при 
производная 
при 
производная 
Тогда 
- точка (сильного) локального максимума функции 
.
5.9.2. Возьмем 
(очевидно, 
). Для отрезка 
выполнены все условия теоремы Лагранжа (см. раздел 5.5.1), поэтому существует точка 
(в этой точке по условию 
, такая что
Откуда следует неравенство
(5.18)
Таким образом, для любой точки имеет место неравенство (5.18.)
Аналогично рассуждение проводится для случая, когда точка 
, и опять получается неравенство (5.18.), т. е. действительно, точка - точка сильного локального максимума функции (см. определение точки сильного локального максимума в разделе 5.1.1.).
Теорема доказана.
5.9.3. Теорема раздела 5.9.1. дает первое достаточное условие (сильного) локального максимума. Она наглядно иллюстрируется на Рис.5.9.
Первое достаточное условие сильного локального максимума
(«шапочка»)
Рис.5.9
Даже на схеме видно, что при выполнении условия теоремы раздела 5.9.1. (производная 
в точке равна нулю, а при переходе точки 
через точку производная меняет знак с плюса на минус) график функции около точки 
имеет вид «шапочки».
5.9.4. Приведем пример, который показывает, что первое достаточное условие (сильного) локального максимума (точнее: при и 
при ) не является необходимым.
Для функции
при 
точка 0 есть точка сильного локального максимума (на самом деле она точка сильного глобального максимума), ибо при 
выражение
а при 
имеем 
.
Производная функции имеет вид
при ,
При 
и при 
и близких к нулю производная бесконечно много раз меняет свой знак.
5.9.5. ТЕОРЕМА. Пусть функция в каждой точке промежутка 
имеет конечную производную , пусть 
такое, что при производная , при производная 
Тогда - точка (сильного локального минимума функции 
.
5.9.6. Доказательство теорема раздела 5.9.5. (она дает первое достаточное условие (сильного) локального минимума) аналогично доказательству теорема раздела 5.9.1. и поэтому не приводится. Теорема раздела 5.9.5. наглядно иллюстрируется на Рис.5.10.
Первое достаточное условие сильного локального минимума
(«перевёрнутая шапочка»)
Рис.5.10
На схеме видно, что при выполнении условия раздела 5.9.5. график функции около точки 
имеет вид перевернутой «шапочки».
5.10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функция определена в промежутке . Точка 
называется критической точкой функции , если при 
функции непрерывна и имеет место один из трех случаев: 1) 
2) 
, 3) 
- не существует (т. е. не существует ни конечной, ни бесконечной производной).
Точки локального экстремума (максимума или минимума) функции, определенной в промежутке , следует искать только среди критических точек этой функции.
5.10.2. ТЕОРЕМА. Пусть функция непрерывна в промежутке , пусть точка и пусть в каждой точке промежутка , кроме точки 
, функция имеет конечную производную. Пусть при 
производная равна 
или не существует. Пусть существует число 
такое, что
при производная
при производная
Тогда - точка (сильного) локального максимума функции .
5.10.3. Доказательство теоремы раздела 5.10.2. повторяет доказательство теорема раздела 5.9.1. и поэтому не приводится. Теорема раздела 5.10.2. дает первое достаточное условие (сильного) локального максимума функции в случае, когда производная в точке равна 
или не существует. Напомним, что случай, когда был рассмотрен в разделе 5.9.1.
Дадим наглядную иллюстрацию теоремы раздела 5.10.2. для случая, когда (см. Рис.5.11), и для случая, когда не существует (см. Рис. 5.12).
Первое достаточное условие сильного локального максимума
(«клюв»)
Рис.5.11
Первое достаточное условие сильного локального максимума
(«угловая точка»)
Рис.5.12
5.10.4.ТЕОРЕМА. Пусть функция непрерывна в промежутке , пусть точка и пусть в каждой точке промежутка , кроме точки , функция имеет конечную производную. Пусть при производная равна или не существует. Пусть существует число такое, что
при производная 
при производная
Тогда - точка (сильного) локального максимума функции .
