Анализ функции одной переменной с помощью пределов и производных (стр. 1 )

Анализ функции одной переменной с помощью пределов и

производных

5.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функция определена на множестве . Точка называется точкой локального максимума функции на множестве , если для всех точек и близких к точке справедливо неравенство

Само частное значение называется локальным максимумом функции (на множестве ). Пусть в точках , близких к точке и справедливо неравенство .

Тогда локальный максимум называется сильным, в противном случае – слабым.

5.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функция определена на множестве . Точка называется точкой глобального максимума функции (на множестве ), если для всех точек справедливо неравенство

.

Само частное значение называется глобальным максимумом функции (на множестве ).

5.1.3. Для локального и глобального минимума определения формулируются аналогично. Вместо двух терминов (максимум, минимум) используется один термин (экстремум).

5.1.4. Глобальный максимум (минимум) является в то же время локальным, обратное, вообще говоря, неверно.

5.1.5. В качестве множества обычно фигурирует промежуток (конечный или бесконечный), отрезок, полупромежуток. Если множество есть промежуток, то уточнение (на множестве ) для локального максимума и минимума не делается.

5.1.6. На рис. 5.1. изображен график Г функции , определенный в промежутке

График функции

Рис. 5.1

Точки и являются, очевидно, точками локального максимума, а точки и - точками локального минимума. Точка точкой локального минимума не является, ибо не принадлежит промежутку . Однако, если определена в промежутке , то - точка локального максимума. Около точек и график функции имеет вид «шапочки», около точки , - вид перевернутых «шапочек», около точки график функции имеет вид «клюва», направленного острием вверх.

В приведенном примере локальный минимум оказался больше локального максимума . Это не удивительно, ибо локальный минимум – это наибольшее частное значение функции по сравнению с ее частными значениями в близких точках. Аналогичны рассуждения и для локального минимума.

Точка является также точкой глобального максимума функции , определенной в промежутке . Если функция определены в промежутке , то имеем две точки глобального максимума: точку и точку .

Точка - точка глобального минимума функции , определенной в промежутке .

5.2.1. ТЕОРЕМА (ФЕРМА).

Пусть функция определена в промежутке , пусть точка - точка локального максимума, пусть в точке функция имеет конечную производную . Тогда

.

5.2.2. Для и близких к имеем

.

При

.

Откуда следует, что

.

При

.

Откуда следует, что

.

Из неравенств и следует, что , что и требовалось доказать.

5.2.3. Для точки локального минимума формулировка теоремы Ферма дословно повторяется, а доказательство проводится с незначительной корректировкой.

5.2.4. Теорема Ферма дает необходимое условие (равенство нулю производной) локального экстремума функции, определенной в промежутке и имеющий конечную производную в точке экстремума. Равенство нулю производной достаточным условием не является, как показывается следующий простой пример.

Пусть функция определена в промежутке . Из следует, что , однако функция в точке не имеет ни локального максимума, ни локального минимума (см. рис. 1.12).

5.2.5. Из теоремы Ферма (см. раздел 5.2.1.) следует, что если в каждой точке промежутка функции имеет конечную производную, то точки локального экстремума следует искать только среди нулей производной (решений уравнения , принадлежащих промежутку). Решения уравнения называется критическими точками функции.

5.3.1. ТЕОРЕМА (РОЛЛЬ)

Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет конечную производную в каждой точке промежутка и пусть . Тогда существует хотя бы одна точка такая, что .

5.3.2.□ По теореме Вейерштрасса функция имеет на отрезке глобальный максимум и глобальный минимум . Если , то функция постоянна на отрезке , её производная равна нулю во всем промежутке , так что в качестве точки можно взять любую точку промежутка. Если , то точки глобального максимума и минимума одновременно не могут быть концами отрезка , ибо , а . Пусть для определенности точка глобального максимума не является концевой, т. е. .

Точка глобального максимума является точкой локального максимума, и в точке производная конечна. Все условия теоремы Ферма выполнены и поэтому .

Случай, когда точка глобального минимума функции принадлежит промежутку , рассматривается аналогично.

Теорема Ролля доказана.

5.3.3 Геометрическая интерпретация теоремы Ролля является прозрачной: если хорда, соединяющая концы графика Г непрерывной функции , имеющей во всех точках промежутка конечную производную, горизонтальна, то график Г обязательно имеет горизонтальную касательную (см. Рис. 5.2, на котором приведет график Г, у которого две горизонтальные касательные).

График функции ,

Рис. 5.2

5.3.4. Легко построить пример функции , для которой точка является единственной, и пример функции, для которой точек будет несколько.

5.3.5. Следует обратить внимание на то, что утверждение теоремы Ролля может оказаться несправедливым для функций, не имеющих конечной производной хотя бы в одной точке промежутка . Для функции на отрезке выполнены все условия теоремы Ролля, кроме условия дифференцируемости: в точке функция конечной производной не имеет и, следовательно, в точке график Г невертикальной касательной не имеет. В самом деле, здесь

, ,

.

Теорема Ролля перестает быть справедливой: в промежутке нет ни одной точки , с которой бы производная данной функции обращалась в нуль (ибо уравнение не имеет решений). На Рис.5.3 изображен график Г, около точки он имеет форму «клюва».

График функции

Рис. 5.3

5.3.6. Функция , , имеет производную для всех . Очевидно . Однако есть точка разрыва функции , т. е. не выполнено условие теоремы Ролля о непрерывности функции на отрезке . Заключение теоремы Ролля в рассматриваемом случае не имеет смысла (см. Рис. 5.4).

