Электростатика, постоянный электрический ток, электромагнитные явления (стр. 10 )

.

Явление электромагнитной индукции. Самоиндукция

Электромагнитная индукция – возникновение электродвижущей силы Ei (ЭДС электромагнитной индукции – распределенной) в проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле или движущимся в постоянном магнитном поле.

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): при пересечении потока магнитной индукции отрезком проводника в нем возникает ЭДС электромагнитной индукции, которая прямо пропорциональна скорости изменения величины магнитного потока. В замкнутом проводнике возникает индукционный ток. При этом

Ei,

где dФ/dt – скорость изменения магнитного потока.

Дифференциальная форма закона электромагнитной индукции:

rotE = – dB/dt.

Правило Ленца: индукционный ток всегда направлен так, что создаваемый им поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, стремится препятствовать причине, его порождающей.

Самоиндукция – явление возникновения ЭДС электромагнитной индукции в каком–либо контуре вследствие изменения магнитного потока, создаваемого электрическим током этого контура.

Величина ЭДС самоиндукции определяется по формуле

Eс = – dФ/dt.

ЭДС самоиндукции, возникающая в бесконечно длинном соленоиде:

= ,

где L = mm0n2lS = mm0n2V = (mm0N2S)/l – коэффициент самоиндукции или индуктивность соленоида.

Индуктивность (коэффициент индуктивности) – физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в проводнике при скорости изменения тока в нем, равной 1 А/с.

Связь потока магнитной индукции с током в проводнике:

Ф = Li.

Взаимная индукция – явление, в котором обнаруживается магнитная связь двух или более электрических цепей. Благодаря этой связи возникает ЭДС индукции в одном из контуров при изменении тока в другом. Количественной характеристикой магнитной связи электрических цепей является взаимная индуктивность.

Изменение тока в цепи, состоящей из соединенных последовательно сопротивления R и индуктивности L:

а) при включении источника с ЭДС E

;

б) при выключении источника с ЭДС E

.

Закон Ома, при наличии в цепи конденсатора и сопротивления:

IR = U0 – q/C,

где q – заряд на обкладке конденсатора; q/C – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Изменение тока в цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R и емкости C:

а) при включении источника с ЭДС E

;

б) при выключении источника с ЭДС E

.

Уравнение для тока в цепи при наличии в ней источника с ЭДС E, сопротивления R, емкости C и индуктивности L, включенных последовательно:

.

Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии

магнитного поля

Энергия магнитного поля

W = .

Объемная плотность энергии магнитного поля – физическая величина, которая показывает, какой энергией обладает магнитное поле, занимающее единицу объема пространства:

wo = W/V.

Энергия магнитного поля соленоида

,

где V = S∙l – объем соленоида, заполненный однородным магнитным полем.

Объемная плотность магнитного поля длинного соленоида

.

Энергия dW неоднородного магнитного поля элемента объема dV

.

Энергия неоднородного магнитного поля, занимающего какой – либо объем пространства:

.

Движение заряженных частиц

в электрическом и магнитном полях

а) Движение заряженных частиц в электрическом поле совершается под действием силы

F = qE.

Уравнение движения частицы в электрическом поле:

.

Уравнения движения заряженной частицы в электрическом поле плоского конденсатора (в направлениях x и y):

Уравнение траектории движения частицы в электрическом поле плоского конденсатора:

.

Угол отклонения частицы от первоначального направления при ее движении в электрическом поле плоского конденсатора

.

Скорость частицы в электрическом поле плоского конденсатора:

а) в направлении x

;

б) в направлении y

.

б) движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

Сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, пропорциональна величине заряда, скорости частицы индукции магнитного поля и синусу угла между направлениями векторов скорости v и индукции магнитного поля B (сила Лоренца):

Fл = q∙v∙B∙sina,

Fл = q∙[v´B].

Основные свойства силы Лоренца:

1) если скорость частицы v = 0, то Fл = 0; на покоящиеся заряды сила Лоренца не действует;

2) если частица движется вдоль силовой линии магнитного поля, то Fл = 0, т. к. sina = 0;

3) если движение частицы происходит перпендикулярно силовым линиям магнитного поля (p = p/2), то Fл = Fmax = q∙v∙B;

4) так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, следовательно, к любому участку траектории движения заряженной частицы (элементу перемещения), то она не совершает работу, не изменяет кинетическую энергию и скорость частицы;

5) в однородном магнитном поле величина силы Лоренца не изменяется.

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, если скорость частицы перпендикулярна направлению магнитного поля, происходит по окружности.

Радиус окружности, по которой движется заряженная частица в однородном магнитном поле:

.

Период обращения частицы при ее движении в однородном магнитном поле – время, за которое частица сделает один полный оборот:

.

