Изучение дифференциальных уравнений в старшей школе при помощи компьютерных технологий (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АР КРЫМ

РВНЗ «КРЫМСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (Г. ЯЛТА)

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И МЕНЕДЖМЕНТА

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

ИЗУЧЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ ПРИ ПОМОЩИ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

дипломная работа

Студента 51 МИ группы

дневной формы обучения

Карпенко Михаила Николаевича

Научный руководитель:

.

Допущен к защите на заседании ГЭК (протокол № ___ от _______ 2007 г.)

Заведующий кафедрой ____________________________

Оценка у работы на заседании ГЭК________________________________

Глава ГЭК-доктор технических наук, профессор__________________

Ялта

2007

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

("1") Под общим развитием человека понимают прежде всего знание основ наук о природе, обществе и человеческом мышлении, важнейших областей производства. Школа должна готовить образованных людей с широким кругозором, которые знали бы основы науки, разбирались в основных областях производства, владели методами научного познания.

Для общего образования очень важно вооружить учеников этими методами, чтобы они могли практически в конкретных ситуациях анализировать разные явления и проблемы, уметь составлять модели реальных процессов. Изучение математики в этом отношении может дать очень много. Вообще, математика и присущий ей стиль мышления - это важные элементы общей культуры современного человека.

Ознакомить учеников с этими элементами культуры, дать им минимум математических знаний, которые нужно каждому человеку, - это задача возложенная на учителей математики.

Математика - одна из древних наук. Еще в давние времена математику называли ”царицей наук“, ”ключом для всех наук“. В наше время дети считают математику сухой наукой, говорят, что много материала, который они изучают в школе, нигде не используется, поэтому им не нужно его знать. В результате такого отношения детей к математике снижается уровень знаний, подготовки учеников из математики. Поэтому необходимо, чтобы учитель математики вызвал интерес у учеников своим предметом, показал красоту математики. Одним из главных способов этого достижения и знания из математики, привить любовь к ней, оказывает содействие глубинному усвоению программного материала и этим самим обнаруживает математические способности учеников. Выявление и развитие математических способностей нужно отнести к одной из важнейших и ответственных задач современной школы. Это очень необходимо для развития общества Украины, поскольку в возраст математизации знаний важно не потерять потенциальные таланты, воспитывать их направлять на усовершенствование как самой математики, так многочисленных ее применений. Хорошее математическое образование и развитие математических способностей не только тем, кто в дальнейшем будет заниматься научными исследованиями в математике, но и тем, кто будет работать в разных областях народного образования, вообще в системе народного хозяйства. Математический стиль мышления, умение моделировать реальные явления является необходимой составной творческого мышление. Одной из форм работы с учениками есть факультативные занятия. Факультативы по математике не являются формой внеклассной работы. Это одна из форм дифференцированного обучения математике, цель которого - углубление и расширение знаний учеников, развитие их математических способностей и стойкой заинтересованности математикой.

Сегодня факультативное обучение математике в средних учебных заведениях должно углублять знания учеников, добытые ими во время изучения основного курса, а также развивать логическое мышление, любопытство к математике и творческие способности.

Поэтому тему моей дипломной работы я выбрал “Изучение обычных дифференциальных уравнений на факультативных занятиях в старшей школе ”.

Объект исследования: процесс обучения математике старших школьников при помощи компьютера.

Предмет исследования: факультативные занятия по математике как форма дифференцированного обучения.

Цель исследования: теоретическое и практическое обоснования изучения обычных дифференциальных уравнений на факультативных занятиях с учениками старшей школы, разработка программы факультатива по математике по теме “ дифференциальные уравнения и их значение в природоведении”.

Гипотеза: предложенная методика изучения обычных дифференциальных уравнений оказывает содействие развитию логического мышления, умение моделировать реальные процессы с помощью дифференциальных уравнений, повышает интерес учеников к математике как к учебному предмету.

