5.6.5. В цепочке (5.6) переход (*) сделан на основании того, что из 
следует, что 
. В цепочке (5.6) переход (**) означает, что при отыскании пределов (предельных значений) не имеет значения, каким символом обозначена независимая переменная. Отметим, что в доказательстве теоремы раздела 5.6 существенно была использована теорема Коши (см. раздел 5.4.1).
5.6.6. ПРИМЕР
Имеем
5.6.7. Пример.
Имеем
.
Если тождественные преобразования под знаком предела выполнять иначе, то получится неопределенность 
. В этом случае правило Лопиталя ответа не дает:
Этот пример показывает, что тождественное преобразование под знаком предела может привести к неопределенности или 
, для раскрытия которых правило Лопиталя применять бесполезно.
5.6.8. ПРИМЕР.
Имеем
откуда
Поясним приведенное решение. Имеем неопределенность 
, для раскрытия которой нельзя непосредственно использовать правило Лопиталя. После применения логарифмического тождества вида 
(что показано символом 
), задача свелась к вычислению предела 
путем раскрытия неопределенности . С помощью правила Лопиталя эта неопределенность раскрывается и получается ответ для и потом для 
.
5.6.9. Утверждение, обратное к теореме раздела 5.6.1, не имеет места. Конкретно, если предел отношения производных не существует, то отсюда не следует, что предел отношения функций также не существует. Иными словами, предел отношения производных может не существовать, а предел отношения функций при этом существует. Приведем простой пример, который иллюстрирует это положение.
Имеем
,
не существует.
5.6.10. Для вычисления пределов функций натурального аргумента (числовых последовательностей) правило Лопиталя непосредственно применять нельзя, ибо понятия производной для функции натурального аргумента не существует. Однако можно использовать следующую теорему. Пусть 
существует и равен 
( может равняться 
), тогда 
существует и равен (теорема о «погружении» дискретного аргумента в непрерывный). Обратное утверждение неверно, как показывает простой пример: 
, а 
- не существует (ни конечный, ни бесконечный). Для вычисления предела правило Лопиталя применяется непосредственно или в комбинации с другими приемами раскрытия неопределенностей.
Имеем
.
Кратко поясним приведенное решение. Для вычисления предела осуществляем "погружение" (что показано символом (x)) и вычисляем предельное значение с помощью правила Лопиталя. Поскольку 
существует (и равен нулю), постольку существует 
и они равны. Вместо символа 
часто используют более краткий символ 
, ибо натуральное n может только неограниченно возрастать.
5.6.11. С помощью правила Лопиталя можно получить формулы для вычисления (конечных и бесконечных) односторонних производных. Имеет место следующая теорема:
ТЕОРЕМА.
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и пусть она имеет в каждой точке 
промежутка 
, конечную производную, пусть существует конечный или бесконечный предел производной 
при 
.
Тогда в точке 
существует (конечная или бесконечная) правая производная 
Доказательство элементарно
Левая производная 
(конечная или бесконечная) вычисляется аналогично.
5.6.12. Метод отыскания односторонних (конечных или бесконечных) производных, данный в разделе 5.6.11, сводится к операции предельного перехода для производной 
(а не функции 
).
5.6.13. ПРИМЕР.
Найти односторонние производные функции 
в точке 
. Эта функция нечетная 
и определена на 
.
Имеем
а тогда
Аналогично имеем
Отметим, что в рассматриваемом случае с помощью формул 
и 
мы легко и быстро получили ответы. Решение задачи с помощью «лобовых» формул определения
и 
в рассматриваемом случае было бы более сложным.
График функции 
представлен на рис.5.7.
График функции 
Рис. 5.7
5.7.1. Пусть функция имеет все производные до порядка k+1 включительно в некотором промежутке, содержащем точку a (таким промежутком может быть 
-окрестность точки 
). Найдём многочлен 
степени не выше k, значение которого в точке 
равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до k-ого порядка в точке x = a равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке
(5.6)
Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле “близок” к функции .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням 
с неопределёнными коэффициентами:
(5.7)
Неопределённые коэффициенты 
, определим так, чтобы удовлетворялись условия (5.6).
Найдём производные от :
(5.8)
Подставляя в левые и правые части равенств (5.7) и (5.8) вмеcто x значение a и заменяя на основании равенств (5.6) 
на 
, 
на 
и т. д., получим
, 
,
откуда находим
, 
, 
, 
,…, 
. (5.9)
Подставляя найденные значения 
, 
, 
,…, 
в формулу (5.7), получим искомый многочлен
(5.10)
который называется многочленом Тейлора функции с центром в точке 
.
Если 
, то имеем многочлен Маклорена.
5.7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Разность
называется остаточным членом, а выражение
(5.11)
формулой Тейлора функции с центром в точке 
.
При , имеем формулу Маклорена.
Для остаточного члена 
существует несколько форм представления, некоторые из них рассмотрены ниже.
