Вариант (стр. 4 )

11.  Результат измерения физической величины - нормальная случайная величина X с дисперсией D(X)=4. Сколько надо провести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 среднее этих измерений отличалось от математического ожидания случайной величины X не более, чем на 0,001

12.  Случайная величина является средней арифметической 3200 независимых и одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 2. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что примет значение в промежутке (2,95; 3,075). Сравнить эту вероятность с вероятностью, полученной с помощью применения ЦПТ.

Вариант 21

1.  Колода карт (36 листов) делится случайным образом на две равные части по 18 карт. Найти вероятность того, что в каждой пачке будет по два туза.

2.  В отрезке единичной длины наудачу выбираются две точки. Определить вероятность того, что расстояние между точками не менее 0,5.

3.  Система S состоит из четырех независимых подсистем . Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы и состоят из двух независимых дублирующих блоков и () (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков , , .

4.  Дана система из двух блоков а и b, соединенных последовательно в смысле надежности и стабилизатора, который может работать в одном из трех режимов. Вероятность наступления первого режима 0.2, второго 0.5, третьего 0.3 . Надежность работы первого блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.7; 0.6 . Надежность работы второго блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.8; 0.6; 0.5 . Найти надежность системы, если блоки независимы.

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 10 нестандартных, выбраны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется хотя бы 2 нестандартных изделия, используя классическое определение вероятностей и формулу Бернулли.

6.  Вероятность выхода из строя аппаратуры при скачке напряжения равна 0,002. За некоторое время зафиксировано 200 скачков напряжения. Какова вероятность, что аппаратура вышла из строя?

7.  В партии из 12 деталей имеется 4 стандартных. Из этой партии наудачу взято 5 деталей. Случайная величина Х - число стандартных деталей в выборке. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение)

8.  Задана плотность распределения случайной величины : .

Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения ; найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Число ошибок в каждой контрольной по теории вероятностей распределено по закону Пуассона со средним равным 5. Сколько в среднем надо проверить контрольных, чтобы обнаружить работу, не содержащую ошибок?

10.  Известно, что за год перегорает 70% электроламп. Сколько в среднем из 20 ламп перегорит за два года, если срок службы каждой лампы имеет показательное распределение?

11.  Диаметр детали есть нормальная случайная величина со средним (номиналом) 5,06 см и дисперсией 0,04 см. Деталь бракуется, если отклонение диаметра от номинала более 0,2 см. Каков средний процент бракуемых деталей?

12.  Складывается чисел, каждое из которых округлено с точностью до . Предполагается, что ошибки от округления независимы и равномерно распределены в интервале (). Используя центральную предельную теорему найти пределы, в которых с вероятностью 0,95, будет лежать суммарная ошибка.

Вариант 22

1.  Из колоды содержащей 36 карт вынимается наугад 5. Найти вероятность того, что все карты одной масти.

2.  Какова вероятность, что частица диаметром 1 нм свободно пройдет через бесконечную тонкую решетку со стороной ячейки равной 2 нм.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем . Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков , и () (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков .

4.  Испытывается прибор, состоящий из трех узлов а b и с, соединенных параллельно в смысле надежности. Надежности (вероятности безотказной работы за время Т) узлов известны и равны P(а) = 0.6, P(b) = 0.7, P(c) = 0.8. Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени Т выяснилось, что прибор исправен. Найти с учетом этого вероятность того, что исправен только узел а.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 4 конденсатора. Для контроля выбирают 10 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не менее 2 конденсаторов, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность выхода из строя аппаратуры при скачке напряжения равна 0,01. За некоторое время зафиксировано 55 скачков напряжения. Какова вероятность, что аппаратура не вышла из строя?

7.  Производится три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5. Случайная величина Х – число появлений события А в указанных испытаниях. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Число изюминок в каждом кексе имеет распределение Пуассона со средним равным 5. Сколько в среднем надо съесть кексов, чтобы обнаружить кекс содержащий менее 2 изюминок?

10.  Система состоит из двух независимых дублирующих друг друга блоков (для выхода системы из строя необходимо, чтобы вышли из строя оба блока), средний срок службы каждого из которых равен 5 годам. Найти средний срок службы системы, если сроки службы блоков распределены по показательному закону.

11.  Размер детали X представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним 10 см (соответствует стандарту на размер) и среднеквадратичным отклонением s = 0,3 см. Какова вероятность того, что размер наугад выбранной детали отличается от номинала не более чем на 0,2 см.

12.  Стрелок попадает при выстреле по мишени в десятку с вероятностью 0,2; в девятку – 0,3; в восьмёрку – 0,3; в семерку – 0,1; в шестёрку – 0,1. Используя ЦПТ определить минимальное число выстрелов, чтобы с вероятностью 0,8 набрать не менее 900 очков.