Задачами дипломной работы являются:

1) Изучение литературы по теме исследования;

2) Разработать программу факультативного курса по теме “Дифференциальные уравнения и их значение в природоведении”;

3) Разработать содержание факультативных занятий по выбранной теме и системе упражнений для обработки на ПК с помощью программного средства Мaple.

Предмет использованных методов: изучение литературных источников, наблюдение за учебным процессом, моделирование эксперимента.

РАЗДЕЛ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ УЧЕНИКАМИ СТАРШЕЙ ШКОЛЫ.

1.1 Факультативные курсы как одна из форм дифференцированного обучения.

Факультативные занятия в 7-10 классах (по старой нумерации классов) введены осенью 1967 г. Это была своеобразная педагогическая лаборатория для обработки, уточнения и «обкатки» материала, который позднее должен был войти в обязательную программу.

Первая программа факультативных занятий предусматривала занятия двух видов: 1) дополнительные разделы и вопросы, которые граничат с темами обязательной программы, важные из общеобразовательного взгляда и те, которые раскрывают применение математики; 2) специальные факультативные курсы: «Вычислительная математика», «Программирование», «Векторные пространства и линейное программирование». Эти курсы рассчитывались на довольно развитое любопытство учеников к изучению выбранных разделов математики. Такие спецкурсы рекомендовалось проводить там, где есть специалисты (учителя школ, работники вычислительных центров, научно-исследовательских учреждений, вузов).

Первая программа факультативов опубликована в 1967 г. Рассчитанная на старую школьную программу. Поэтому в ней ведущее место занимали темы, которые должны были войти в новую программу: в 8 классе - «Множества и операции над ними» (10 ч), «Бесконечные множества» (10 ч), «Геометрические преобразования» (20 ч); в 9 классе - «Производная» (36 ч), «Принцип математической индукции» (10 ч); в 10 классе - «Интеграл» (12 ч), «Начала теории вероятности» (18 ч). Факультативы по математике не являются формой внеклассной работы. Это одна из форм дифференцированного обучения математике, цель которого - углубление и расширение знаний учеников, развитие их математических способностей и стойкой заинтересованности математикой.

("2") В процессе внедрения в жизнь новых школьных программ изменялись и программы факультативных занятий. В 9 классе появилась тема «Комплексные числа» и связанная с ней тема «Алгебраические уравнения высших степеней», которую потом перенесли в 10 класс.

В истории существования факультативов различают два этапа. Первый, переходной этап (от 1967 до 1976 г.) и новый, второй этап (от 1976 г.), когда было разработано новое содержание факультативов после введения новой школьной программы.[21]

Сегодня факультативное обучение математике в 7-11 классах должно углублять знания учеников, добытые ими во время изучения основного курса, а также развивать логическое мышление, любопытство к математике, творческие способности.

Задачами факультативных курсов являются улучшение подготовки учеников к вступительным экзаменам в высшие и средние специальные учебные заведения. Но если эта задача становится главной, то занятия сводятся к прямому натаскиванию (в форме решения многочисленных задач, которые предлагались на вступительных экзаменах в разные вузы.) Это дискредитирует самую идею факультативных курсов, и занятия становятся мало эффективными. Другое дело, если учитель организует самостоятельную работу учеников (вне занятий) по решению задач, а на факультативных занятиях вместе со школьниками определяет наиболее рациональную методику поиска решений, устанавливает границу применимости того или другого метода решения, учит предупреждать наиболее типичные ошибки в решении, в его записи и обосновании, в оформлении чертежа к задаче, учит находить эффективные приемы самоконтроля, сопоставлять разные способы решения одной и той же математической задачи, оценяя их преимущества и недостатки. В этом случае сознательное и глубокое усвоение содержания, идей, методов школьного курса является в тот же время лучшей подготовкой к вступительным экзаменам в высшие и средние учебные заведения.