Частота обращения частицы при ее движении в однородном магнитном поле – число оборотов, совершаемых частицей, движущейся в однородном магнитном поле по окружности:

.

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, если скорость частицы направлена под углом к магнитному полю, происходит по винтовой линии (спирали).

Шаг винтовой линии (спирали) определяется соотношением

h = vt×T = vt×cosa×T = 2pv0∙cosa/[(q/m)B].

Сила, действующая на движущийся точечный заряд q в электромагнитном поле (формула Лоренца):

Fл = Fe + Fm = q∙(E + [v´B]),

где q – заряд частицы; E – напряженность электрического поля; B – индукция магнитного поля; v – скорость частицы относительно системы координат, в которой вычисляются величины F, E, B.

Скорость дрейфа частицы, если электрическое и магнитное поля взаимно–перпендикулярны:

u = E/H.

Гальваномагнитные явления

Гальваномагнитные явления – совокупность явлений, связанных с действием магнитного поля на электрические (гальванические) свойства твердых проводников, по которым течет ток.

Эффект Холла – возникновение в твердом проводнике с током плотностью j, помещенном в магнитном поле H, электрического поля в направлении, перпендикулярном H и j.

Напряженность электрического поля (поля Холла)

EH = R∙H∙j sina,

где a – угол между векторами H и j (a < 1800);

R – постоянная Холла – основная количественная характеристика данного эффекта. Знак R положителен, если j, H и EH образуют правовинтовую систему координат.

Величина постоянной Холла:

1) для изотропных проводников, в частности для поликристаллов

R = 1/ne = m/s,

где n – число носителей зарядов в единице объема; e – величина заряда;

m = et/m – подвижность носителей зарядов; s – удельная электропроводность; m – эффективная масса; t – время между двумя последовательными соударениями с рассеивающими центрами;

2) для анизотропных веществ

R = r/en,

где r – величина, близкая к единице, зависящая от направления H относительно кристаллографических осей;

3) в полупроводниках – в электропроводности участвуют одновременно электроны проводимости и дырки, поэтому:

а) для слабых полей

;

б) для сильных полей

,

где sэ, sд – парциальные проводимости электронов и дырок;

nэ, nд – концентрации электронов и дырок;

в) при nэ = nд – знак R соответствует знаку основных носителей и для всех значений H

.

Электромагнитные колебания и волны

Собственные электромагнитные колебания происходят в колебательном контуре, в котором отсутствует активное сопротивление R.

Уравнение собственных электромагнитных колебаний

,

.

Решение уравнения собственных электромагнитных колебаний:

q = q0 sin(w0t + j0).

Период и частота собственных электромагнитных колебаний:

; ; .

Уравнения, согласно которым происходит изменение напряжения Uc и тока i в контуре с течением времени:

Uc = q/C = (q0/C)×sin(w0t + j0) = U0×sin(w0t + j0);

i = dq/dt = (q0w0)×cos(w0t + j0) = i0×cos(w0t + j0).

Затухающие электромагнитные колебания происходят в колебательном контуре, в котором имеется активное сопротивление R. В этом случае энергия, потерянная в контуре (рассеянная на активном сопротивлении R), не восполняется извне.

Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний:

.

Решение уравнения затухающих электромагнитных колебаний:

,

где – амплитуда колебаний в момент времени t;

d – коэффициент затухания;

знак "минус" означает, что с течением времени амплитуда колебаний уменьшается.

Условная циклическая частота и период затухающих электромагнитных колебаний:

w2 = ;

.

Характеристики затухающих электромагнитных колебаний:

а) декремент колебаний – отношение двух последовательных значений q, отличающихся по времени на период:

;

б) логарифмический декремент затухания

l = lnb = dT.

Условие возникновения апериодических колебаний:

R = 2(L/C)1/2.

Добротность колебательного контура

.

Вынужденные электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре, в котором действует ЭДС, изменяющаяся по какому–либо периодическому закону (например, по закону синуса или косинуса).

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

;

;

.

Решение уравнения вынужденных электромагнитных колебаний:

q = q1 + q2,

где q1 = q01×cos(wt –Y) – частное решение;

q2 = q02×exp(–dt)×sin (w0t + j0) – общее решение однородного уравнения.

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно описать уравнением вида:

q = q01×cos(wt – Y).

Амплитуда и фаза вынужденных электромагнитных колебаний определяется по следующим формулам:

= ;

= .

Резонанс – явление резкого возрастания амплитудных значений переменных величин при электромагнитных колебаниях (в колебательном контуре).

Резонансная частота – частота, при которой наблюдается резонанс (частота, соответствующая максимальному значению q01, а следовательно, тока и напряжения):

w = ,

где w0 = , а d = R/2L.

