Лекция 1 (стр. 4 )

a3=1/8*[y1+y2+y3+y4-(y5+ ε+y6+ ε+y7+ ε+y8+ ε)]=α3-ε/2

Рекомендуется, пользуясь таблицей случайных чисел, определить случайный порядок реализации опытов 7,6,3,8,2,5,4,1.

Вычисление ошибок и анализ модели

Для оценки получаемых в результате планирования результатов необходимо знать ошибку воспроизводимости опытов dв. Можно использовать несколько путей получения dв

1.  Ошибка опытов может быть известна по проведенным ранее исследованиям либо измерениям.

2. 

Ошибку опытов определяют по n специально поставленным параллельным опытам обычно на основном уровне. Тогда

3. Если матрица планирования не насыщена, то ошибку воспроизводимости можно вычислить (смешанной с ошибкой неадекватностью модели) по формуле

где N – число опытов в матрице;

aj - коэффициент модели;

k - число членов в уравнении.

В связи с малым числом степеней свободы N-k-1 и эффектом смещения пользоваться этой формулой можно лишь в крайнем случае.

4. Дублирование опытов в матрице. При дублировании находят дисперсии по строкам для m параллельных опытов.

а затем усредняют эти дисперсии по всей матрице

Если в дальнейшем для расчета используют средние данные yj, дисперсия воспроизводимости для такой матрицы будет равна

При использовании дисперсии необходимо проверить их на однородность по критерию Кохрена. Если опыты дублированы, то дисперсия воспроизводимости для средних результатов

Анализ адекватности модели

Проведя эксперимент, можно воспользоваться отдельными результатами для выводов, однако всегда представляют результаты в виде модели процесса.

Опыты были выполнены с ошибками и!!!! хорошо не были подобраны коэффициента модели, всегда будет существовать μi !!!!! – предсказанного по модели и экспериментального результата

k μi=yi-∑ajxji j=0

 

Полученное уравнение является наилучшим среди всех линейных уравнений в смысле min квадратов невязок, называется остаточной суммой квадратов.

Под адекватностью понимают пригодность модели. Смысл пригодности формулируется экспериментатором. Вычислим, например, остаточную дисперсию, равную остаточной сумме квадратов, деленной на число степеней свободы

f=N-k-1

Параллельные реализации одного опыта соответствуют в этом случае одному опыту. Если поставлены нулевые опыты для оценки дисперсии воспроизводимости, но результат этих опытов не используется при подсчете коэффициентов модели, и не участвует при расчете степеней свободы.

После определения и дисперсии воспроизводимости эксперимента по критерию Фишера проверяют адекватность модели.

Проверка значимости коэффициентов

Дисперсия коэффициента регрессии aj определяется по формуле

например, для ПФЭ двух факторов

aj=(y1+y2+y3+y4)/4

Доверительный интервал для aj строится обычным образом с использованием t-критерия

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

Рассмотрим пример:

Составить план 2^5-2 для пяти реагентов с нулевыми уровнями q10=5, q20=20, q30=40,q40=60, q50=100 с интервалами варьирования ∆q1=1, ∆q2=4, ∆q3=5, ∆q4=10, ∆q5=20. Записать систему смешения эффектов, осуществить рандомизацию плана.

Результат эксперимента: ε1=60, ε2=50, ε3=70, ε4=60, ε5=80, ε6=50, ε7=40, ε8=60.

Найти модель, оценить значимость коэффициентов и адекватность модели, осуществить крутое восхождение (3-4 шага).

План 2^5-2 для пяти реагентов является Дробным планом из восьми опытов. Поэтому вначале формируем план 2^3 и затем заменяем взаимодействия q2q3 и q1q2q3 новыми факторами q4 и q5.

ДФЭ 2^5-2 и опыты крутого восхождения

Показатели	фактор	Функция отклика ε	предсказ. значение ε
q1	q2	q3	q4	q5
основной уровень	5	20	40	60	100
интервал варьирования	1	4	5	10	20
верхний уровень	6	24	45	70	120
нижний уровень	4	16	35	50	80
опыт:
1	+	+	+	+	+	60	50
2	-	+	+	+	-	50	55
3	+	-	+	-	-	70	75
4	-	-	+	-	+	60	55
5	+	+	-	-	-	80	75
6	-	+	-	-	+	50	55
7	+	-	-	+	+	40	50
8	-	-	-	+	-	60	55
нулевые опыты	0	0	0	0	0	56.5	58.75
0	0	0	0	0	63.5	58.75
0	0	0	0	0	62	58.75
0	0	0	0	0	58	58.75
коэффициенты	3,75	-	-	-6,25	-6,25
рабочий шаг	0,6	-	-	-10	-20
Опыты крутого восхождения
опыт
1	5,6	20	40	50	80	78	-
2	6,2	20	40	40	60	84	-
3	6,8	20	40	30	40	72	-

Рандомизация эксперимента заключается в том, что опыты осуществлялись в последовательности 8,3,1,7,5,4,6,2. Обобщающий определяющий контраст

1=q2q3q4=q1q2q3q5=q1q4q5

Система смешанных эффектов

a0=α0+ α234+ α1235+ α145;

a1=α1+ α1234+ α235+ α45;

a2= α2+ α34+ α135+ α1245;

a3= α3+ α24+ α125+ α1245;

a4= α4+ α23+ α12345+ α15;

a5= α5+ α2345+ α123+ α14;

Находим коэффициент

a1=(60-50+70-60+80-50+40-60)/8=3.75

Соотверственно, a2=1.25, a3=1.25, a4=-6.25, a5=-6.25, a0=58.75.

Среде значение нулевых опытов –60.

Определяем ошибку опыта

dв=3.29

Определяем ошибку коэффициентов

Для принятой доверительной вероятности p=95% и числа степеней свободы ошибки 4-1=3, t=3.18, предельное значение значимого коэффициента.

ajпред=tdaj=3.18*1.16=3.75

Следовательно, значимыми являются коэффициенты a1, a4, a5.

Проверим адекватность модели

ε= 58.75+3.75q1-6,25q4- 6,25q5

ε1= 58.75+3.75-6,25-6,25=50

ε2= 58.75-3.75-6,25+6,25=55

ε3= 58.75+3.75+6,25+6,25=75

ε4= 58.75-3.75+6,25-6,25=55

ε5= 58.75+3.75+6,25+6,25=75

ε6= 58.75-3.75+6,25-6,25=55

ε7= 58.75+3.75-6,25-6,25=50

ε8= 58.75-3.75-6,25+6,25=55

Находим остаточную дисперсию

Находим отношение

Fтабл=9.12

F< Fтабл

=> модель адекватна

Рабочий шаг по q5 принимаем Δ5=20, тогда расчетный коэффициент будет равен 0.16 рабочие шаги по остальным переменным будут

Δ1=3.75*0.16*1=0.6 ,

Δ4=-6.25*0.16*1=-10

Следовательно, при крутом восхождении, которое начинается от основного уровня на первом опыте, будут иметь значения 5.6;20;40;50;80. Ставим опыт и получаем извлечение 78% делаем следующий шаг, получаем 84%, затем 72%. Следовательно, при расходах реагентов q1=6.2;q2=20;q3=40;q4=40;q5=60 достигнуто наилучшее извлечение.

Если есть необходимость дальнейшего поиска, следует принять полученные расходы за основной уровень и повторить еще раз.