Среди требований взаимозависимого построения факультативных занятий и уроков по математике можно указать такие:

Преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике должна определяться целями обучения математике, всестороннему развитию и воспитанию учеников. Взаимозависимое построение уроков и факультативных занятий по математике не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математике. Не должно быть противоречий с научно обоснованными психолого-педагогическими требованиями, направлениями такими, как: изучение новых понятий на основе известных; включение этих понятий в круг имеющихся у учеников знаний, опора при изучении математических абстракций на конкретные модели; использование практических возможностей прикладной математики не только на развивающем этапе изучения данного вопроса, но и как мотив, который обосновывает необходимость изучения этого раздела, вопроса. Не должно быть несогласованности и с директивными нормами организации работы общеобразовательной школы. Например, нельзя время, отведенное на факультативные занятия, использовать для внеклассной работы или дополнительных занятий по математике (хотя бы потому, что не предусмотрено финансированием школы и противоречит идее факультативных курсов как занятий на выбор ). Главным критерием эффективности взаимозависимого построения урока, внеклассных и факультативных занятий по математике должна быть в конечном счете результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников. Поскольку результативность учебно-воспитательного процесса зависит главным образом от “массовости” занятий, то преемственность и взаимосвязь уроков и факультативных занятий должны рассматриваться в такой последовательности: уроки математики - внеклассные занятия - факультативные занятия. Самая массовая форма обучения - уроки - главное звено этой цепи. Факультативные занятия не могут охватить всех учеников, а отдельные внеклассные мероприятия - могут (математические вечера, например). Поэтому внеклассные занятия по массовости занимают второе место. Следует отметить, что каждое следующее звено должна рассматриваться с учетом завершения задач, положенных на предыдущее звено (на предыдущие звенья - для факультативных занятий).

7.Каждая из форм обучения: уроки и факультативные занятия, имеют свою ценность, в них есть свои специфические задачи. Именно эти задачи должны определять “обратные” требования к каждому предыдущему звену цепи “уроки - внеклассная работа - факультативные занятия”, например, с учетом пропедевтики, с учетом выполнения задач следующего звена (следующих звеньев - для уроков математики).

Критерий совершенствования содержания и методики факультативного курса должен быть комплексный. Он заключается в учете и всесторонней оценке всего педагогического, психологического и математического единства т. е. в содержании, формах и методах организации, которыми должны быть связаны учебные работы и факультативные занятия.

Учителя и методисты большое значение придают вопросам организации самостоятельной работы учеников в процессе факультативных занятий. Учителя считают важным для формирования стойкого интереса учеников к изучению математики обеспечить взаимосвязь (в содержании) уроков и факультативных занятий. Один из эффективных приемов это показ новых идей и методов в действии, в применении к задачам, которые “программными” методами решаются намного сложнее. Это можно рассматривать как рекомендацию для успешного функционированию факультатива. Здесь также необходимо заметить, что критерии отбора содержания занятий и организации активной познавательной деятельности учеников, нельзя устанавливать, учитывая только одну какую-нибудь цель факультативных занятий. Например, было бы по ошибке для всестороннего математического развития учеников и формирование представления о единстве методов математики изучать только алгебраический материал, оставляя за рамками факультатива элементы геометрии (и наоборот). Это дискредитирует всестороннее развитию математического мышления учеников, а это как известно одна из целей факультативных курсов. Поэтому здесь необходимо обеспечить на факультативных занятиях взаимосвязь алгебры и геометрии и других математических наук.

Активизация самостоятельной работы учеников присущей урокам математики. Очевидно, это может быть принято также и на факультативных занятиях. Можно использовать такие виды самостоятельной работы, как доклады учеников и их обсуждение, подготовка рефератов, чтение математической литературы. В условиях занятий учителя с группой учеников большое значение приобретает умение учителя активизировать самостоятельную математическую деятельность учеников, рационально соединить свои вопросы, задачи, объяснение их индивидуальной и общей учебной работой. Таким образом, активизация самостоятельной работы учеников - необходимое комплексное условие повышения эффективности методов обучения на факультативных занятиях.