Вариант 23

1.  10 учебников, среди которых три по теории вероятностей, случайным образом расставляются на полке. Какова вероятность, что все книги по теории вероятностей окажутся рядом.

2.  Плоскость разграфлена на ячейки параллельными линиями с шагом 2 см. На плоскость бросается монета диаметром 1,5 см. Определить вероятность того, что она не пересечет ни одну из линий.

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем и . Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков , и () (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок состоит из последовательно соединенных блоков и .

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков .

4.  50 % приборов собирается из деталей первого сорта, 30 % приборов собирается из деталей второго сорта, остальные - из деталей третьего сорта. В первом случае надежность прибора в течение времени Т равна 0.9, во втором его надежность 0.7, а в третьем - 0.6. Прибор в течение времени Т работал безотказно. Чему равна вероятность того, что он собран из деталей второго сорта?

5.  Из 100 изделий, среди которых имеется 8 нестандартных, выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. Определить вероятность того, что среди выбранных изделий окажется хотя бы 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероятностей и формулу Пуассона.

6.  Вероятность зафиксировать частицу в одном эксперименте равна 0,02. Проведено 100 экспериментов. Определить вероятность того, что будет зарегистрировано более 2 частиц.

7.  Производится четыре независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6. Случайная величина Х – число появлений события А в указанных испытаниях. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины : при , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Система состоит из двух последовательных блоков (для выхода системы из строя достаточно, чтобы вышел из строя хотя бы один блок), средний срок службы каждого из которых равен 5 годам. Найти средний срок службы системы, если сроки службы блоков распределены по показательному закону.

10.  Погрешности измерений имеют нормальное распределение со средним равным нулю и дисперсией равной 4 мм2. Сколько надо произвести измерений, чтобы погрешность среднего арифметического этих измерений не превышала 0,1 мм.

11.  Число битых пикселей для каждого монитора данной партии имеет распределение Пуассона со средним значением 3 пикселя. Определить сколько в среднем из 1000 мониторов данной партии бракованных, если бракованным считается монитор, содержащий не менее 8 битых пикселей.

12.  Урожай пшеницы на каждом из 4900 Га – случайная величина, распределенная по показательному закону со средним значением 20 центнеров. Используя ЦПТ, найти симметричный относительно среднего значения интервал, в котором с вероятностью 0,9 лежит общий урожай пшеницы.

Вариант 24

1.  Из колоды карт (52 листа) случайным образом отбираются 5 карт. Какова вероятность, что эти карты образуют комбинацию «фул хаус» - три карты одного номинала плюс две карты другого номинала (например, 3 шестерки и 2 туза).

2.  Плоскость разграфлена на ячейки параллельными линиями с шагом 3 см. На плоскость бросается монета диаметром 2 см. Определить вероятность того, что она пересечет ровно три ячейки.

3.  Система S состоит из двух независимых подсистем Sа и Sbc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков аk и bck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок bсk состоит из последовательно соединенных блоков bk и ck.

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.8, P(bk) = 0.7, P(сk) = 0.85.

4.  Испытывается прибор, состоящий из трех узлов а b и с, соединенных параллельно в смысле надежности. Надежности (вероятности безотказной работы за время Т) узлов известны и равны P(а) = 0.65, P(b) = 0.75, P(c) = 0.85. Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени Т выяснилось, что прибор исправен. Найти с учетом этого вероятность того, что узел с исправен.

5.  Из 50 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 5 конденсаторов. Для контроля выбирают 9 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не менее 2 конденсаторов, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность зафиксировать частицу в одном эксперименте равна 0,002. Проведено 200 экспериментов. Определить вероятность того, что будет зарегистрирована хотя бы одна частица.

7.  В коробке 7 белых и 3 черных шара. Из этой коробки наудачу извлекается 5 шаров. Случайная величина Х - число черных шаров в выборке. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения непрерывной случайной величины : , при . Найти коэффициент и функцию распределения ; построить графики и ; найти , , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения ; найти вероятность попадания случайной величины в интервал .

9.  Продолжительность работы электролампы – случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром ч-1. Перегоревшую лампу немедленно заменяют новой. Какова вероятность того, что за 100 часов лампу придется заменять не менее двух раз?

10.  При записи программы на неисправном накопителе появляется в среднем 4 ошибки. Какова вероятность безошибочной записи? Сколько раз в среднем надо записывать программу, чтобы получить безошибочную запись? Предполагается, что количество ошибок имеет распределение Пуассона?

