Анализ функции одной переменной с помощью пределов и производных (стр. 4 )

Тогда существует число такое, что в промежутке график Г (функция ) вогнут вверх.

5.13.7. Применим к функции теорему об устойчивости знака функции, непрерывной в точке . На основании этой теоремы существует число такое, что в каждой точке из промежутка .

К промежутку применим теорему раздела 5.13.3. и получим, что в промежутке функция вогнута вверх.

Теорема раздела 5.13.6. доказана.

5.13.8. Если в условии теоремы раздела 5.13.6. неравенство заменить неравенством , то в утверждении теоремы речь пойдет о графике Г (функции ) вогнутом вниз.

5.14.1. Пусть функция определена в промежутке . Пусть точка и пусть в точке график Г имеет касательную (невертикальную или вертикальную). Пусть существует число такое, что в промежутке и график Г имеет разные направления вогнутости.

Тогда точка называется точкой перегиба графика Г функции .

5.14.2. Точкой перегиба принято называется также абсциссу точки . Принято также говорить о точке перегиба функции .

5.14.3. ТЕОРЕМА. Пусть функция в каждой точке промежутка имеет конечную вторую производную , пусть точке , пусть - точка перегиба функции и пусть непрерывна в точке .

Тогда .

5.14.4. Теорема дает необходимое условие точки перегиба функции.

5.14.5.Пусть для определенности , тогда по теореме раздела 5.13.6. существует число такое, что в промежутке функция вогнута вверх, что противоречит тому, что по разные стороны от точки функция имеет разные направления вогнутости. Предположим, что , опять получим противоречие.

Следовательно, .

Теорема раздела 5.14.3. доказана.

5.14.6. ТЕОРЕМА. Пусть в каждой точке промежутка функция имеет вторую конечную производную, пусть , пусть в промежутках и вторая производная имеет разные знаки.

Тогда - точка перегиба функции .

5.14.7. Из существования второй конечной производной следует, что существует первая (конечная) производная и поэтому график Г функции в точке имеет невертикальную касательную . Из того, что слева и справа от точки вторая производная имеет разные знаки, следует, что слева и справа что точки функция имеет разные направления вогнутости, т. е. - точка перегиба.

Теорема раздела 5.14.6. доказана.

5.14.8. Теорема раздела 5.14.6. дает достаточное условие точки перегиба. Эта теорема наглядно иллюстрируется Рис.5.19а и Рис.5.19б.

Достаточное условие точки перегиба

(невертикальная касательная)

Рис. 5.19.а

Достаточное условие точки перегиба

(невертикальная касательная)

Рис. 5.19.б

5.14.9. В теореме раздела 5.14.6. условие существования конечный второй производной в точке и ее равенство нулю () можно заменить на непрерывность функции в точке и существования касательной K (которая может быть как вертикальной, так и невертикальной) к графику Г функции в точке . Пусть все остальные условия теоремы раздела 5.14.6. сохраняются, т. е. в каждой точке промежутков и существует конечная производная и в этих промежутках она имеет равные знаки. Тогда - точка перегиба. Эта ситуация иллюстрируется Рис.5.19в и Рис.5.19г в случае вертикальной касательной к графику Г в точке .

Достаточное условие точки перегиба

(вертикальная касательная)

Рис. 5.19.в

Достаточное условие точки перегиба

(вертикальная касательная)

Рис. 5.19.г

5.14.10. ТЕОРЕМА. Пусть функция определена в промежутке . Пусть точка . Пусть в точке существует конечная вторая производная (тогда существует число такое, что в каждой точке промежутка существует конечная первая производная ). Пусть и ().

Тогда - точка (сильного) локального минимума (максимума).

5.14.11. Имеем по определению

тогда существует число такое, что в каждой точке из промежутка дробь

. (5.21)

Пусть тогда на основании неравенства (5.21) .

Пусть , тогда на основании неравенства (5.21) .

Таким образом, при переходе через точку первая производная меняет свой знак с минуса (через нуль) на плюс. На основании первого достаточного условия локального экстремума (см. теорему раздела 5.9.1.) - точка (сильного) локального минимума. Случай, когда , разбирается аналогично.