5.7.3. ТЕОРЕМА.
Пусть функция имеет в -окрестности точки все производные до порядка 
включительно. Пусть 
и p - некоторое положительно число.
Тогда существует точка c 
такая, что справедлива формула Тейлора (5.7) функция 
с центром в точке с остаточным членом в общей форме
(5.8)
5.7.4. Имеем формулу (5.6) и
(5.9)
Равенство (5.9) для остаточного члена перепишем иначе
. (5.10)
Пусть число p - фиксировано и для определенности пусть 
Пусть число 
, рассмотрим вспомогательную функцию
, (5.11)
где 
Покажем, что функция 
на отрезке 
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а именно:
1. Функция непрерывна на отрезке , ибо все производные 
рассматриваются как самостоятельные функции, непрерывные на отрезке .
2. Функция имеет конечную производную в каждой точке промежутка 
, ибо функция 
имеет в промежутке все производные до порядка 
включительно.
3. При 
(см. (5.10)),
при 
.
По теореме Ролля существует такое число 
, такое, что
Имеем
(5.12)
Взяв первое и последнее звенья аналитической цепочки (5.12), получим
откуда
Остаточный член 
и, следовательно,
(5.13)
где точка 
, т. е. получаем выражение (5.8).
Теорема доказана.
5.7.5. Положив в (5.13) 
, получим остаточный член в форме Лагранжа
,
или
(число 
определяется так: 
, откуда 
).
5.7.6. Положив в (5.13) 
получим остаточный член в форме Коши
,
или
.
5.7.7. Имеем для функции 
:
; 
;
,
Подставив полученные выражения в формулу Маклорена
с остаточным членом 
в форме Лагранжа, получим представление функции 
. (5.14)
Откуда при 
имеем представление для числа 
(5.15)
5.7.8. Вычислим с точностью 
квадратный корень 
из числа е. Воспользуемся формулой (5.14) при 
, так что
.
Оценим остаточный член 
сверху
.
Выберем номер 
таким, чтобы
Неравенство (5.16) эквивалентно следующему
Непосредственно проверяем, что при 
а при 
Итак, при
.
Для вычисления квадратного корня 
с точностью 
осталось просчитать сумму
Выполнив вычисления с 5 знаками после запятой, получим
5.7.9. Имеем для функции 
.
.
.
Подставив найденные выражения в формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, получим представление функции 
или в окончательном варианте
Для записи остаточного члена была использована формула
5.7.10. Аналогично для 
получается формула
.
5.7.11. Для функции 
имеем
5.7.12. Для функции 
имеем
Подставив найденные выражения в формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, получим представление бинома
Упражнения.
1.Многочлен 
разложить в сумму по целым неотрицательным степеням двучлена 
.
2.Написать формулу Тейлора с центром в точке 
с остаточным членом в форме Лагранже для функции 
.
3.Написать Формулу Тейлора с центром в точке 
с остаточным членом в форме Коши для функции 
4.Написать формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранже для функции 
5.Написать формулу Маклорена, не выписывая остаточный член для функции 
6.Написать формулу Маклорена, не выписывая остаточный член для функции 
7.С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить:
и оценить погрешность.
8.Вычислить 
(с точностью до ), 
(с точностью до 
), 
(с точностью до 
).
5.8.1.Теорема. Пусть функция 
имеет конечную производную в каждой точке промежутка 
, пусть 
в каждой точке 
, тогда функции в промежутке строго возрастает (убывает) .
5.8.2. Пусть 
, 
По теореме Лагранжа (см. раздел 5.5.1), примененной к отрезку 
(все условия теоремы Лагранжа здесь выполнены), существует точка 
, такая, что
(5.17)
Из неравенств 
(
, 
, принимая во внимание (5.17), получаем, что 
. Итак, из 
следует, что 
, т. е. функция строго возрастает (строго убывает) в промежутке .
Теорема доказана.
5.8.3. Обратная теорема неверна, т. е. из того, что функция , имеющая в каждой точке промежутка конечную производную, строго возрастает (строго убывает) в промежутке , не следует, что в каждой точке промежутка 
Например, функция 
в промежутке 
строго возрастает (проверяется непосредственно) и в то же время ее производная 
при 
равна нулю.
5.8.4. Теорема раздела 5.8.1. содержит достаточное условие 
) строгого возрастания (строго убывания функции в промежутке ). В разделе 5.8.3. было показано, что это достаточное условие 
не является необходимым условием строгого возрастания (строго убывания) функции .
5.8.5. Теорема раздела 5.8.1. наглядно иллюстрируется на Рис.5.8а и 5.8б.
Достаточное условие строгого возрастания функции в промежутке
Рис. 5.8.а
Достаточное условие строгого убывания функции в промежутке
Рис. 5.8.б
5.9.1. ТЕОРЕМА. Пусть функция в каждой точке промежутка имеет конечную производную , пусть точка 
и пусть 
. Пусть существует число 
такое, что
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