11.  При измерении детали ее длина является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 18 мм и среднеквадратическим отклонением 0,1 мм. Найдите интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,96 попадает .

12.  Урожай овса (в центнерах) на каждом из 3600 Га – случайная величина, распределенная по показательному закону со средним значением равным 20. Используя ЦПТ, найти симметричный относительно среднего значения интервал, в котором с вероятностью 0,85 лежит общий урожай овса. Оценить вероятность попадания в найденный интервал, используя неравенство Чебышева.

Вариант 25

1.  Из колоды содержащей 36 карт вынимается наугад 6. Найти вероятность того, что среди них два туза, два короля и две шестерки.

2.  Плоскость разграфлена на ячейки параллельными линиями с шагом 3 см. На плоскость бросается монета диаметром 2 см. Определить вероятность того, что она пересечет ровно две ячейки.

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистема Sb состоят из двух независимых дублирующих блоков bk (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а) = 0.95, P(bk) = 0.8, P(с) = 0.99.

4.  Дана система из двух блоков а и b, соединенных параллельно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступления первого режима 0.2, второго 0.4 . Надежность работы первого блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.8; 0.7; 085 . Надежность работы второго блока в 1 – м, 2 – м, 3 – м режимах равна соответственно 0.9; 0.85; 0.8 . Найти надежность системы, если блоки независимы.

5.  Из100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 20 конденсаторов. Для контроля выбирают 10 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдет не более 3 конденсаторов, используя формулы Бернулли и Пуассона.

6.  Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,006. Поступило 100 вызовов. Определить вероятность того, что будет более 2 «сбоев».

7.  Из партии в 20 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. Случайная величина X число бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: , . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти .

9.  В итоговой контрольной по теории вероятностей студенты (каждый) делают в среднем по четыре ошибки. Какова вероятность, что конкретная работа содержит не более двух ошибок? Сколько в среднем надо проверить работ, чтобы обнаружить работу, содержащую не более двух ошибок?

10.  Солнечная батарея состоит из 100 элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение одного года работы равна 0,03 и не зависит от состояния других элементов. Найдите среднее значение числа элементов, которые откажут в течении 10 лет, если срок службы элемента имеет показательное распределение.

11.  Случайная величина имеет нормальное распределение со средним равным 2 и неизвестным значением . Определить , если известно, что .

12.  В данном хозяйстве урожайность куста картофеля, выраженная в килограммах, имеет следующее распределение: Определить, какое наименьшее количество кустов картофеля надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9 снять урожай не менее 800 кг (использовать ЦПТ).

Вариант 26

1.  Колода карт (36 листов) делится на две равные части. Найти вероятность того, что все тузы будут в одной из пачек.

2.  Найти вероятность того, что корни уравнения вещественны, если коэффициенты и любые числа, удовлетворяющие условиям: .

3.  Система S состоит из трех независимых подсистем Sа , Sb и Sc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Sа и Sc состоят из двух независимых дублирующих блоков аk и ck (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

 

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(аk) = 0.7, P(b) = 0.99, P(сk) = 0.85.

4.  В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй, переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первого ящика, черный.

5.  Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят в среднем 9 конденсаторов. Для контроля выбирают 7 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них из строя за время Т выйдет менее 3 конденсаторов, используя классическое определение вероятностей и формулу Пуассона.

6.  Вероятность прорастания 1 семени равна 0,75. Посажено 200 семян, какова вероятность, что всхожесть составит не менее 70 %.

7.  Игральная кость бросается 2 раза. Случайная величина Х – сумма выпавших очков. Найти ряд распределения случайной величины X и основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение).

8.  Задана плотность распределения случайной величины Х: . Требуется найти коэффициент , функцию распределения , построить графики и , вычислить и , , коэффициент асимметрии и эксцесс распределения , найти .

9.  Число дефектных пикселей для каждого монитора некоторой партии имеет распределение Пуассона со средним значением 4 пиксела. Монитор признается негодным, если он содержит более 10 дефектных пикселей. Каков средний процент брака для данной партии мониторов?

10.  Устройство состоит из 100 элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение одного года работы равна 0,1 и не зависит от состояния других элементов. Найдите среднее значение числа элементов, которые откажут в течении 3 лет, если срок службы элемента имеет показательное распределение.

11.  Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением и среднеквадратическим отклонением s = 0,06 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на e = 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.

12.  Сотрудники института экономики посадили картофель в общей сложности на 2500 сотках. Урожай картофеля (в мешках) с каждой сотки — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром 5. Пользуясь ЦПТ, найти симметричные относительно среднего значения границы, в которых с вероятностью 0,98 будет заключен общий урожай картофеля. Оценить вероятность попадания в найденный интервал, используя неравенство Чебышева.