Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (стр. 3 )

13. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Неопределенные выражения и способы их раскрытия (примеры). Сравнение бесконечно малых величин.

14. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на замкнутых множествах.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение, производной; ее геометрический и механический смысл.

16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

17. Производные высших порядков.

18. Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19. Применение производной к вычислению пределов (правило Лопиталя).

20. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производной к исследованию функций. Экстремумы функций. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на интервале.

21. Выпуклость и вогнутость графика функций, точки перегиба. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построения ее графика.

22. Приближенное решение уравнений: графическое отделение корней методом проб; метод хорд и касательных. Метод итераций.

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

23. Определение функции нескольких независимых переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

24. Частные производные функции нескольких независимых переменных, их геометрический смысл (для случая двух независимых переменных). Частные производные высших порядков.

25. Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; его применение в приближенных вычислениях.

26. Экстремум функции многих переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции.

27. Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов.

28. Скалярное и векторное поля. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента.

IV. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

29. Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов.

30. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей.

31. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Понятие об интегрируемой функции, формулировка теоремы существования. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

32. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным интегралом (формула Ньютона—Лейбница).

33. Вычисление определенных интегралов способом подстановки и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

34. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона.

35. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур; объемов тел по площадям сечений и тел вращения; длин дуг кривых; площадей поверхностей вращения. Примеры приложения интеграла к решению простейших задач механики и физики.

36. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

37. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла.

38. Понятие о тройном интеграле.

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

39. Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие об общем и частном решении. Начальные условия. Интегральные кривые.

40. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные. уравнения.

41. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка (без доказательства).

42. Поле направлений дифференциального уравнения. Изоклины. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка (способ Эйлера).

43. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейно-независимые решения. Структура общего решения.

44. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение уравнения.

45. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема наложения. Метод вариации произвольных постоянных. Частные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами для правых частей в виде функций: многочлен; Аекх; А соs пх+В sin пх.

46. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

VI. РЯДЫ

47. Числовые ряды; их сходимость и расходимость. Необходимые условия сходимости. Свойства сходящихся рядов.

48. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости, основанные на сравнении рядов. Признак Даламбера. Интегральный признак Коши.

49. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

50. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.

51. Ряды Тейлора и Маклорена. Биномиальный ряд. Разложение в степенной ряд элементарных функций.

52. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям, вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.

VII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

53. Вероятность события. Относительная частота события. Полная группа событий. Статистическое и классическое определение вероятности.

54. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий.

55. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

56. Теорема о повторении опытов (схема Бернулли). Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биномиальное распределение. Формула Пуассона.

57. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины. Примеры распределений: нормальное, биномиальное, пуассоновское, равномерное. Вероятность. попадания случайной величины на данный интервал.

58. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение; их свойства.

59. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

60. Числовые характеристики статистических распределений (математическое ожидание, дисперсия). Оценка вероятности по частоте. Понятие о доверительном интервале. Доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии нормально распределенной случайной величины.

61. Понятие о центральной предельной теореме.

VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

62. n-мерное векторное пространство. Решение системы т линейных уравнений с п неизвестными. Базисное решение системы.

63. Постановка основной задачи линейного программирования. Сведение основной задачи к канонической форме. Геометрическая интерпретация основной задачи линейного программирования.

64. Опорные решения и их нахождение симплекс-методом. Достаточное условие оптимальности опорного решения.

Библиографический список

1. Ефимов курс аналитической геометрии. М.: Наука, 1975.

2. , Демидович. курс высшей математики. 6-ое изд. М : Наука, 1985.

3. Минорский задач по высшей математике. М.: Наука, 1977.

4. Пискунов и интегральное исчислениях т.М.: Наука, 1978.

5. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра в основы математического анализа/Под ред. , . М.: Наука, 1986.

6. Гмурман вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.

7. Гмурман к. решению задач по теории вероятностей и математической статике. М.: Высшая школа. 1975.

В настоящих методических указаниях приведенные пособия для краткости обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами из библиографического списка. Например, запись [2] гл. 3; [3] № 66, 68, 81, 113 означает следующее: изучите материал, изложенный в главе 3 учебника , «Краткий курс высшей математики» и решите задачи № 66, 68, 81, 113 из задачника Мироновского. В. П.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

[1] гл. I. II; [3] № 4, 10, 23, 28;

[1] гл. III § 11, 12, гл. IV; (3) № 59, 67, 71,, 87, 103;

[I] гл. V § 24 —26, 30—36, [3] № 000, 155, 166, 169, 190, 211, 224.

Разберите решения задач 1, 2, 3 из данных методических указаний.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АBС: А,(—4; 8), В(5; —4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Решение: 1. Расстояние d между точками М1(x1;y1) и M2(х2; у2) определяется по формуле:

(1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

==15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки M1(х1; y1) и М2(х2; у2), имеет вид:

= (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой А В:

3y-24=-4x-16, 4x+3y-8=0(AB).

