ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Понятие производной
Производной от функции 
в точке 
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, то есть
.
Пример. Используя определение найти производную функции у=х3.
Решение.
1) Дадим аргументу 
приращение Dх≠0 и найдем наращенное значение функции 
.
2) Находим приращение функции 
.
3) Составляем отношение 
.
4) Находим предел 
.
Задания для решения в аудитории
Найти производную функции используя определение.
1. 
.
2. 
(применить формулу 
).
3. 
(вспомнить свойства логарифмов 
, 
, 
и формулу второго замечательного предела 
).
2. Таблица производных и правила дифференцирования
Таблица основных производных.
1.
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
Правила дифференцирования.
1. 
2. 
3. 
4. Если функция 
дифференцируема в точке , а функция 
дифференцируема в точке 
, то сложная функция 
дифференцируема в точке , при этом 
5. Если функция строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную 
в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция 
также имеет производную 
при этом 
.
Пример 1. Найти производную функции 
и вычислить ее значение в точке х=1.
Решение.
.
Значение производной в точке х=1 есть 
.
Задания для решения в аудитории
Найти производную функции с помощью таблицы и правил дифференцирования.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
Пример 2. Найти производную сложной функции 
.
Решение. Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки простых функций: 
, где
где 
, где 
. По правилу дифференцирования сложной функции (
) получаем: 
.
Пример 3. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную 
для функции
.
Решение. Обратная функция 
имеет производную 
. Следовательно 
.
Пример 4. Найти производную функции 
с помощью логарифмирования.
Решение.
1) Прологарифмируем функцию 
;
2) Продифференцируем полученное выражение, учитывая, что 
- функция, - переменная. Получим 
. Выразим 
:
или
.
Задания для решения в аудитории
Найти производную сложной функции с помощью таблицы и правил дифференцирования.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. .
Найти производную функции, пользуясь правилом дифференцирования обратной функции.
1. 
.
2. 
.
Найти производные функций с помощью логарифмирования.
1. 
.
2. 
Задания для самостоятельной подготовки
Найти производную функции по определению.
1. 
; 4. 
;
2. 
; 5. 
;
3. 
; 6. 
Найти производную, пользуясь таблицей и правилами дифференцирования.
1. 
; 3. 
;
2. 
; 4. 
.
Найти производную сложной функции.
1. 
; 3. 
;
2. 
; 4. 
.
Найти производную с помощью логарифмирования.
1. 
; 3. 
;
2. 
; 4. 
.