График функции

Рис. 5.4

5.3.7. Для функции , выполнены все условия теоремы Ролля, кроме условия . Заключение теоремы Ролля здесь также не имеет места (см. рис. 5.5).

График функции

Рис. 5.5

5.3.8. Приведенные примеры 5.3.5; 5.3.6.; 5.3.7 показывают, что если ослабить условие теоремы Ролля, то ее результаты уже перестает быть справедливым. Отсюда следует, что условие теоремы Ролля ослаблять нельзя.

5.4.1. ТЕОРЕМА (КОШИ)

Пусть функции и непрерывны на отрезке , имеют конечные производные и в каждой точке промежутка и пусть для любого числа .

Тогда существует хотя бы одна точка такая, что

.

5.4.2. Отметим, что . Пусть это не так, т. е. . Тогда для функции выполнены все условия теоремы Ролля и поэтому существует число такое, что Последнее равенство противоречит условию, для любого числа .

Таким образом, и поэтому запись

корректна.

Рассмотрим вспомогательную функцию

Непосредственно проверяется, что

,

.

Функция непрерывна на отрезке и имеет конечную производную во всех точках промежутка , ибо функция есть сумма функций и (Функция имеет коэффициент ) и постоянного слагаемого

Таким образом, для функции выполнены все условия теорема Ролля и, следовательно, существует число такое, что

Имеем

.

Полагая , получаем

,

откуда сразу следует требуемая формула

.

Теорема Коши доказана.

5.4.3. Как и в случае теоремы Ролля, можно привести примеры, которые показывают, что условия теоремы Коши ослабить нельзя.

5.5.1. ТЕОРЕМА (ЛАГРАНЖ)

Пусть функция непрерывна на отрезке , имеет конечную производную в каждой точке промежутка . Тогда существует хотя бы одна точка такая, что

.

5.5.2. Положив в теореме Коши (функция удовлетворяет всем требованиям, которые теорема Коши налагает на функцию ), получим выражение

, (5.1)

Откуда и следует требуемая формула.

Теорема Лагранжа доказана.

5.5.3. Положим . Пусть на отрезке выполнены все условия теоремы Лагранжа, тогда

. (5.2)

В главе 4 фигурировало приближенное равенство

(5.3)

Из теоремы Лагранжа следует, что число x можно «пошевелить» так, чтобы из приближенного равенства (5.3) следовало точное равенство (5.2).

5.5.4. Равенство (5.1) означает, что в промежутке существует хотя бы одна точка c такая, что касательная К к графику функции в точке параллельна хорде S, соединяющей точки , , которые являются концами графика Г функции (см. Рис.5.6, на котором приведен график Г функции , имеющий единственную касательную К, параллельную хорде S).

График функции ,

Рис. 5.6

5.5.5. Легко построить примеры функции , для которой точек c будет несколько.

5.5.6. Условия теоремы Лагранжа (как и условия теоремы Ролля и Коши) ослабить нельзя.

5.6.1. ТЕОРЕМА (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ)

Пусть функции , имеют конечные производные при, близких к a и не равных a (т. е. при , где h - некоторое малое число), и производная одной из них (например, производная ) не обращается в нуль при . Пусть при обе эти функции бесконечное малые (или бесконечно большие), т. е. пусть при дробь есть неопределённости вида либо .

Тогда, если предел (конечный или бесконечный) отношения производных существует:

,

то предел отношения функций существует, и эти пределы равны.

.

Аналогично формулируется правило Лопиталя для случая, когда .

5.6.2. Правило Лопиталя – это метод раскрытия неопредёленностей и . Правило раскрытия неопределённости называется первым правилом Лопиталя, правило раскрытия неопределённости называется вторым правилом Лопиталя.

Для раскрытия других неопределённостей (, , , и т. п.) правило Лопиталя непосредственно не применяется. Путем тождественных преобразований выражений стоящих под знаком предела, эти неопределённости сводят к неопределённости и . После этого уже применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя полезно комбинировать с другими приемами раскрытия неопределённостей.

Применение правила Лопиталя ни в коем случае нельзя путать с правилом нахождения производной дроби (при использовании правила Лопиталя производные числителя и знаменателя берутся отдельно).

Правило Лопиталя ценно еще и тем, что его можно применять несколько раз, пока не получится ответ.

5.6.3. Первое правило Лопиталя будет доказано для случая

(см. ниже раздел 5.6.4.).

Остальные случаи () доказывается аналогично. В процессе доказательство используется то обстоятельство, что в операции предельного перехода переменная является «немой» в том смысле, что все равно как ее обозначать:

.

Доказательство второго правила Лопиталя является необязательным и поэтому не приводится.

5.6.4. (Доказательство теоремы раздела 5.6.1).

Рассмотрим функции

, .

(Приведенное построение называется доопределением по непрерывности функций и в точке ).

Для функций и на отрезке () выполнены все условия теоремы Коши, поэтому существует точка такая, что

. (5.4)

В цепочке (5.4), выбрав первое и последнее звенья, будем иметь

. (5.5)

Из того, что следует, что , ибо . Принимая во внимание это обстоятельство, осуществим предельный переход в правой и левой частях равенства (5.5).

(5.6)

.

Таким образом, если правый предел существует (конечный или бесконечный), то и левый предел существует, и они равны.

Теорема (раздела 5.6.1) доказана.