение отклонится от математического ожидания на величину большую 4.

12.  Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока сумма очков не превысит 700. Используя ЦПТ оценить вероятность того, что для этого потребуется более 210 бросаний.

Вариант 15

1.  Из колоды в 52 карты (по 13 карт каждой масти) отбирается 5 карт. Какова вероятность получить комбинацию "каре" - четыре карты одного номинала?

2.  На отрезках [0,1] и [1,3] наудачу и независимо друг от друга выбираются две точки A, B. Найти вероятность того, что расстояние между ними не превосходит 1.

3.  Система S состоит из подсистемы Sаbс, состоящей из двух независимых дублирующих блоков аbсk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок аbсk состоит из трех последовательно соединенных блоков аk , bk и сk

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.9, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.8.

4.  Для проверки геодезических работ назначена группа экспертов, состоящая из трех подгрупп. В первой подгруппе - 2 человека, во второй - 5 и в третьей - 3. Эксперты первой подгруппы принимают верное решение с вероятностью 0,7, эксперты второй подгруппы c вероятностью 0,8, эксперты третьей подгруппы с вероятностью 0,6. Наудачу вызванный эксперт принимает 4 независимых решения. Найти вероятность того, что принимал решения эксперт из первой подгруппы, если ровно 3 решения приняты верно.

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 40 изделий 1 сорта и 60 изделий 2 сорта, выбраны случайным образом 12 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется не менее 4 и не более 6 изделий первого сорта, используя классическое определение вероятности и формулу Пуассона.

6.  Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число наступлений события в данной серии испытаний не превосходит 85.

7.  Вероятность сдать экзамен в одной попытке равна 0,2 и не меняется от попытки к попытке. Для случайной величины X - числа сделанных попыток найти ряд распределения и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение), если экзамен можно сдавать не более 5 раз.

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти .

9.  Известно, что за год перегорает 80% электроламп. Сколько в среднем из 10 ламп перегорит за два года, если срок службы каждой лампы имеет показательное распределение?

10.  Найти среднее число l бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рас­сматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

11.  Случайная величина распределена нормально с дисперсией . Найти вероятность того, что в результате 5 испытаний все значения отклонятся от математического ожидания на величину меньшую 6.

12.  Урожай пшеницы (в центнерах) на каждом из 2500 Га – случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [13, 22]. Используя ЦПТ, найти в каких пределах, симметричных относительно среднего значения, с вероятностью 0,95 ежит средний урожай пшеницы с одного Га.

Вариант 16

1.  Колода карт (36 листов) делится на две равные части. Какова вероятность, что в каждую пачку попадет по два туза?

2.  Найти вероятность того, что корни уравнения вещественны, если коэффициенты и любые числа, по абсолютной величине не превышающие 1/2.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Sа и Sb состоят из двух независимых дублирующих блоков аk и bk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(с) = 0.85

4.  Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов а и b и стабилизатора напряжения, работающего в двух режимах. При работе стабилизатора в первом режиме с вероятностью 0.8 надежность узлов P(а) = 0.9, P(b) = 0.95. При работе стабилизатора во втором режиме надежность узлов P(а) = 0.5, P(b) = 0.6. Найти надежность прибора, если узлы независимы.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 5 конденсаторов. Для контроля выбирают 10 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет хотя бы 1 конденсатор, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству m≤75.

7.  Экзамен можно сдавать до трех раз, при этом вероятность сдачи в n-ой попытке равна n/4. Случайная величина X - число затраченных попыток. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при , при . Найти коэффициент () и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Среднее время безотказной работы блока равно 1 году. Отказавший блок немедленно заменяется на исправный. Какова вероятность, что за год придется дважды заменять неисправный блок, если срок службы блока (время безотказной работы) имеет показательное распределение.

10.  Среднее число опечаток на странице равно 0,2. Найти вероятность того, что в книге из 100 страниц не более десяти страниц с опечатками (вероятность опечатки каждого символа предполагается одинаковой и не зависящей от опечаток других символов).

11.  Случайная величина X распределена нормально с параметрами и . Найти 1) Вероятность попадания X в интервал . 2) Границы интервала, симметричного относительно M(X), в котором будет находиться 70% значений случайной величины.