Самостоятельная работа эффективная при выполнении двух условий: контроля со стороны учителя, самоконтроля и предоставление своевременной помощи отстающим. Это подтверждает требование преемственности для средств обучения. Опыт показывает на факультативных занятиях можно применять такие современные средства обучения, как предметные модели, математические книги (на уроках - это прежде всего учебники), дидактические материалы с печатной основой и т. п., такие технические средства как кинопроекторы, кодоскопы, тренажеры и другие учебные устройства. Преимущества использования таблиц, плакатов, других учебных материалов перед “меловым” средством обучения, когда все графические изображения даются учителем на доске в ходе урока путем довольно нерационального использования учебного времени не имеют потребности в подробном обосновании. Бесспорное здесь - прежде всего увеличение темпа изучения нового материала и значительное повышение эффективности общей работы учителя и учеников.

Много учителей успешно используют на факультативных занятиях, во время лекции, конспект - таблицы основанные на системе . и его последователи используют как конспекты листы опорных сигналов, составленные из нескольких блоков. Некоторые математические предложения в этих конспектах заменяются ключевыми словами или рисунками, которые вызывают необходимые ассоциации только у тех, кто слушал объяснение. Одобряя в целом идею опорных сигналов, отметим все-таки, что они, как и любые конспекты, сковывают инициативу учителя, так как прежде всего отбивают индивидуальность автора. Преподавание будет более эффективным и интересным, если учителя станут сами составлять короткие записи, которые отбивают основные этапы изложения нового.

Требования преемственности методов и средств обучения разрешают высказать рекомендации из активизации самостоятельной работы учеников на всех формах занятий по математике. Главная из них: учителю следует стремиться, чтобы самостоятельная работа учеников не ограничивалась лишь решением типичных задач и упражнений, так как основная цель этих занятий и заключается в развитии творческой инициативы школьников, их познавательных способностей математического мышления.

Так, в самостоятельную работу учеников на факультативных занятиях (с учетом преемственности) может и должно быть включено изучение нового материала: а) по составленному учителем плану; б) путем чтения текста книги; в) путем проведения индивидуальных экспериментов и получение коллективного правдоподобного предположения (гипотезы); г) с помощью поисков решения нового типа задач и т. п.

Процесс обучения должен строиться как общая исследовательская деятельность учеников: математическая истина (определенное правило, теорема, свойство) не сообщается ученикам “в готовом виде”, а приоткрывается ими самими. Этот процесс начинается с наблюдений, высказывания догадок, суждений (о возможном способе решения, о возможном содержании теоремы, правила), после чего вытекает проверка, поиски дедуктивного обоснования выводов, обобщение, анализ прикладных возможностей. Исследовательская или проблемная структура изучения математики хорошо отвечает развивающим целям обучения при факультативной форме занятий. Не случайно эта структура органически объединяется с одновременным выполнением ряда “развивающих” требований: использование историко-математического материала, использование материала “интересной” математики и другого.[22]

("3") Изучение опыта работы дает возможность проявить такую форму проведения урока как урок решения ключевых задач по теме. Учитель (вместе с учениками) выделяет минимальное число задач, на которые реализуется изученная теория, учит распознавать и решать ключевые задачи. заметил, что по каждой теме можно выделить немного, обычно не более 7-8, ключевых задач; почти все другие задачи нетрудно свести до одной из них. По нашему мнению, использование системы ключевых задач на факультативных занятиях дает возможность их более успешному функционированию, поскольку в психологии установлено, что выполнение однотипных задач приводит к ряду отрицательных явлений: ученики начинают решать задачи по аналогии с предыдущими. Поэтому в решении появляются ошибки. И следствием этого - плохо усвоенный материал.

