Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования города Москвы
«Московский городской педагогический университет»
Институт математики и информатики
Математический факультет
Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
АЛГЕБРА
050100 ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Квалификация (степень) выпускника - МАГИСТР
Профиль подготовки «МАТЕМАТИКА»
Форма обучения ОЧНАЯ
Курс 1 Семестр 2
Москва
2011
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО, утвержденным приказом Минобрнауки России от 01.01.01 г. № 000с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Математика»
Автор: доктор педагогических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания математического факультета ИМИ ГОУ ВПО МГПУ .
Рецензенты:
_______________________________
_______________________________
Программа одобрена на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания от 28 июня 2011 года, протокол №
Заведующий кафедрой
алгебры, геометрии и методики их преподавания
доктор педагогических наук,
профессор
ЧАСТЬ I. ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель дисциплины: изучение общих и прикладных алгебраических структур и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю профильной школы для глубокого понимания школьного курса алгебры.
Задачи дисциплины:
- Дать современное базовое теоретическое обеспечение разделов курса алгебры, остносящихся к общим и прикладным алгебраическим структурам.
- Сформировать навыки активного применения теоретических знаний к практическим приложениям, в особенности, к решению задач элементарной алгебры.
- Сформировать уровень математической культуры, достаточный для осознанной ориентации в многообразии учебной литературы по алгебре для школьников.
- Изучить теоретические положения дополнительных разделов алгебраических курсов, входящих в программы профильных школ, факультативных курсов и математических кружков.
- Ознакомить с основными концепциями и направлениями развития алгебры с целью последующей успешной адаптации к возможным изменениям формы и содержания действующих стандартов образования.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина «Алгебра» относится к вариативной части профессионального цикла математических и естественнонаучных дисциплин.
Освоение дисциплины «Алгебра» является необходимой основой для последующего изучения других дисциплин вариативной части профессионального цикла, прохождения педагогической практики.
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций.
Общекультурные компетенции (ОК):
1) владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);
2) способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);
3) готов к толерантному восприятию социальных и культурных различий, уважительному и бережному отношению к историческому наследию и культурным традициям (ОК-14);
Профессиональные компетенции (ПК):
общепрофессиональные компетенции (ОПК):
1) осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК - 1);
2) владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
компетенции в области педагогической деятельности:
1) способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);
2) готов применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного
процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2);
3) способен использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4);
компетенции в области культурно-просветительской деятельности:
1) способен профессионально взаимодействовать с участниками культурно-просветительской деятельности (ПК-9);
компетенции в области научно-исследовательской деятельности:
1) способен разрабатывать современные педагогические технологии с учетом особенностей образовательного процесса, задач воспитания и развития личности (ПК-12);
Специальные компетенции (СК):
1) владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом (СК-1);
2) владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания (СК-2);
3) способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики (СК-3);
4) владеет математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (СК-4);
5) владеет содержанием и методами элементарной математики, умеет анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики (СК-5);
6) способен ориентироваться в информационном потоке, использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации и хранения информации, актуализировать ее в необходимых ситуациях интеллектуально-познавательной деятельности (СК-6);
7) владеет основными положениями истории развития математики, эволюции математических идей и концепциями современной математической науки (СК-7).
В результате изучения дисциплины студент должен (деятельностная составляющая компетенции):
знать:
определения, формулировки и доказательства свойств следующих алгебраических понятий:
- Модели, алгебры;
- Соответствия, отношения и отображения;
- Алгебраические системы и подсистемы;
- Классические алгебры (группоиды, полугруппы, моноиды, группы, кольца и поля);
- Квазигруппы и лупы;
- Решётки (структуры), булевы алгебры;
- Многообразия алгебраических систем, подмногообразия;
- Категории, аддитивные и абелевы категории;
- Автоматы, конечные автоматы;
уметь:
применять теоретические понятия и факты для решения задач:
- Находить суммы и произведения методом математической индукции;
- Выяснять, является ли множество с операциями группой, кольцом или полем;
- Доказывать свойства групп, колец, булевых колец, полей, решёток и булевых алгебр;
- Проверять эквивалентность многообразий и категорий;
- Производить вычисления с конечными автоматами;
владеть:
- способами ориентации в профессиональных источниках информации (журналы, сайты, образовательные порталы и т. д.);
- способами взаимодействия с другими субъектами образовательного процесса;
- различными средствами коммуникации в профессиональной педагогической деятельности;
- способами совершенствования профессиональных знаний и умений путем использования возможностей информационной среды образовательного учреждения, региона, области, страны.
4. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Виды учебной работы | В часах (зач. ед.) |
Общая трудоемкость дисциплины | зач. ед.) |
Самостоятельная работа | 120 |
Лекции | 36 |
Практические занятия | 24 |
Контроль самостоятельной работы (КСР) | |
Зачёт, Экзамен | 36 |
5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ И ЕЕ РАЗДЕЛОВ
Модуль 1. Алгебры и алгебраические системы.
Модели и алгебры. Отношения, отображения. Алгебраические системы и подсистемы. Порождающие совокупности. Конгруэнции. Декартовы произведения алгебраических систем. Операции над кардиналами и порядковыми числами. Классические алгебры. Группоиды и полугруппы. Квазигруппы и лупы. Группы. Кольца и модули.
Решётки (структуры). Модулярные и дистрибутивные решётки. Алгебры Буля.
Модуль 2. Классы алгебраических систем и категории.
Многообразия. Теорема Биркгофа о многообразиях. Подмногообразия и фактормногообразия. Эквивалентность многообразий в смысле Мальцева.
Элементы теории категорий. Эквивалентность категорий. Аддитивные и абелевы категории.
Модуль 3. Элементы теории автоматов.
Элементы теории автоматов. Конечные автоматы.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
а) Основная литература
1. Курош, по общей алгебре / . – М. : Лань, 2005. – 560 с.
2. Мальцев системы / . – М.: Наука, 1970. – 394 с.
3. Скорняков общей алгебры / . – М.: Наука, 1983. – 272 с.
4. Современная прикладная алгебра / Г. Биркгоф. – М.: Лань, 2005. – 400 с.
5. Универсальная алгебра / П. Кон. – М.: Мир, 1968. – 352 с.
6. (ред.) Сборник задач по алгебре / . М.: Факториал, 1995. – 454 с.
б) Дополнительная литература
7. Ван дер Варден / Б. Л. ван дер Варден. – М.: Лань, 2004. – 624 с.
8. Алгебра / С. Ленг. – М.: Мир, 1968. – 564 с.
9. Childs, L. A concrete introduction to higher algebra. Berlin – N. Y. – Heidelberg: Springer, 2000. – 522 p.
10. Шнеперман задач по алгебре и теории чисел. Лань, 2008. – 224 с.
в) Программное обеспечение
Системное прикладное программное обеспечение (операционные системы, антивирусы);
1. Прикладное программное обеспечение общего назначения (текстовые процессоры, электронные таблицы, браузеры);
2. Прикладное программное обеспечение специального назначения – системы компьютерной алгебры (Maple, GAP, ISETL).
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для проведения лекционных и практических занятий требуется аудитория на курс, оборудованная меловой или интерактивной доской, мультимедийным проектором и экраном.
.
ЧАСТЬ II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И План ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
1. КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ План
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
№ | Тема | Общая трудоемкость | Самостоятельная работа | Всего аудиторных часов | Лекции | Практические занятия | Контроль самостоятельной работы |
1. | Модуль 1. Алгебры и алгебраические системы | 30 | 18 | 12 | |||
2. | Модуль 2. Классы алгебраических систем и категории | 20 | 12 | 8 | |||
3. | Модуль 3. Элементы теории автоматов. | 10 | 6 | 4 | |||
4. | Итого за семестр (часов) | 216 (6 зач. ед.) | 120 | 60 | 36 | 24 |
1.1. ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ
Модуль 1. Алгебры и алгебраические системы (20 часов)
Лекция 1. Вводная
Модели и алгебры. Отношения, отображения.
Литература [1, 2, 3,5].
Лекция 2. Вводные понятия
Алгебраические системы и подсистемы.
Литература [1, 2, 3,5].