Теорема раздела 5.14.10. доказана.

5.14.12. Теорема раздела 5.14.10. дает второе достаточное условие ( ()) (сильного) локального экстремума. Запоминание второго достаточного условия сильно облегчает «правило зонтика» (см. Рис.5.20).

Правило «зонтика»

Рис. 5.20

5.15.1. Пусть функция определена на отрезке .

Определение локального экстремума, сформулированное в разделе 5.1.1. в случае множества А, для отрезка имеет вид:

Говорят, что точка , принадлежащая отрезку , является точкой локального максимума (локального минимума) функция на , если для всех x, принадлежащих , близких к , выполняется неравенство

.

Само частное значение называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции на отрезке , что обозначается так:

.

На рис.5.21 изображен график Г функции , определенной на отрезке .

График функции ,

Рис. 5.21

Очевидно, что точки - точки локального минимума, точки - точки локального максимума. Причем точки - точки внутреннего локального экстремума (ибо каждая из них «окружена» точками ), а точки и - точки граничного (краевого) локального экстремума. Заметим, что если функция определена в промежутке , то у нее могут быть только точки внутреннего локального экстремума и никогда не бывает точек граничного (краевого) экстремума.

Если функция дифференцируема (т. е. имеет конечную производную) в каждой точке отрезка и если точка - точка внутреннего локального экстремума, то . Это предложение ничем не отличается от теорем раздела 5.2.1.

Если же точка - точка граничного (краевого) экстремума, то может и не равняться нулю, т. е. теорема из раздела 5.2.1. применима только к точкам внутреннего локального экстремума.

Для функции , определенной на отрезке , точка является, очевидно, точкой краевого локального максимума (Рис.5.22), но в этой точке производная не равна нулю, а равна -2.

График функции ,

Рис. 5.22

Если дифференцируемая функция рассматривается в промежутке и если для всех , то экстремумов они не имеет (это следует из теоремы раздела 5.2.1.) Рассмотрим функции в промежутке (0;1). Ее производная равна 2 и, следовательно, не равна нулю; значит, это функция в (0;1) не имеет ни минимумов, ни максимумов, т. е. в промежутке (0;1) нельзя указать такую точку , что для всех , и близких к и нет такой точки , что для всех , (Рис.5.23).

График функции ,

Рис.5.23

Если функция определена на отрезке и если для всех , то отсюда еще не следует, что у нее вообще не экстремумов. Рассмотрим функцию на . Здесь , но - точка локального минимума, ибо для всех , а - точка локального максимума, ибо для всех , (см. Рис.5.24).

График функции ,

Рис.5.24

5.16.1. Глобальный экстремум функции (см. раздел 5.1.1.)

Пусть функция определена в промежутке .

Точка называется точкой глобального максимума (глобального минимума) функции в промежутке , если для всех x, принадлежащих промежутку выполняется неравенство . Само частное значение называется глобальным максимумом (глобальным минимумом) функции в промежутке , что обозначается так

Функция , определенная в промежутке , может иметь локальный минимум (даже не один) и в то же время не иметь глобального максимума (см. приведенные выше Рис.5.23), на котором изображен график Г функции , не имеющий в промежутке (0,1) самой высокой точки - «макушки».

Аналогичная ситуация имеет место для локального минимума функции , которая определена в промежутке . Определение понятия глобального максимума (глобального минимума) для , рассматриваемой на отрезке , повторяется дословно. Только в данном выше определении следует везде заменить на .

Необходимо помнить, что функция , определенная и непрерывная на отрезке , всегда имеет глобальный максимум и глобальный минимум (теорема Вейерштрасса)

В учебниках глобальный максимум (глобальный минимум) обычно называется наибольшим(наименьшим) значением функции в промежутке (на отрезке )

Во многих прикладных задачах требуется найти именно глобальный максимум (глобальный минимум) функции , определенной на отрезке. Для этого не требуется проводить то детальное исследование функции, аналогичное проводимому в разделе 5.14.13.Точки глобального максимума и глобального минимума непрерывной функции на отрезке находятся по следующей схеме

1) находят критические точки функции в , т. е. точки, принадлежащие промежутку , в которых обращается в нуль или в бесконечность, или не существует. Пусть это будут точки ;

2) вычисляют частное значение функции в найденных критических точках и в обоих концах отрезка

Среди этих частных значений выбирают наибольшее (наименьшее). Это и есть глобальный максимум (глобальный минимум) на , а соответствующая точка (или точки) являются точкой (точками) глобально максимума (глобального минимума).

