Лекция 1 (стр. 3 )

ПФЭ для трех факторов позволяет оценить раздельно основные эффекты A, B, C, эффекты взаимодействия первого порядка AB, BC и AC и взаимодействия второго порядка ABC.

Матрицы ПФЭ обладают особыми свойствами, позволяющими эффективно использовать их при исследованиях. Если j – номер фактора, j=1,2,...k, i -номер опыта, i=1,2,…n, то

1.  Условия симметричности матрицы относительно центра эксперимента;

N ∑Xij = 0 i=1

N 2 ∑Xij = N i=1

 

2.  Условие нормировки, следует из того, что xij равно либо +1, либо –1;

3.  Условие ортогональности (ортогональной называется матрица, для которой скалярное произведение всех вектор – столбцов равно нулю);

N ∑XijXiu = 0, j≠u i=1

 

При этих условиях каждому набору значений одного фактора на любом уровне соответствует равное количество +1 и –1 из любого столбца матрицы. Потому средний уровень влияния прочих эффектов равен нулю. Отсутствует корреляция между факторами, и коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга;

4.  Матрица является рототабельной. Это значит, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Дисперсии значений параметра оптимизации равна для точек, расположенных на одинаковых расстояниях от центра планирования; дисперсии для всех коэффициентов равны и минимальны.

Выбор нулевой точки (центра эксперимента) соответствует оптимальным значениям факторов на основе априорной информации, опыта экспериментатора и т. д. Для качественных факторов возможны случаи, когда нулевая точка не имеет физического смысла (+1 и -1). В этом случае для оценки воспроизводимости опытов выбирается один из уровней или такая оценка производится на обоих уровнях.

При выборе интервала варьирования ∆x=1 руководствуются следующим:

1.  Все значения факторов в матрице должны быть реализуемыми, т. е. должны находиться в области существования данных факторов.

2.  Величина интервала +1 до –1 должна существенно превышать ошибку фиксирования данного фактора.

3.  Интервал варьирования данного фактора должен обеспечивать влияние на входные параметры процесса.

Благодаря симметричности и ортогональности возможен простой прием получения коэффициентов математической модели поверхности отклика. Выделим формулу коэффициентов с использованием Метода наименьших квадратов.

_ y = a0 + a1x1 + a2x2

Пусть имеются два фактора x1 и x2 и матрица полного факторного эксперимента. Функция отклика имеет вид:

Так как Метод наименьших квадратов основан на минимуме суммы квадратов отклонений, то взяв частные производные по a0, a1, a2, и используя свойства матриц можно записать систему в виде

т. е. система распалась на b+1 независимых уравнений, откуда следует общая формула расчета коэффициентов

Для a0 все xoi = +1.

Коэффициенты уравнения (или линейной модели) показывают степень влияния данного фактора на параметр оптимизации, и на какую величину изменяется этот параметр при изменениях фактора от нулевого уровня до верхнего.

Часто используется понятие эффект фактора, который численно равен удвоенному коэффициенту и соответствует вкладу фактора в изменение параметра оптимизации при переходе фактора с нижнего уровня на верхний.

ПФЭ позволяет получить линейную модель процесса. Исходную матрицу можно расширять. Запишем ПФЭ 2^2 дополнительные столбцы для произведений факторов.

Расширенная матрица ПФЭ 2^2

N	X0	X1	X2	X1X2	X1^2	X2^2	Y
1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	y1
2	+1	+1	-1	-1	+1	+1	y2
3	+1	-1	+1	-1	+1	+1	y3
4	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y4

Из ПФЭ найден коэффициент при члене X1X2

При этом столбцы X1 и X2 являются основными.

По ним строится матрица, а столбцы X0 и X1X2 используются для расчета.

Произведение факторов X1X2 называется взаимодействием факторов, а коэффициент 2a1,2 – эффектом взаимодействия.

X1X2 – взаимодействие первого порядка;

X1X2X3 – взаимодействие второго порядка и т. д. Число возможных взаимодействий какого либо порядка можно рассчитать по формуле сочетаний

k - число факторов;

r – число элементов во взаимодействие.

Т. е. Xo и X1^2 и X2^2 идентичны, то пользуясь ПФЭ определить коэффициенты при этих членах невозможно, т. е. нельзя сказать является ли величина ao истиной или на нее оказали влияние X1^2 и X2^2.

Если считать, что неизвестным истинным является некоторое αo, то вычисленная ao будет смешанной оценкой αo, т. е.

Полным факторным экспериментом следует пользоваться лишь тогда, когда имеется уверенность, что функция отклика в пределах пространства варьирования факторов линейна или линейное приближение удовлетворяет исследователя.

Дробный факторный эксперимент

(ДФЭ)

ДФЭ позволяет оптимально использовать пространство независимых переменных: снизить погрешность определения коэффициентов и получить простые формулы для их вычисления. Но число опытов может оказаться неприемлемо большим (число факторов 10è N=2^10==1024). Поэтому желательно сократить число опытов с сохранением оптимальных свойств матрицы.

Рассмотрим простейший случай матрицы ПФЭ для 2 факторов.

y=a0+a1x1+a2x2+a12x1x2

Если есть омнование предпологать, что a12=>0 , т. е. эффект взаимодействия мал, в таблицу ПФЭ можно включить вместо x1x2 третий фактор x3, который в опытах будет принимать значения, соответствующие столбцу x1x2.Запишим новую таблицу ДФЭ для трех факторов.