12.  Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,3; в девятку – 0,4; в восьмёрку – 0,2; в семерку – 0,05; в шестёрку – 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Используя ЦПТ, найти в каких пределах, симметричных относительно среднего значения, с вероятностью 0,9 лежит количество набранных стрелком очков.

Вариант 17

1.  Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма числа очков не превосходит 3.

2.  Плоскость разграфлена на квадраты параллельными линиями с шагом 2 см. На плоскость бросается монета диаметром 1,3 см. Определить вероятность того, что она не пересечет ни одну из линий.

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем Sа и Sbc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистема Sbc состоят из двух независимых дублирующих блоков bсk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок bсk состоит из последовательно соединенных блоков bk и ck

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а) = 0.95, P(bk) = 0.9, P(сk) = 0.8

4.  30 % приборов собирается из деталей первого сорта, 45 % приборов собирается из деталей второго сорта, остальные - из деталей третьего сорта. В первом случае надежность прибора равна 0.9, во втором его надежность 0.7, а в третьем - 0.8. Прибор в течение времени Т работал безотказно. Чему равна вероятность того, что он собран из деталей третьего сорта.

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 30 нестандартных, выбраны случайным образом 5 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 2 нестандартных изделия, используя классическое определение вероятности и формулу Пуассона.

6.  Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству m≤75.

7.  Зачет можно сдавать до пяти раз, при этом вероятность сдачи с любой попытки одинакова и равна 0,3. Случайная величина X число затраченных попыток. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: , Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти .

9.  Для постройки здания нужно забить в землю не менее 300 свай на глубину 5 м. Если свая на меньшей глубине натыкается на камень, ее спиливают и в число несущих свай она не входит. Вероятность "встретить" такой камень в толще земли глубиной 1 м равна 0,02. Известно, что среднее число камней в толще земли прямо пропорционально толщине слоя. Сколько нужно заготовить свай, чтобы с вероятностью 0,95 их хватило на постройку здания?

10.  Время работы прибора - случайная величина, распределенная по показательному закону со средним значением 3 года. Какова вероятность, что прибор безотказно проработает 3 года.

11.  Результат измерения физической величины - нормальная случайная величина X с параметрами M(X)=1, D(X)=0,1. Какова вероятность, что результаты трех измерений этой величины лежат в интервале [0,9; 1,1].

12.  Имеется 1600 прямоугольников, у каждого из которых длина и ширина – независимые случайные величины, распределенные равномерно на отрезке . Используя ЦПТ указать симметричные относительно среднего границы, в которых с вероятностью 0,9 лежит сумма площадей всех прямоугольников.

Вариант 18

1.  Среди 20 лотерейных билетов 5 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них ровно 4 выигрышных.

2.  Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 150 секунд. Одно из событий длится 20 с, другое - 30 с. Сигнализатор сработает, если перекрытие по времени событий будет не менее 5 с. Определить вероятность того, что сигнализатор сработает.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Sа и Sc состоят из двух независимых дублирующих блоков аk и ck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.8, P(b) = 0.95, P(с) = 0.85

4.  40 % приборов собирается из деталей первого сорта, 30 % приборов собирается из деталей второго сорта, остальные - из деталей третьего сорта. В первом случае надежность прибора в течение времени Т равна 0.95, во втором его надежность 0.7, а в третьем - 0.6. Прибор в течение времени Т работал безотказно. Чему равна вероятность того, что он собран из деталей первого сорта?

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 30 конденсаторов. Для контроля выбирают 20 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не менее 10, используя интегральную формулу Лапласа.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,003. Поступило 600 вызовов. Определить вероятность того, что будет не более 2 «сбоев».

7.  В урне 3 белых и 7 черных шаров. Вынули 5 шаров. Случайная величина Х - число вынутых белых шаров. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Число ошибок в каждой контрольной по теории вероятностей распределено по закону Пуассона со средним равным 7. Сколько в среднем надо проверить контрольных, чтобы обнаружить работу, содержащую не более 2 ошибок?

10.  Результат измерения физической величины - нормальная случайная величина X с дисперсией D(X)=0,04. Какова вероятность, что среднее 10 измерений величины Х отклонится от математического ожидания случайной величины X не более, чем на 0,05?