Лекция 3. Множества и их мощности
Счётные и несчётные множества. Операции над кардинальными и порядковыми числами
Литература [1,2, 3, 5].
Лекция 4. Производные алгебраические системы
Порождающие совокупности. Подалгебры и подсистемы. Конгруэнции. Факторалгебры и факторсистемы. Декартовы произведения алгебраических систем.
Литература [1,2,3, 5].
Лекция 5. Классические алгебры
Группоиды и полугруппы. Моноиды и группы.
Литература [1-9].
Лекция 6. Классические алгебры (продолжение)
Кольца и модули.
Литература [1-9].
Лекция 7. Обобщения групп
Квазигруппы и лупы
Литература [1].
Лекция 8. Решётки
Решётки (структуры). Модулярные и дистрибутивные решётки.
Литература [1-3].
Лекция 9. Булевы алгебры
Алгебры Буля и их приложения. Связь с булевыми кольцами.
Литература [1-3].
Модуль 2. Классы алгебраических систем и категории (12 часов)
Лекция 10. Классы алгебраических систем
Многообразия. Примеры и свойства.
Литература [2, 3,5].
Лекция 11. Характеризация многообразий
Теорема Биркгофа о многообразиях.
Литература [2, 3,5].
Лекция 12. Производные многообразия
Подмногообразия и фактормногообразия. Эквивалентность многообразий в смысле Мальцева.
Литература [2, 3,5].
Лекция 13. Категории
Элементы теории категорий. Примеры и свойства.
Литература [2, 3,5].
Лекция 14. Эквивалентные категории
Эквивалентность категорий. Примеры эквивалентных категорий
Литература [3,5.7].
Лекция 15. Типы категорий
Аддитивные и абелевы категории. Категории абелевых групп.
Литература [3,5,7].
Модуль 3. Элементы теории автоматов (8 часов)
Лекция 16. Автоматы
Элементы теории автоматов. Определения, свойства, примеры
Литература [4].
Лекция 17. Конечные автоматы
Конечные автоматы. Примеры, свойства, приложения.
Литература [4].
Лекция 18. Итоговая
Современные приложения абстрактной алгебры
Литература [4].
1.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Практическое занятие №1. «Вводное занятие» (2 часа)
Обозначения из математической логики и теории множдеств.
Литература [3, 6, 10].
Практическое занятие №2. «Простейшие методы» (2 часа)
Метод математической индукции. Трансфинитная индукция.
Литература [3,6,10].
Практическое занятие №3. «Вводные понятия» (2 часа)
Алгебраические системы и подсистемы
Литература [2, 3,6,10].
Практическое занятие №4. «Классические алгебры» (2 часа)
Группоиды и полугруппы. Моноиды и группы.
Литература [1-10].
Практическое занятие №5. «Классические алгебры (продолжение)» (2 часа)
Кольца и модули.
Литература [1-10].
Практическое занятие №6. «Решётки и их свойства» (2 часа)
Решётки (структуры). Модулярные и дистрибутивные решётки.
Литература [1-3,6.10].
Практическое занятие №7. «Булевы алгебры» (2 часа)
Алгебры Буля и их приложения. Связь с булевыми кольцами.
Литература [1-3,6,10].
Практическое занятие №8. «Классы алгебраических систем» (2 часа)
Многообразия. Примеры и свойства.
Литература [2, 3,5,6,10].
Практическое занятие №9. «Категории» (2 часа)
Элементы теории категорий. Примеры и свойства.
Литература [2, 3,5].
Практическое занятие №10. «Контрольное» (2 часа)
Аудиторная контрольная работа по пройденным темам
Литература [1-10].
Практическое занятие №11. «Автоматы» (2 часа)
Элементы теории автоматов. Определения, свойства, примеры. Конечные автоматы.
Литература [4].
Практическое занятие №12. «Итоговое» (2 часа)
Решение задач на повторение всех пройденных тем.
Литература [1-10].
2. СИСТЕМА МЕЖСЕССИОННОЙ И ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИЙ
2.1. ТЕМЫ ДОКЛАДОВ И/ИЛИ РЕФЕРАТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
1. Исторический обзор развития абстрактной алгебры
2. Перспективы использования систем компьютерной алгебры в решении задач абстрактной алгебры.