5.10.5. Доказательство раздела 5.10.4. аналогично доказательству теоремы раздела 5.9.1. и поэтому не приводятся. Теорема раздела 5.10.4. дает первое достаточное условие (сильного) локального минимума функции в случае, когда производная в точке 
равна 
или не существует. Случай, когда , рассматривался в разделе 5.9.5.
Дадим наглядную иллюстрацию теорема раздела 5.10.4. для случая, когда (см. Рис.5.13), и для случая, когда не существует (см. Рис. 5.14).
Первое достаточное условие сильного локального минимума
(«перевёрнутый клюв»)
Рис.5.13
Первое достаточное условие сильного локального минимума
(«перевёрнутая угловая точка»)
Рис.5.14
5.10.6. Точки максимума и минимума функции 
находят по следующей схеме. После того, как получена производная 
, определяют критические точки функции , т. е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых производная обращается в нуль, в бесконечность и в которых она вовсе не существует (см. раздел 5.10.1.). Точки экстремума, т. е. экстремальные точки, могут быть только среди критических точек. Если критических точек нет, то нет и точек экстремума. Используя первое достаточное условие экстремума (см. разделы 5.9.1, 5.9.5, 5.10.2 и 5.10.4.), выбирают точки экстремума среди критических точек.
5.11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функция определена для всех положительных . Прямая 
называется невертикальной (наклонной) асимптотой графика Г функции при 
,
(т. е. при больших по модулю и отрицательных график Г, грубо говоря, устроен как прямая 
) (см. Рис.5.15)
График функции
и его невертикальной асимптоты
Рис 5.15
Частный случай невертикальной асимптоты – горизонтальная асимптота – рассматривался, когда иллюстрировалось понятие предела (предельного значения) функции при 
.
5.11.2.ТЕОРЕМА. Для того, чтобы график Г функции имел невертикальную асимптоту 
при 
, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы (предельные значения)
, (5.19)
. (5.20)
5.11.3. (Необходимость). Пусть график Г функции имеет невертикальную асимптоту при , тогда имеют место формулы (5.19.),(5.20).
В самом деле, положим
,
тогда, очевидно, что
(ибо функции 
,
, при 
- бесконечно малые), откуда
.
Далее, ясно, что
5.11.4. (Достаточность). Пусть существуют конечные пределы (предельные значения) (5.19.) и (5.20.)
Из (5.20) следует, что
т. е. прямая действительно является невертикальной асимптотой графика Г функции при 
.
Теорема раздела 5.11.2. доказана.
5.11.5. Если хотя бы один из пределов (5.19.) или (5.20.) равен бесконечности, либо не существует, невертикальной асимптоты при у графика Г нет.
5.11.6. Теорема о существовании невертикальной асимптоты 
графика Г функции формулируется и доказывается аналогично. Вместо формулы (5.19.) и (5.20.) фигурируют формулы
,
.
5.11.7. Прямые 
и 
могут быть различными. Может случится так, что при 
асимптота не существует, а при - существует.
5.11.8. Найдем невертикальную асимптоту графика Г функции 
:
,
При график Г имеет невертикальную асимптоту 
. Эта прямая является также невертикальной асимптотой при (покажите!).
5.11.9. Пример. Найдем невертикальные асимптоты функции 
1)Имеем:
Итак, при график Г имеет невертикальную асимптоту
.
2)Имеем
Итак, при график Г имеет невертикальную асимптоту 
График Г функции 
представлен на Рис. 5.16.