11.  Система состоит из двух последовательных блоков (для выхода системы из строя достаточно, чтобы вышел из строя хотя бы один блок), средний срок службы каждого из которых равен 5 годам. Найти средний срок службы системы, если сроки службы блоков распределены по показательному закону.

12.  Урожай картофеля (в мешках) с одной сотки – случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром 5. Используя ЦПТ, найти симметричные относительно среднего границы, в которых с вероятностью 0,92 будет лежать суммарный урожай картофеля с 625 соток.

Вариант 19

1.  Из колоды содержащей 36 карты вынимается наугад 3. Найти вероятность того, что все карты одной масти, причем одна из них туз.

2.  Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени длиной 200 минут. Одно из событий длится 10 мин., другое - 25 мин. Определить вероятность того, что события «перекрываются» по времени.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистема Sb состоят из двух независимых дублирующих блоков bk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а) = 0.95, P(bk) = 0.9, P(с) = 0.99.

4.  Для проверки геодезических работ назначена группа экспертов, состоящая из трех подгрупп. В первой подгруппе - 2 человека, во второй - 3 и в третьей - 5. Эксперты первой подгруппы принимают верное решение с вероятностью 0,5, эксперты второй подгруппы c вероятностью 0,6, эксперты третьей подгруппы с вероятностью 0,7. Наудачу вызванный эксперт принимает 7 независимых решений. Найти вероятность того, что ровно 5 решений приняты верно.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 30 конденсаторов. Для контроля выбирают 20 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не менее 10, используя интегральную формулу Лапласа.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность того, что будет не менее 2 «сбоев».

7.  В урне 4 белых и 8 черных шаров. Вынимают последовательно шары до появления черного шара. Случайная величина Х - число вынутых шаров. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Среднее число дождливых дней в году для данной местности равно 32 (каждый день с равной вероятностью может оказаться дождливым). Какова вероятность того, что в ближайшую неделю дождей в данной местности не будет?

10.  Система, состоящая из трех блоков, выходит из строя, только если выходят из строя все три блока. Найти средний срок службы системы, если сроки службы блоков имеют показательное распределение со средними значениями 3, 4 и 5 лет соответственно.

11.  Результат измерения физической величины - нормальная случайная величина X с дисперсией D(X)=0,04. Сколько надо провести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 среднее этих измерений отличалось от математического ожидания случайной величины X не более, чем на 0,01?

12.  Случайная величина является средней арифметической независимых и одинаково распределенных случайных величин, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно взять таких величин, чтобы с случайная величина с вероятностью, не меньшей 0,9973, имела отклонение от своего математического ожидания, не превосходящее 0,1. Решить задачу, используя а) неравенство Чебышева; б) центральную предельную теорему.

Вариант 20

1.  Из 30 вопросов, входящих в экзаменационный билет, студент подготовил 20. Найти вероятность того, что студент ответил правильно на экзаменационный билет, состоящий из 3-х вопросов.

2.  На отрезке [0, 1] случайным образом выбирают три числа. Определить вероятность того, что их сумма больше единицы.

3.  Система S состоит из четырех независимых подсистем Sа , Sb и Sc и Sd. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистема Sb состоят из двух независимых дублирующих блоков bk (k = 1, 2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а) = 0.95, P(bk) = 0.9, P(с) = 0.8 , P(d) = 0.85.

4.  Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает 55% всех изделий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым 0,15. а) Определить вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется не стандартным, б) Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором предприятии?

5.  В партии из 100000 изделий имеется 500 дефектных. Из партии выбирается для контроля 1000 изделий. Найти вероятность того, что среди них будет от 40 до 60 дефектных, используя интегральную формулу Муавра-Лапласа.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,0025. Поступило 300 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 1 «сбоя».

7.  Бросают три монеты. Случайная величина X - число выпавших решек. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения ; найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Число дефектных пикселей для каждого монитора некоторой партии имеет распределение Пуассона со средним значением 5 пикселов. Монитор признается негодным, если он содержит более 14 дефектных пикселей. Каков средний процент брака для данной партии мониторов?

10.  Батарея, состоит из 100 элементов, срок службы каждого из которых имеет показательное распределение со средним значением 1 год. Какова вероятность, что за два года батарея не выйдет из строя, если для отказа батареи необходимо, чтобы отказало не менее 50 элементов.