3. Алгоритмы общей алгебры.
4. Приложения конечных автоматов.
5. Применения абстрактной алгебры.
6. Группы и симметрия..
2.2. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
1. Контрольная работа по теме «Основные алгебраические системы».
2.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
7. Элементы теории множеств. Операции над множествами.
8. Метод математической индукции.
9. Соответствия и бинарные отношения.
10. Отношения эквивалентности.
11. Отношение порядка.
12. Отображения и их типы.
13. Композиция отображений.
14. Мощность множества.
15. Алгебраические операции. Универсальные алгебры.
16. Гомоморфизмы универсальных алгебр. Конгруэнции и фактор-алгебры.
17. Многообразия алгебраических систем. Теорема Биркгофа о многообразиях..
18. Полугруппы, моноиды и группы. Обобщённая ассоциативность. Многообразие групп.
19. Кольца и их свойства.
20. Решётки (структуры).
21. Дедекиндовы (модулярные) и дистрибутивные структуры.
22. Булевы алгебры.
23. Связь булевых алгебр с кольцами. Булевы кольца.
24. Элементы теории категорий.
25. Автоматы и их свойства.
26. Конечные автоматы и их свойства.
Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования города Москвы
«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и информатики
Математический факультет
Наименование дисциплины / курса | Уровень образования | Статус дисциплины в рабочем учебном плане | Количество зачетных единиц | Форма отчетности | Курс, семестр |
Алгебра | магистратура | 6 | экзамен | 1 курс, 2 семестр |
Смежные дисциплины по учебному плану: | ||||
Информатика, Педагогика | ||||
ВВОДНЫЙ МОДУЛЬ (проверка «остаточных» знаний по смежным дисциплинам) | ||||
Тема или задание текущей аттестационной работы | Виды текущей аттестации | Аудиторная или внеаудиторная | Минималь-ное количество баллов | Максимальное количество баллов |
Итого: |
БАЗОВЫЙ МОДУЛЬ (проверка знаний и умений по дисциплине) | ||||
Тема или задание текущей аттестационной работы | Виды текущей аттестации | Аудитор-ная или внеауди-торная | Минималь-ное коли-чество баллов | Максима-льное количест-во баллов |
Посещение лекционных занятий–дисциплинированность, культура поведения | Посещаемость (на каждом занятии 0,5 балла) | Аудитор-ная | 5 | 9 |
Ведение записей лекций – академическая компетенция | Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно) | Аудитор-ная | 1 | 5 |
Выполнение контрольных работ– академическая компетенция | Письменная работа | Ауди-торная | 8 | 15 |
Посещение практических занятий–дисциплинированность, культура поведения | Посещаемость (на каждом занятии 1 балл) | Аудитор-ная | 6 | 12 |
Активная работа на практических занятиях – академическая и коммуникативная компетенция | Выступления, дополнения, вопросы | Аудитор-ная | - | 11 |
Итого: | 20 | 52 | ||
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МОДУЛЬ | ||||
Тема или задание текущей аттестационной работы | Виды текущей аттестации | Аудитор-ная или внеауди-торная | Минималь-ное коли-чество баллов | Макси-мальное количест-во баллов |
Коллоквиум | Выполнение задания и устный ответ | Аудитор-ная | 8 | 15 |
Экзамен | Выполнение задания и устный ответ | Аудитор-ная | 12 | 33 |
Итого: | 20 | 48 | ||
Итого максимум: | 40 | 100 |
Примечания.
Работа, выполненная менее чем на 30%, считается неудовлетворительной и оценивается в 0 баллов.
Студент обязан выполнять задания дополнительного модуля.
Необходимый минимум для допуска к промежуточной аттестации 40 баллов.
Дополнительные требования для студентов, отсутствующих на занятиях по уважительной причине: устное или письменное собеседование по тематике пропущенных занятий, выполнение заданий практических занятий, выполнение контрольных и письменных работ.
Форма промежуточной аттестации: экзамен.
ФИО преподавателя:.
Утверждено на заседании кафедры информатизации образования 28 июня 2011 года.
Протокол №.
Заведующий кафедрой .
