Изучение дифференциальных уравнений в старшей школе при помощи компьютерных технологий (стр. 2 )

что удовлетворяет начальному условию у (0) = .

Решение. Заданное уравнение можно записать в виде

(sin y)'= ,

откуда находим его общее решение

sin y=

Чтобы найти значение постоянной С, подставим в это равенство начальное условие x = 0, у= . Получаем, что sin =С, откуда С= .Итак, искомое частное решение запишем в виде:

sin y= или у = arcsin ( ).

1.4.2. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1)

где — непрерывные функции на некотором промежутке , причем считают, что для любого

.

Такое предположение дает возможность записать линейное уравнение в виде

(2)

где

линейное однородное дифференциальное уравнение

Рассмотрим случай, когда в дифференциальном уравнении (2) правая часть в рассматриваемом промежутке . Дифференциальное уравнение приобретает вид

("7") (3)

Это уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением. Оно допускает разделение переменных. В самом деле, при данное уравнение можно записать так:

Отсюда находим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (3):

, (4)

где — произвольная константа.

Заметим, что общее решение (4) мы получили, предположив, что . Непосредственной подстановкой убеждаем, что функция является частным решением уравнения (3). Тем не менее это решение образовывается из общего решения (4) при . Поэтому решение является частным решением дифференциального уравнения (3). Иначе говоря, все решения линейного однородного дифференциального уравнения (3) определяются формулой (4).

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Если в дифференциальном уравнении (2) функция на рассматриваемом промежутке , то такое дифференциальное уравнение называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Для решения этого уравнения используют определенные методы. Рассмотрим некоторые из них :

1)Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) ;

Решение однородного дифференциального уравнения (3) имеют вид (4).

Решение дифференциального уравнения (2) будем искать в виде

(5)

предположив, что С не постоянная, а неизвестная функция от х.

Подставив функцию (5) в дифференциальное уравнение (2) получим :

("8")

, где - произвольная константа. (6)

Подставляя (6) в (5) находим все решения уравнения (2) :

(7)

Анализируя общее решение (7), видим, что первое слагаемое является общим решением однородного уравнения (3), а второе слагаемое является частным решением (он образовывается из решения (7) при ) неоднородного уравнения (2). Поэтому можно сделать такой вывод: общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

2)Метод Бернулли ;

Решение уравнения (2) ищем из уравнения

Подставив в (2) имеем:

или

Функцию u(x) найдем из условия

- ЛОУ, тогда

Для функции v(x) имеем уравнение:

, где – произвольная константа. Перемножив получим (7).

Уравнение Бернулли

К линейному дифференциальному уравнению можно привести уравнение, которое называют уравнением Бернулли:

. (8)

В уравнении (8) функции Ρ(х) и Q(х) непрерывные на промежутке , a n — некоторое постоянное число.

("9") Если , то уравнение (8) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением. Если , то уравнение допускает обособление переменных.

В дальнейшем будем полагать, что .

Помножив обе части уравнения (8) на , получим такое дифференциальное уравнение:

. (9)

Введем новую функцию z, положив

(10)

Отсюда

(11)

Умножив обе части дифференциального уравнения (9) на (1-n), получим линейное дифференциальное уравнение относительно функции z:

(12)

Определив из этого уравнения функцию , из уравнения (10) найдем искомую функцию :

1.4.3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальным уравнением n-ого порядка называют соотношение вида

(1)

где х — независимая переменная, — искомая функция, а — соответствующие производные функции у. Величины могут и не входить в уравнение, но производная n-ого порядка должна входить обязательно.

Предположим, что уравнение (1) может быть решено относительно старшей производной :

(2) Уравнение (2) называют дифференциальным уравнением п-ого порядка, решаемым относительно производной n-го порядка. В дальнейшем будем изучать дифференциальные уравнения вида (2).

Любая непрерывная и n раз дифференцированная на промежутке (α и b могут быть несобственными числами, соответственно и ) функция называется решением дифференциального уравнения (2) на этом промежутке, если она превращает это уравнение в тождество

которое выполняется для любого .

("10") Способ нахождения решения дифференциального уравнения (2) называют интегрированием этого уравнения.

Если дифференциальное уравнение (2) имеет на данном промежутке решение , то этих решений может быть бесконечное множество. Все эти решения можно записать в виде

(3)

где - произвольные константы.

Решение (3), которое содержит n произвольных постоянных, называют общим решением дифференциального уравнения (2).

Решение, которое можно получить из общего решения (3) при отдельных числовых значениях постоянных , называют частным решением дифференциального уравнения (2).

Так, дифференциальное уравнение (3) на интервале ( ) имеет общее решение