5.16.2. Пример. Найти глобальный максимум и глобальный минимум функции

на отрезке [-1;3].

1.Находим критические точки функции в (-1;3). Имеем

.

Т. е. функция имеет конечную производную для всех .

Решая уравнение получает критические точки , . Тоска не принадлежит промежутку (-1;3), поэтому ее мы рассматривать не будем.

2. Находим частные значения функции при , , .

3. Итак, - точка глобального максимума функции , точка - точка глобального минимума функции на отрезке [-1;3] и

График Г функции изображен на рис.5.25.

График функции ,

Рис. 5.25

5.17.1. Пример нахождения экстремума в негеометрической задаче, которая является аналогом классической задачи железнодорожных изысканий.

По прямой проходит уже построенная железная дорога (ж. д.) (рис.5.26).

Схема задачи о железнодорожных изысканиях

Рис. 5.26

В стороне от нее на расстоянии r км расположен пункт С, где обнаружили сырье, необходимое предприятиям пункта К. Требуется найти место для построение узловой станции М, чтобы суммарные затраты на строительство новой ж. д. из пункта С в пункт М и на перевозку Т тонн сырья из С и К по маршруту СМК были минимальными. Известно, что затраты на строительство ж. д. длинной в км исчисляются по формуле ( - положительные постоянные в условиях данной задачи). Расстояние от Е до К равно S км.

Обозначит через расстояние между пунктами Е и М, тогда затраты на прокладку ж. д. из С в М исчисляются по формуле

,

в затраты на перевозку Т тонн груза из С в К по маршруту СМК составят

.

Требуется определить локальный минимум функции на отрезке , ибо расстояние должно быть больше нуля и не больше S.

Имеем

Откуда следует, что , если (проверьте!), т. е. - критическая точка функции . Очевидно, , ибо . Если S – достаточно велико, точнее, если , то . Случай, когда , рассмотрим позже.

Таким образом, если расстояние между Е и К велико, то - «внутренняя» точка отрезка , и для исследования точки на экстремум воспользуемся теоремой раздела 5.14.10.(т. е. вторым достаточных условием локального экстремума). Поскольку

.

и при вторая производная , точка - точка локального минимума функции . А требуется найти глобальный минимум функции на . Согласно разделу 5.16.1, для нахождения глобального минимума, вообще говоря, необходимо, вычислить частное значение функции при , , и сопоставить их между собой.

Однако в данном конкретном случае этого можно не делать. Поскольку график Г функции на вогнут вверх (ибо )(см. теорему раздела 5.13.3.), точка локального минимума (см. Рис. 5.27, на котором схематически изображен график Г функции ).

График функции затрат ,

Рис. 5.27

Таким образом, узловую станцию М следует строить на расстоянии км от пункта E.

Осталось рассмотреть случай, когда при решении уравнения окажется, что . Но тогда на отрезке первая производная , т. е. функция на монотонно убывает, поэтому - точка глобального минимума функции на (см. Рис.5.28, на котором схематически изображен график Г функции для этого случая).

График функции затрат ,

Рис. 5.28

Выходит, если расстояние между Е и К достаточно мало (точнее, если ), выгоднее проводить ж. д. прямо из С в К.

Упражнения.

1.Данное положительное число разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

2.Забором фиксированной длины l погонных метром оградить прямоугольный участок наибольшей площади.

3. Забором фиксированной длины l погонных метров оградить прямоугольный участок наибольшей площади, прилегающий к данной каменной стене.

4.Открытый бак с квадратным основанием должен иметь емкость v литров. При каких его размерах расход железного листа будет минимальным?