ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО

УФИМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И

СЕРВИСА

Дисциплина «Линейная алгебра»

Часть 1

Методические указания к выполнению

контрольной работы № 1 для студентов направления подготовки «Экономика» заочной формы обучения

УФА - 2011

Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить со­ответствующие разделы курса по пособиям и учебникам. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре высшей математики.

При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться ука­занных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каждой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для заме­чаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины. В конце работы следует проставить дату её выполнения и расписаться.

3. В тетради должны быть решены все задачи контрольной работы строго в соответствии со своим вариантом. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

5. Перед решением каждой задачи нужно выписать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие зада­чи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотиви­руя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как незачтенной, так и за­чтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправ­ления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями ре­цензента. Прорецензированную контрольную работу вместе со всеми исправле­ниями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, студент пред­ставляет к защите.

Введение

В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. В контрольную работу № 1 включены задачи 1, 2, 3, 4, 5, 6. Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента, например: если номер зачетной книжки заканчивается на 2, то студент выполняет задания: 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2.

Контрольные задания

Задача 1. Даны векторы и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1.1.  (1;2;3), (-1;3;2), (7;-3;5), (6;10;17).

1.2.  (4;7;8), (9;1;3), (2;-4;1), (1;-13;-13).

1.3.  (8;2;3), (4;6;10), (3;-2;1), (7;4;11).

1.4.  (10;3;1), (1;4;2), (3;9;2), (19;30;7).

1.5.  (2;4;1), (1;3;6), (5;3;1), (24;20;6).

1.6.  (1;7;3), (3;4;2), (4;8;5), (7;32;14).

1.7.  (1;-2;3), (4;7;2), (6;4;2), (14;18;6).

1.8.  (1;4;3), (6;8;5), (3;1;4), (21;18;33).

1.9.  (2;7;3), (3;1;8), (2;-7;4), (16;14;27).

1.10.  (7;2;1), (4;3;5), (3;4;-2), (2;-5;-13).

Задача 2. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задача 3. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертеж.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

4.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:1)длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.

4.1. А1(4;2;5), А2(0;7;2), А3(0;2;7), А4 (1;5;0).

4.2. А1(4;4;10), А2(4;10;2), А3(2;8;4), А4 (9;6;4).

4.3. А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4 (7;5;9).

4.4. А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4), А4 (4;7;8).

4.5. А1(10;6;6), А2(-2;8;2), А3(6;8;9), А4 (7;10;3).

4.6. А1(1;8;2), А2(5;2;6), А3(5;7;4), А4 (4;10;9).

4.7. А1(6;6;5), А2(4;9;5), А3(4;6;11), А4 (6;9;3).

4.8. А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1), А4 (2;3;7).

4.9. А1(8;6;4), А2(10;5;5), А3(5;6;8), А4 (8;10;7).

4.10. А1(7;7;3), А2(6;5;8), А3(3;5;8), А4 (8;4;1).

Задача 5 . Найти матрицу, обратную матрице

.

Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10.

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

Решения типовых задач

Задача 1. Даны векторы , , и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим

.

Задача свелась, таким образом, к решению системы

.

Решим систему методом Гаусса.

.

Итак, система приведена к виду

.

Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т. е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т. е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

.

Итак, система приведена к виду

.

Находим . т. е. вектор .

Задача 2. Даны векторы , , , и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство . Записывая в виде векторов – столбцов, получим .

Задача свелась, таким образом, к решению системы

Решим систему методом Гаусса.

. Итак, система приведена к виду .

Полученная система имеет единственное нулевое решение: , т. е. векторы линейно независимы и, следовательно, составляют базис. Вектор можно представить в виде , т. е. координаты вектора в этом базисе . Для отыскания координат вектора решим систему линейных уравнений методом Гаусса:

.

.

Итак, система приведена к виду

.

Находим , т. е. вектор .

Задача 3. Даны вершины треугольника : . Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник

Решение.

1) Длину стороны (длина вектора ) находим как расстояние между двумя точками плоскости и : .

Поэтому

2) Угол - это угол между векторами и. Координаты этих векторов: , . Таким образом .

Таким образом, получаем

3) Составим уравнение стороны : , или . Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или .

4) Пусть точка М середина стороны . Найдем ее координаты:

т..

Уравнение медианы находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки: , получим .

5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника . Например, выберем высоту, проведенную из вершины . Аналогично пункту 3) составим уравнение стороны :

.

Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или . Поскольку мы ищем точку пересечения высот треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений ; Таким образом, точка пересечения высот треугольника имеет координаты

6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины по формуле расстояния от точки до прямой :: . Таким образом

7) Стороны треугольника заданы уравнениями прямых:

: ; (см. пункт 3).

: ; (см. пункт 5).

: ; ; .

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости. Область треугольника лежит выше прямой , т. е. в полуплоскости, которая задается неравенством:. Прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая удовлетворяет неравенству: . Из двух полуплоскостей, которые разделяет прямая , выбираем ту, которая задается неравенством: .

Таким образом, область треугольника , определяется системой неравенств:

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды :

. Найти:

1)  длину ребра ;

2)  угол между ребрами и ;

3)  угол между ребром и гранью ;

4)  площадь грани ;

5)  объем пирамиды; 6) уравнение прямой ;

7) уравнение плоскости ;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.
 
Решение.

 

 

1)  Длина ребра есть длина вектора , координаты которого Т. к. длина вектора находится по формуле , то .

2)  Угол между ребрами и есть угол между векторами

=(-1,5,1) и =(4-6;4-1;10-1)=(-2;3;9), поэтому

Отсюда

3)  Обозначим угол между ребром и гранью через , тогда , где - угол между вектором =(-2;3;9) и нормальным вектором плоскости , которым является, например, векторное произведение векторов и

Т. к. векторное произведение векторов =() и находится по формуле , то . Итак, . Найдем теперь угол

значит

или

4) Т. к. длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах, то площадь S грани (площадь треугольника) найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. как половину длины векторного произведения этих векторов.

Т. к. (см. пункт 3), то

5) Т. к. объем V треугольной пирамиды, построенной на векторах , находится по формуле , где - смешанное произведение векторов , то

. Найдем смешанное произведение векторов

и по формуле

:

(определитель вычислен по схеме треугольников). Итак, .

6) Т. к. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид , то уравнение прямой найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора : .

7) Т. к. уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид ( нормальный вектор плоскости), то уравнение плоскости найдем как уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором (см. пункт 3):

или

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , найдем как уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора -нормального вектора плоскости (см. пункт 3): .

Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице . Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

Решение. Определитель матрицы

, значит обратная матрица существует. Найдем матрицу , транспонированную к : . Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы и составим из них присоединенную матрицу .

.

Найдем обратную матрицу :

.

Проверка:

.

.

Задача 6. Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы

3
 

2
 
Для удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с матрицей :

~ ~ ~

т. е. по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу приведем к диагональному виду:

тиии
 

3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы и исходную систему запишем в матричном виде.

.

Вычислим обратную матрицу . Определитель матрицы А , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к каждому элементу матрицы А алгебраические дополнения, составим из них матрицу , транспонируем ее и находим обратную матрицу .

=

.

Ответ:

Список литературы

1.  , Демидович курс высшей математики. 6-е изд. М., 2005.

2.  Высшая математика для экономистов.: Учебник для вузов / , , Под ред. проф. . – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003.

3.  Шипачев математика. Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк. 2003.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1,2. Учеб. пособие для втузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век» Мир и образование, 2003.

5.  Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. . – М.:ИНФРА – М, 2001.