МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ АЛГОРИТМА АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Н. Н. КУЦЫЙ, Л. Н. СЕРДЮК
(ИРКУТСК, ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
В настоящей статье предлагается метод определения достаточного количества экспериментов при исследовании области работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации в определенном диапазоне изменения параметров оператора объекта регулирования, и приводятся примеры его использования при различных вариантах поверхности отклика.
Известна задача исследования и оценивания работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией в определенном диапазоне параметров объекта регулирования [1, 2].
Эта задача может быть решена только с помощью компьютерных экспериментов, так как объектом исследования является автоматическая система регулирования импульсного действия, аналитическое исследование которой затруднено вследствие большого запаздывания, а также ее существенной нелинейности.
Обращение к экспериментальным исследованиям вообще, и в частности к компьютерным, требует их планирования.
В данной работе рассматривается разработанная на основе метода крутого восхождения многофакторная методика определения количества экспериментов в контексте исследования области работоспособности алгоритма автоматической параметрической оптимизации, сформированного на базе теории чувствительности [3-6].
Автоматическая система регулирования с широтно-импульсной модуляцией. Структурная схема исследуемой АСР представлена на рис.1,
Рис. 1. Структурная схема АСР с ШИМ
где e(t) – ошибка системы регулирования; l(t) – задающее воздействие; u(t)– регулирующее воздействие; x(t) – выходная координата АСР; Gie – оператор импульсного элемента; Gp(p) – оператор объекта регулирования; p=d/dt– оператор дифференцирования.
Процессы, протекающие в автоматической системе регулирования описываются следующим образом:
(1)
где q = (q1,…,qm) – вектор настраиваемых параметров;
Используем критерий оптимальности, который наиболее широко распространен в практике автоматического регулирования:
(2)
Имеем параметры q1,…,qm, значения которых необходимо определить, исходя из минимума заданного критерия оптимальности I.
Оператор объекта регулирования выглядит следующим образом
 |
(3)
где kим – коэффициент передачи исполнительного механизма; kоб - коэффициент объекта регулирования; Тоб1, Тоб2 - постоянные времени; tоб – запаздывание.
Для нахождения параметров q1,…,qm используется алгоритм АПО.
Алгоритм автоматической параметрической оптимизации. Алгоритм АПО, основанный на градиентных процедурах, записывается следующим образом
 |
(4)
где qj[l] – значение настраиваемого параметра на l-ом шаге работы алгоритма оптимизации;
h[l] – величина l-го шага, которая может изменяться по тому или иному алгоритму.
Ставится задача исследовать и оценить работоспособность алгоритма АПО при следующих параметрах объекта регулирования:
 |
(5)
Необходимо назначить шаг. Количество шагов минимизировать. Другими словами, определить минимальное количество точек проведения эксперимента, которое позволило бы сделать достоверный вывод, что в этой области алгоритм АПО работоспособен. Выбор экспериментальных точек следует начинать с определения экстремальных значений изменения рассматриваемых параметров объекта регулирования, так как это позволит получить область исследуемых значений, охватывающую всю совокупность данных.
Выбор плана эксперимента. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем.
Если число факторов равно k, то при их варьировании на двух уровнях (-1; +1) число сочетаний уровней факторов или, что то же самое, число опытов N эксперимента определяется выражением N=2k.
Планирование ПФЭ с любым числом факторов k сводится к записи в матрицу всех неповторяющихся сочетаний уровней этих факторов.
Любой эксперимент сопровождается погрешностями (ошибками воспроизводимости). Для оценки воспроизводимости необходимо осуществить параллельные опыты, то есть каждый i-й опыт матрицы планирования выполняется в конечном итоге несколько раз. Число серий n характеризует параллельность опытов матрицы планирования. Каждая серия должна включать N неповторяющихся опытов матрицы планирования.
Необходимо отметить, что оценка воспроизводимости опытов по сути сводится к расчету так называемой дисперсии воспроизводимости.
С целью уменьшения детерминированных факторов при реализации плана ПФЭ необходимо провести так называемую рандомизацию, то есть опыты каждой серии выполняются не по порядку, как они записаны в матрице планирования, а в случайной последовательности.
Выполнение ПФЭ состоит в последовательном проведении опытов каждой серии. В пределах серии опыты выполняются в очередности, полученной в результате рандомизации.
Метод крутого восхождения. В основе метода лежит идея, согласно которой к экстремуму надо двигаться по направлению, вдоль которого отклик меняется сильнее всего, т. е. по направлению градиента функции отклика
, (6)
где 
- единичные векторы вдоль координатных осей x1, x2, …, xk.
Движение к экстремуму начинается из некоторой начальной точки, выбор которой производится на основании некоторых дополнительных соображений. В окрестности начальной точки требуется найти градиент функции отклика. Для этого используется линейная математическая модель, которая может быть получена средствами полного факторного эксперимента
(7)
С учетом соотношения (6) имеем
(8)
Вдоль направления, задаваемого градиентом, следует двигаться в сторону экстремума. Движение осуществляется заданием координат последовательности точек, в которых надо ставить эксперименты.