N	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y
1	+	-	-	+	+	-	-	+	y1
2	+	+	-	-	-	-	+	+	y2
3	+	-	+	-	-	+	-	+	y3
4	+	+	+	+	+	+	+	+	y4

В этой таблице совпадают столбцы x0, x1x2x3, для x1 и x2x3, для x2 и x1x3, для x3 и x1x3, т. е. рассчитанные коэффициенты будут смешанными оценками.

a0 → α0+ α123; a1 → α1+ α23; a2 → α2+ α13; a3 → α3- α12;

Это значит, что найти истинное значение a0, a1, a2 и a3 из такого эксперимента нельзя, но полагая, что эффекты взаимодействия стремятся к 0, считаем

a0 ≈ α0; a1 ≈ α1; a2 ≈ α2; a3 ≈ α3;

Возможность сокращения числа опытов появляется при введении некоторых допущений о свойствах функции отклика, с риском ошибочно оценить линейные эффекты за счет влияния взаимодействия.

Факторный план может быть уменьшен на практике двум количество раз без нарушения ортогональности. Матрица представляет собой ½, ¼, 1/8 и т. д. реплику, в которой столбец одного из эффектов получается перемножением столбцов других эффектов. Это произведение, взятое со знаком + или - называется генерирующим соотношением для x3 –x1x2. Обозначим ДФЭ 2^k-p, где k – общее число факторов, p – число эффектов взаимодействия, замененных новыми факторами (в нашем случае ДФЭ 2^3-1 (полуреплика)). Необходимо, чтобы остающееся число опытов было больше числа факторов, иначе будут смешаны и линейные эффекты.

В общем случае, определять, какие эффекты смешаны, можно пользуясь определенным контрастом, представляющим собою произведение генерирующего соотношения на генерируемый фактор. Контраст всегда равен +1 или –1.

Для того, чтобы определить какой эффект смешан с данным нужно умножить определяющий контраст на фактор. Так для трех факторов x1x2x3=1, то x1 будет смешанным с x2x3.

x1^2*x2x3=x2x3, т. к. x1x1=1

Для полуреплик 2^4-1 возможны 8 решений при выборе генерирующих соотношений

x1=x1x2; x4=x2x3

x4=-x1x2; x4=-x2x3

x4=-x1x3; x4=x1x2x3

x4=x1x3; x4=-x1x2x3

Поуреплики x4=x1x2x3 и x4=-x1x2x3 имеют максимальную разрешающую способность, т. к. линейные эффекты будут смешаны только с тройными взаимодействиями. Выбор полуреплик всегда связан с априорной информацией.

При большом числе факторов желательно еще снизить число опытов. Рассмотрим пять факторов. Если желательно выбрать полуреплику не с 16 а с 8 опытами, то используя ПФ для трех факторов (8 опытов) приравнять x4 парному взаимодействию, x5 - тройному, например

x4=x1x3, x5=x1x2x3

Тогда определяющие контрасты

1=x1x3x4 1=x1x2x3x5

Перемножим контрасты

1=x2x4x5

Разрешающая способность определяется обобщающим определяющим контрастом

1=x1x3x4=x1x2x3x5=x2x4x5

Система смешивания определяется последовательным умножением обобщающего определяющего контраста на фактор

x1=x3x4=x2x3x5=x1x2x4x5;

.

.

x4=x1x3=x1x2x3x4x5=x2x5;

x1x2=x2x3x4=x3x5=xx1x4x5 и т. д.

В данном случае выбрать ¼ реплику можно, лишь анализируя возможные комбинации взаимодействий.

Для выбора реплик большой дробности имеется лишь одна четкая рекомендация: если известно, что какое либо взаимодействие существенно, его по возможности не следует заполнять фактором и наиболее важный фактор следует ставить на место наиболее слабого взаимодействия. Допустим, необходимо выбрать 1/8 реплики для ПФЭ 2^6, т. е. 2^6-3, и сильным является взаимодействие x2x3, а из вводимых факторов x4, x5 и x6 наиболее сильный x4. Тогда следует выбрать генерирующие соотношения:

x4=x1x2x3; x5=x1x2; x6=x1x3;

Определяющие контрасты при этом

1=x1x2x3x4=x1x2x5=x1x3x6

Обобщающий определяющий контраст

1=x1x2x3x4=x1x2x5=x1x3x5=x1x3x6=x3x4x5=x2x4x6=x2x3x5x6

Система смешивания эффектов будет (учитывая эффекты не выше тройных взаимодействий)

a1= α1= α25+ α36+ α234+ α456;

a2= α2+ α15+ α46+ α134+ α356;

…………………………………..

a23= α23+ α56+ α126+ α135+ α245+ α346 и т. д.

В таблице приведена матрица планирования для этого случая таблица.

Чтобы исключить влияние систематических ошибок рекомендуется случайная последовательность опытов матрицы.

Если в один день можно реализовать лишь 4 опыта, то ставить их в таком порядке, как в таблице нецелесообразно, т. к. если условия одного дня отличаются от другого, то это окажет влияние на величину a3.

ДФЭ 2^6-3

N	x0	x1	x2	x3	x5	x6	x4
x1x2	x1x3	x1x2x3
1	+	+	+	+	+	+	+
2	+	-	+	+	-	-	-
3	+	+	-	+	-	+	-
4	+	-	-	+	+	-	+
5	+	+	+	-	+	-	-
6	+	-	+	-	-	+	+
7	+	+	-	-	-	-	+
8	+	-	-	-	+	+	-

Действительно, если на другой день по какой либо причине возникает систематическая ошибка ε, тогда