Для нахождения углового коэффициента АВ прямой AB разрешим полученное уравнение относительно y: y=-

Отсюда Rав= . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

x+7y-52=0 (AC)

Отсюда kAC =

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны kх и R2, определяется по формуле: tg (3)

Угол A, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее k1 = kAB = k2=kAC=

tg A= = = = 1,

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

kCD=.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1{х1;у1) в заданном угловым коэффициентом R направлении, имеет вид:

y-y1=k(x1-x2) (4)

Подставив в формулу (4) координаты точки С и RCD = получим уравнение высоты CD:

y-6=, 4y-24=3x-30, 3x-4y-6=0 (CD). (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив

систему уравнений (АВ) и (CD):

откуда x=2, y=0, то есть D(2;0)

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D находим:

CD= = 10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке В (а; b) имеет вид:

(x-a)2+ (y-b)2=k2 (6)

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, Используя формулу (6),

получаем уравнение искомой окружности:

6. Множество точек треугольника ABC есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку A, а третья ограничена прямой АС и содержит течку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

Поэтому искомое неравенство имеет вид: .

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

2х—у—14=0 (ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: Искомое неравенство будет 2х—у—140. Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В: Третье искомое неравенство Итак, множество точек треугольника ABC определяется системой неравенств

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат
хОу изображен треугольник ABC, высота CD,окружность с центром в точке Е.

РИСУНОК № 1.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3; 0) и до прямой x=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М(х; у)—текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис. 2). Тогда B(12; у).

По условию задачи По формуле (1) из предыдущей задачи

Тогда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида

Определим фокусы эллипса F1(-c; 0) и F2 (c; 0). Для эллипса справедливо равенство b2= а2—с2, откуда

c2= a2-b2 =9 и c=3.

То есть, F1(-3; 0) и F2 (3; 0)— фокусы эллипса (точки F2 и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса

РИСУНОК № 2.

Задача 3. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки A(3; —4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х; у)—текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MВ на прямую у =2 (рис. 3). Тогда В(x; 2). Так как МА=МВ, то

= или

РИСУНОК № 3.

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О'(3; —1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду, положим Тогда в системе координат Х'О'У´ уравнение параболы принимает следующий вид У' = . В системе координат Х'О'У´ строим параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

2. Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

3. Напишите формулы для отделения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

4. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

5. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через данную точку в данном направлении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрезках».

6. Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

7. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

9. С формулируйте определение окружности.

10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; с центром в начале координат.

11. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

12. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как изменяется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

13. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

14. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

15. Напишите уравнения для нахождения асимптот, гиперболы.

16. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.

Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

[1] гл. ХVIII; [3] № 000, 382, 397, 405, 418, 421;

[1] гл. XIX § 1-4; [3] № 000, 4, 496.

Разберите решение задачи 4 данного пособия.

Задача 4. Даны координаты трех точек: A(3;0), B(6;2;1), C(12;-12;3)

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору

Решение. 1. Если даны точки M1(x1;y1;z1) и M2(x2;y2;z2), то вектор через орты выражается следующим образом: (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек A и В, имеем:

Подобным образом

Модуль вектора вычисляется по формуле

(2)

Подставляя в формулу (2) найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

=7, =17.

2. Косинус угла а, образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

(3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

Применяя (3), имеем: =

3. Известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0;y0;z0) перпендикулярно вектору имеет вид

(4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; —12; 3) перпендикулярно вектору {3; 2; 6}. Подставляя в (4) A = 3, В = 2, С=6, получим:

=0 — искомое уравнение плоскости.

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются скалярными, векторными?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как сложить два вектора? Каких вычесть?

5. 5. Как найти координаты вектора по координатам точек
его начала и конца?

6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

9. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

10. Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их
перпендикулярности.

11. Напишите общее уравнение плоскости.

12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через
данную точку перпендикулярно данному вектору.

13. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?

14. Напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Тема 3. Элементы линейной алгебры

[5] гл. ХХI; [3] № 000, 624, 628.

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу - столбец неизвестных Х1, X2, X3; Н — матрицу-столбец свободных членов:

A=, X=, H=.

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

(1)

Если матрица A—невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу Умножив обе части уравнения (1) на , получим:

Но =E(E— единичная матрица), а ЕХ=Х, поэтому

Х= (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

где—алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы A, которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения
элементов матрицы A.

— следовательно матрица A имеет обратную матрицу .

Тогда ,

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=

Отсюда

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера - Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

Тема 4. Введение в анализ

[2] гл. VI § 1-9; [3] № 6, 701;

|2] гл. VII § 1—13; [3] № 000, 734, 736, 768, 744, 747, 782, 789;

[2] гл. VIII; [3] № 000, 820, 825 (2, 3).