Некоторый фактор xl, для которого значение коэффициента bl является максимальным, принимается за базовый. Для него устанавливается шаг движения 
в натуральных значениях. Шаги для других факторов вычисляются из соотношения
(9)
Таким образом, опыт ставится до тех пор, пока не достигается точка, в которой отклик является наибольшим для данного направления. Эта точка не обязательно является экстремумом функции отклика. Поэтому, когда на каком-то шаге отклик начнет уменьшаться, следует снова построить линейную модель, найти новое направление движения и двигаться по нему. Процесс повторяется до тех пор, пока не достигается точка, в которой градиент можно считать близким к нулю. Она и будет искомой точкой экстремума функции отклика.
Применим многофакторный подход к планированию экспериментов при исследовании работоспособности алгоритма АПО систем с ШИМ.
Необходимо найти значения k об (Х1) и Tоб (Х2), при которых …
Исследования проводятся в достаточно широком диапазоне изменения параметров оператора объекта регулирования, что обуславливает значимость результатов исследования:
0,5 ≤ k об ≤ 2; 20 ≤ Tоб ≤ 100.
В настоящей работе предлагается методика разбиения области варьирования параметров АСР на сетку, в узлах которой и проводятся эксперименты, доказывающие работоспособность алгоритма АПО.
Для выбора шага сетки (плана эксперимента) разработан следующий алгоритм.
Так как единицы измерения у параметров разные, то преобразуем их в относительные единицы.
Выбираем центральную точку рассматриваемой области и в ней в ходе работы алгоритма АПО определяем значения критерия оптимальности I*(q*) и вектора настраиваемых параметров q* . Затем, от центральной точки в положительном и отрицательном направлении изменения каждого из параметров определяем точки, в которых значение критерия I(q*) превышает значение I*(q*) на величину допустимой погрешности, которая изначально задается исследователем, например 0,5%. Для нашего случая получается четыре таких точки. Из них выбираем ту, шаг к которой от центральной точки является минимальным. Именно с этим шагом и разбивается вся область.
Реализация предлагаемого алгоритма представлена на рис.2 и 3.
Рис.2.
Рис.3.
Доказательством работоспособности алгоритма во всей области будет его работоспособность в каждой точке сетки области. То есть, в каждой точке плана выполняется условие
(6)
где 
- заранее принятое малое значение.
Так как шаг выбран достаточно малым, то справедлива адекватность работы алгоритма АПО и в межузловом пространстве. Для подтверждения работы алгоритма в узловых точках плана эксперимента достаточно убедиться в сходимости алгоритма АПО для каждой точки, запущенного при различных начальных векторах настраиваемых параметров q.
Рис.4. Реализация предлагаемой методики разбиения области варьирования параметров АСР на сетку.
Поскольку имеются два фактора с двумя уровнями, то это есть ПФЭ 22, поэтому реализуем факторный план из 4 опытов с дополнительным опытом в центре эксперимента для проверки адекватности. Центром плана выбираем значения k об =1,25 и Tоб =60, нижними уровнями считаются k об =0,5 и Tоб=20, а верхними k об =2 и Tоб =100. Результатом опыта yn является получение значения критерия оптимальности I. Матрица планирования имеет вид, представленный в табл.1.
Таблица 1
Матрица планирования ПФЭ 22
№ опыта, n | Независимые факторы, xi | Результат опыта (отклика), yn | |
x1 | x2 | ||
1 | -1 | -1 | y1 |
2 | +1 | -1 | y2 |
3 | -1 | +1 | y3 |
4 | +1 | +1 | y4 |
5 | 0 | 0 | y5 |
Выполнение эксперимента по этому плану дает значения отклика (в %).
Если представить математическую модель в виде неполного квадратичного уравнения
, (7)
то при помощи формул
легко найти коэффициенты bi .
Теперь проведем процедуру крутого восхождения.
ЛИТЕРАТУРА
Куцый, параметрическая оптимизация дискретных систем регулирования: Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. – М., 1997. – 44 с. Высотская, и исследование алгоритма автоматической параметрической оптимизации для систем с широтно-импульсной модуляцией. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. – Иркутск, 20с. Адлер, эксперимента при поиске оптимальных условий/, , . – М.: Наука, 1976. – 279 с. Папуловский, эксперимента в промышленности: Учеб. пособие. – М.: Моск. ин-т радиотехники, электроники и автоматики, 1992. – 68 с. Костюк, параметрическая оптимизация систем регулирования/, – М.: Энергоиздат, 1981. – 96 с. Розенвассер, теории чувствительности в автоматическом управлении/, . – Л.: Энергия, 1971. – 338 с.