Амплитуды напряжения, тока и индуцируемой ЭДС в колебательном контуре определяются соотношениями

;

;

.

Разность фаз между током и внешней ЭДС:

.

Автоколебания – вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не зависят от характера внешнего воздействия, а определяются свойствами самой автоколебательной системы.

Электромагнитные волны – процесс распространения электромагнитных колебаний (переменного электромагнитного поля) в пространстве с конечной скоростью.

Источники электромагнитных волн – любой электрический колебательный контур; проводник, в котором существует переменный электрический ток.

Длина электромагнитной волны l – расстояние между двумя точками, колебания в которых отличаются по фазе на 2p (например, между двумя максимумами), или расстояние, на которое распространяется волна за время одного периода колебания T.

Деление электромагнитных волн производят по способам генерации, регистрации и их свойствам: радиоволны, световые волны, рентгеновское и g–излучения.

Поперечность электромагнитных волн заключается в том, что векторы напряженности электрического поля E и напряженности магнитного поля H взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v – скорости распространения волны.

Векторы напряженностей E и H переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновым уравнениям типа

; ,

где – оператор Лапласа;

– фазовая скорость;

e0 и m0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные;

e и m – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды;

c – скорость распространения света в вакууме.

Мгновенные значения векторов E и H в электромагнитной волне связаны между собой соотношением

.

Дифференциальные уравнения плоской синусоидальной волны:

;

.

Решения дифференциальных уравнений плоской синусоидальной электромагнитной волны имеют вид

E(r, t) = Em×sinw(t ± r/v); H(r, t) = Hm×sinw(t ± r/v),

где E(r, t), H(r, t) – мгновенные значения векторов E и H в данной точке пространства с координатой r и в данный момент времени t;

Em, Hm – их максимальные значения;

w = 2p/T = 2pn – круговая или циклическая частота;

n – частота колебаний;

v – скорость распространения волны.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей wэл и wм электрического и магнитного полей:

где S = w×v = E×H – модуль плотности потока энергии электромагнитной волны.

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны – вектор Умова–Пойтинга:

П = [E´H].

Импульс электромагнитного поля

,

где W – энергия электромагнитного поля;

c – скорость распространения электромагнитного поля в вакууме (скорость распространения света в вакууме).

Соотношение между массой и энергией свободного электромагнитного поля – универсальный закон природы:

W = m×c2.

Основные положения теории Максвелла.

Уравнения Максвелла

Первое положение: переменные электрическое и магнитное поля не могут существовать отдельно, независимо друг от друга; одно поле порождает другое. Они существуют всегда вместе в виде единого электромагнитного поля, которое в каждой точке пространства характеризуется векторами E и H.

Второе положение: электромагнитное поле, возникнув в одном месте пространства, не остается локализованным в нем, а распространяется от этого места в виде электромагнитной волны. Векторы E и H электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и перпендикулярны вектору скорости v, с которой распространяется волна.

Вихревое электрическое поле возникает в проводниках; обусловлено явлением электромагнитной индукции. Для него справедливо соотношение

,

где EB – вектор напряженности вихревого электрического поля.

Ток смещения – изменяющееся со временем электрическое поле, которое порождает магнитное поле так же, как и ток проводимости:

,

где D – вектор индукции электрического поля.

Плотность тока смещения в диэлектриках

,

где – плотность тока смещения в вакууме;

– плотность тока поляризации (тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике), который представляет собой смещение зарядов в неполярных молекулах, поворот диполей в полярных молекулах.

Полный ток – сумма токов проводимости (а также конвекционных) и смещения.

Плотность полного тока

,

где j – вектор плотности тока проводимости.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме:

а) первое уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. Оно выражает закон электромагнитной индукции:

,

где – циркуляция вектора напряженности результирующего поля, потенциального и вихревого;

E = Eq + EB – вектор напряженности результирующего электрического поля;

Eq – напряженность потенциального электрического поля (электрического поля, порождаемого электрическими зарядами);

EB – напряженность вихревого электрического поля.

б) второе уравнение отражает то свойство вектора B, что его линии замкнуты или уходят в бесконечность (теорема Остроградского–Гаусса для магнитного поля):

.

в) третье уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем:

.

г) четвертое уравнение показывает, что линии вектора D могут начинаться и оканчиваться на зарядах (теорема Остроградского–Гаусса для вектора D):

.

Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Материальные уравнения используются при решении уравнений Максвелла:

а) первое связывает векторы напряженности и индукции электрического поля:

;

б) второе связывает векторы индукции и напряженности магнитного поля:

;

в) третье – закон Ома в дифференциальной форме:

.