График функции 
Рис. 5.16
5.12.1. Схема исследования функции (с использованием 
):
1)найти «естественную» область определения;
2)определить область непрерывности функции, найти точки разрыва. Найти пределы функции, когда аргумент стремиться к границе области определения и точке разрыва определения или не принадлежит. Указать область постоянства знака функции;
3)найти производную функции и найти точки, принадлежащие области определения функции , в которой производная обращается в нуль, в бесконечность или не существует;
4)составить таблицу для критических точек. К критическим точкам относятся точки, которые принадлежит области определения функции и в которых производная обращается в нуль, в бесконечность или не существует. Удобно граничные точки, критические точки и точки разрыва располагать в таблице в возрастающем порядке;
5)на основании полученных данных построить график функции. Схема исследования функции и её реализация представляет собой материал, особо важный для экономистов.
В разделах 5.10.7, 5.11.6 и 5.11.8 с помощью дифференциального исчисления анализировались отдельные «узлы» графика Г функции (участки возрастания и убывания функции, точки ее локального экстремума, асимптоты). Реализация схемы представляет собой «сборку» графика Г из этих «узлов».
5.13.1. ОПРДЕЛЕНИЕ. Говорят, что график Г функции в промежутке имеет вогнутость вверх (вниз), если в пределах указанного график Г расположен выше (ниже) любой своей (невертикальной) касательной (см. Рис.5.17 и Рис. 5.18).
График функции , 
,
вогнутость вверх
Рис. 5.17
График функции , ,
вогнутость вниз
Рис. 5.18
5.13.2. В определении раздела 5.13.1. речь идет о графике Г функции , которая в каждой точке промежутке имеет конечную производную. Термин вогнутость вверх (вниз) варьируется в широких пределах. В частности говорят, что график Г вогнут вверх (вниз) в промежутке , что функция вогнута вверх (вниз) в промежутке . Для графика Г и функции используется также термин – выпуклость: график Г (функция ) является выпуклым вниз (вверх), если он (она) является вогнутым вниз (вверх). Если функция выпукла вниз (вверх) в промежутке , то используют компактную запись 
(
). Есть функции , которые в промежутке не являются ни выпуклыми вверх ни выпуклыми вниз. Например, функция 
в промежутке 
не является ни выпуклой вниз, ни выпуклой вверх, а в промежутке 
функция выпукла вверх.
Понятие вогнутости (выпуклости) существенно используется в математическом моделировании фрагментов экономической реальности.
5.13.3.□ ТЕОРЕМА. Пусть в каждой точке x промежутка функция имеет конечную вторую производную 
, пусть в каждой точке промежутка 
(
).
Тогда график Г (функция ) вогнут вверх (вниз) в промежутке .
Теорема дает достаточное условие вогнутости вверх (вниз) (выпуклости вниз (вверх)) графика Г.
5.13.4. Пусть для определенности 
в каждой точке промежутка . Пусть 
. Уравнение касательной 
к графику Г функции 
в точке 
имеет вид 
.
Условия доказываемой теоремы (конечная вторая производная 
существует) позволяет использовать формулу Тейлора с центром в точке с остаточным членом в форме Лагранжа при 
(см. разделы 5.7.2, 5.7.4). Имеем
или
откуда
.
Теорема раздела 5.13.3. доказана.
5.13.5. Если 
в промежутке , то 
(
- постоянная) в промежутке .
Действительно, возьмем точки и x промежутка и применим на отрезке 
к функции 
) теорему Лагранжа (см. раздел 5.5.1.
или, возвращаясь к первоначальной символике (),
.
в промежутке , т. е. 
Если в промежутке , то 
в промежутке .
Действительно, возьмем точки и x из промежутка и применим на отрезке к функции 
) теорему Лагранжа (см. раздел 5.5.1)
(
), или, полагая 
, получаем
или 
, (
).
Таким образом, доказано, что если в каждой точке промежутка 
, то обязательно , которая одновременно вогнута и вверх и вниз.
5.13.6. ТЕОРЕМА. Пусть функция в каждой точке промежутка имеет конечную вторую производную , пусть , пусть 
и пусть непрерывна в точке .
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