Разберите решение задач 6, 7 данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

a) б)

в) г)

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель(x+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (x+3) отличен от нуля при :

б) При выражение дает неопределенность вида Для ее устранения умножим и разделим
это выражение на

в) Обозначим arctg 5х=у. Тогда 5х=tg у и при Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела

г) При выражение является неопределенностью вида 1 . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела:

Тогда имеем:

Пусть 2х+1=-4y. Тогда 4x+5=-8y+3 и при Переходя к переменной у, получим:

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на

РИСУНОК № 4.

интервалах (—; 1) и (1;) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке x=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение понятия функции.

2. Что называется областью определения функции? областью изменения функции?

3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

5. Что называется пределом числовой последовательности?

6. Сформулируйте определение предела функции.

7. Назовите основные свойства пределов функций.

8. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определения односторонних пределов функция в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

Тема 5. Производная и дифференциал

[2] гл. IX, § 1—5; [3] № 000, 908, 910;

[2] гл. X; [3] № 000, 857, 875, 888, 945, 956;

[2] гл. XII; [3] № 000, 1075, 1077.

Разберите решение задачи 8 данного пособия.

Задача 8. Найдите производные функции:

а) б)

в)

Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

у'= = ´=

б)

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной x обе части уравнения, считая при этом у функцией от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно у':

Из последнего уравнения находим y´:

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический, физический смысл производной?

3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

4. Напишите основные правила дифференцирования функций.

5. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функции.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Что называется дифференциалом функции?

8. Каков геометрический смысл дифференциала функции.

9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение функции при помощи ее дифференциала.

11. Как найти производную второго, третьего, n-го порядков?

12. Как найти дифференциал второго порядка от данной функции?

Тема 6. Приложения производной

[2] гл. XI, § 1—3, 7—10; [3] № 000, 1167, 1201, 1222, 1229.

Разберите решение задач 9, 10 данного пособия.

Задача 9. Исследовать функцию и построить

ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функции четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и
точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она
непрерывна на своей области определения, т. е. на интервалах ; 1) и (1; ). В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции
проверим выполнимость равенств (тогда —
четная функция) или (для нечетной функции)
для любых х и —х из области определения функции:

Следовательно, то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у' = 0 при х=0 и y´— не существует при x=1. Тем самым имеем две критические точки: x1 = 0, х2 =1. Но точка х2 =1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис.5):

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале— положительна н данная функция возрастает. При переходе через точку x = 0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:. Значит, A(0; —1) — точка минимума

РИСУНОК № 5.

На рис. 5 знаками +, — указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками — возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у"=0 при x = и у" — не существует при х=1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6); ; 1), (1;. На первом интервале вторая производная у" отрицательна и дуга исследуемой кривой выпуклая; на втором и третьем интервалах у">0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точку

у" меняет свой знак, поэтому абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В— точка перегиба графика функции.

РИСУНОК № 6.

6. х =1—точка разрыва функции, причем

Поэтому прямая х =1 является вертикальной асимптотой - графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты у = kх+b воспользуемся формулами:

Тогда

При вычислений последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит прямая у =0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

РИСУНОК № 7.

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости его поверхность будет минимальной.

Обозначим через— сторону основания,— высоту резервуара. Тогда площадь его поверхности равна а2+ 4аb, а объем. Отсюда

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания a(аргумент). Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную S', приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

Отсюда . S'(а)>0 при, при. Следовательно, при функция S имеет минимум. Если, то Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 л будут наименьшими, если он имеет размеры

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их
геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? критическими?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

9. Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.

11. В каком случае применяется правило Лопиталя при
вычислении пределов?

Тема 7. Функции нескольких переменных

[2] гл XX; [3] № 000, 1882, 1885, 2032, 2048

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции двух независимых переменных. Приведите примеры.

2. Что называется областью определения функции двух независимых переменных? Каково геометрическое изображение функции двух переменных?

3. Что называется частным и полным приращением функции двух независимых переменных?

4. Сформулируйте определение предела функции двух переменных.

5. Какая, функция называется непрерывной в точке? в области?

6. Дайте определение частных производных первого порядка функции двух переменных. Каков их геометрический смысл?

7. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

8. Как найти частные производные второго порядка функции двух переменных?

9. Что является необходимым условием экстремума функции двух переменных?

10. Сформулируйте достаточный признак экстремума функции двух переменных.

Тема 8. Неопределенный интеграл

[2] гл. XIII; [3] № 000, 1267, 1286, 1318, 1363, 1365, 1426, 1572.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.

5. В чем сущность метода интегрирования заменой переменной?

6. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Тема 9. Определенный интеграл

[2] гл. XIV, XV; [3] № 000, 1607, 1612,1619,1622,1629,1636, 1670, 1685.

Разберите решение задачи 11 данного пособия.

Задача 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2+4x, у=x+4 (рис. 8).

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными лилиями у=f(х) и y= пересекающимися в точках с абсциссами х=а и х=b, определяется по формуле