Законы сохранения для электромагнитного поля

Закон сохранения электрического заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую поверхность S, равен изменению заряда внутри объема V, ограниченного поверхностью S. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объеме V остается неизменным:

;

Закон сохранения энергии: изменение энергии электромагнитного поля в некотором объеме V равно сумме потока энергии электромагнитного поля и количества теплоты, выделившейся в этом объеме:

,

где w – энергия поля в единице объема;

Пn – проекция вектора Пойтинга–Умова на направление положительной нормали к поверхности dS;

Q – количество тепла, выделяемое в единицу времени.

Принцип относительности в электродинамике

Принцип относительности: электромагнитные явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность разделения электромагнитного поля на электрическое поле и магнитное поле – раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.

Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца: уравнения Максвелла не меняют своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета. Пространственные координаты, время, векторы поля E, H, B, D, плотность тока j и объемная плотность заряда r изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Квазистационарное электромагнитное поле

Вихревые токи (токи Фуко) – замкнутые электрические токи в массивном проводнике, возникающие при изменении пронизывающего его магнитного потока.

Магнитный скин–эффект – неравномерное распределение магнитного потока по сечению проводника.

Электрический скин–эффект – перераспределение плотности тока по поперечному сечению проводника, в результате чего ток сосредотачивается преимущественно в поверхностном слое проводника.

Для электромагнитных волн – электромагнитная волна, попадающая на поверхность проводника (металла, электролита или плазмы), быстро затухает, проникает лишь на глубину, называемую толщиной скин–слоя.

Толщина скин–слоя определяется по формуле

.

Распределение объемной плотности тока в проводнике

,

где ;

s – удельная проводимость проводника;

m – его относительная магнитная проницаемость;

w – частота тока.

Характеристический импеданс электромагнитного поля – отношение ортогональных друг к другу и касательных к поверхности компонент электрического Et и магнитного Ht полей в данной точке поверхности:

.

Характеристический импеданс на поверхности идеального проводника возникает при

Et = 0 и Zx = 0.

Характеристический импеданс в разомкнутой цепи (на идеальной магнитной поверхности) возникает при

Ht = 0, Zx = ¥.

Характеристический импеданс на поверхности реального проводника (в случае сильного скин–эффекта) возникает при

,

где s – удельная проводимость проводника;

m – его относительная магнитная проницаемость;

m0 – магнитная постоянная;

w – частота поля.

Характеристический импеданс бегущей волны (при отсутствии потерь энергии в среде) аналогичен волновому сопротивлению линии передачи и связан с плотностью потока энергии соотношением

,

где P – плотность потока энергии;

E^ и H^ – амплитуды поперечных компонент электрического и магнитного полей.

Характеристический импеданс в случае плоской однородной поперечной электромагнитной волны, распространяющейся со скоростью света в данной среде (характеристический импеданс среды), зависит только от свойств среды:

,

где e – диэлектрическая проницаемость среды.

Характеристический импеданс для вакуума характеризуется универсальной постоянной

Ом.

Цепи квазистационарного переменного тока

Квазистационарное электромагнитное поле – электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве мгновенно (поле, не обладающее конечной скоростью распространения).

Квазистационарный электрический ток – относительно медленно изменяющийся переменный ток, для мгновенных значений которого с достаточной точностью выполняются законы постоянных токов. При расчетах цепей таких токов необходимо учитывать возникающую ЭДС электромагнитной индукции.

Сосредоточенные параметры цепей квазистационарных электрических токов – сопротивления, индуктивности и емкости ветвей цепи.

Условие квазистационарности для синусоидальных переменных токов сводится к малости геометрических размеров электрической цепи по сравнению с длиной волны рассматриваемого тока.

Приложение 2. Таблицы физических величин

Таблица П2.1

Основные физические постоянные (округленные значения)

Физическая постоянная	Обозначение	Значение
Ускорение свободного падения	g	9,81 м/с2
Гравитационная постоянная	G	6,67×10-11м3/(кг×с2)
Постоянная Авогадро	NA	6,02×1023 моль-1
Молярная газовая постоянная	R	8,31 Дж/(моль×К)
Стандартный объем	Vm	22.4×10-3 м3/моль
Постоянная Больцмана	k	1,38×10-23 Дж/К
Элементарный заряд	е	1,60×10-19 Кл
Скорость света в вакууме	с	3,00×108 м/с
Постоянная Планка	h ħ	6,63×10-34 Дж×с 1,05×10-34 Дж×с
Радиус Бора	а	0,529×10-10 м
Магнетон Бора	mB	0,927×10-23 А/м2
Энергия ионизации атома водорода	Еi	2,18×10-18 Дж
Атомная единица массы	а. е. м.	1,660×10-27 кг
Электрическая постоянная	eo	8,85×10-12 Ф/м
Магнитная постоянная	mo	4p×10-7 Гн/м

Таблица П2.2