Учителям математики известны, скажем, книги “История математики в школе” , в которой историко-математический материал излагается согласно темам и разделами учебной программы. В распоряжении учителей много и других аналогичных пособий. Однако, как отмечают научный работники, на факультативных занятиях по математике многими учителями элементы истории математики чаще всего не используются. Тем временем использование историко-математического материала на факультативных занятиях оказывает содействие установлению преемственности между ними и другими видами занятий по математике, т. е. оказывает содействие повышению их общей эффективности. Как известно, основная задача факультативных занятий заключается в том, чтобы, учитывая интересы и склонности учеников, расширить и углубить знания программного материала, ознакомить их с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть применение математики в практике. Без использования исторического материала намного тяжелее подвести школьников к пониманию некоторых общих идей современной математической науки. Современная математика, например немыслимая без символики, без использования знаков математической логики. Как показывает опыт, введение учебного материала без использования историко-генетического метода объяснения, не дает красивого эффекта. Хорошо запоминаются такие историко-математические сведения, как история развития математики, формирование ее основных идей и методов. История науки разрешает ученикам увидеть ее движущие силы, наблюдать в действии взаимосвязь и взаимообусловленность научного познания и практической деятельности человека.

Подобно принципиальному использованию историко-математического материала “сквозной” характер имеет и принцип любопытства в организации факультативных занятий по математике. Широкое понимание термина “любопытство” идет еще от . Лобачевский, считал что любопытство - необходимое условие, средство возбуждать и поддерживать внимание, без нее преподавание не бывает успешным.

Интерес учеников к изучению математики, базируясь на любопытстве (в узком понимании слова), должен поддерживаться и другими средствами: привлечением историко-математического материала, решением жизненных задач, связью с нуждами, выдвинутыми практической деятельностью человека.

Вопрос проблемного обучения и другие вопросы активизации познавательной деятельности школьников получили одобрение в работах таких ученых, как , и прочие. Проблемной ситуацией в психологии называется такая ситуация, когда на пути удовлетворения потребности субъекта возникает какое-то препятствие. Проблемная ситуация характеризует прежде всего определенное психологическое состояние ученика, которое возникает в процессе выполнения такой задачи, которая требует открытия(усвоения) новых знаний о предмете, способе или условиях выполнения задач.[4]

Для успешного проблемного построения занятий по математике, таким образом, необходимо сформировать у учеников много необходимых логических и математических умений.

Без определенной подготовки надеяться включить учеников в успешную много этапную творческую поисковую деятельность нереально. Этот успех нужно готовить. Полезные специальные логические упражнения, для усвоения методов научного познания учитель может дать задачу на применение этих методов, не называя их, например сравнить (сопоставить или противопоставить), сделать вывод по аналогии, обобщить, конкретизировать, провести классификацию и другое. Благодаря таким упражнениям, которые представляют логические задачи на программном материале математики, учебная работа школьников превращается в школу логического мышления. При этом достигается цель углубления полученных знаний интенсивнее формируется интерес учеников к изучению школьного курса математики. Большой интерес учеников вызывает исследование возможностей обобщения способа решения данной задачи, решение целого ряда родственных ей задач.

Итак, из всего выше сказанного выделим методические рекомендации из организации математических факультативов:

Взаимосвязь в содержании, формах и методах организации учебной работы и факультативных занятий; Обеспечивать взаимосвязь (по содержанию) уроков и факультативных занятий; Единство в содержании факультативных занятий разных разделов математики; Активизация самостоятельной работы учеников; Построение учебного процесса как общую исследовательскую деятельность учеников; Использование наглядных приборов; применение конспектов-таблиц на лекциях; Использование системы ключевых задач по темам на факультативных занятиях; Использование историко-математического материала на факультативных занятиях; Принцип любопытства занятий; Построение занятий проблемного изучения материала.

1.2. Роль и место дифференциальных уравнений при изучении математики в старшей школе.

В конце XVII - в начале XVIII ст. разнообразные практические и научные проблемы привели к появлению дифференциальных уравнений. Прежде всего это были дифференциальные уравнения первого порядка, которые выражают оконченное число алгебраических действий или таких, что включают элементарные неалгебраические действия, например оперирование тригонометрическими функциями. Простейшие дифференциальные уравнения появились уже в работах Исаака Ньютона () и Готфрида Лейбница (). Именно Лейбницу и принадлежит термин«дифференциальное уравнение».

("4") Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, они являются орудием исследования многих задач природоведения и техники. Их широко используют в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что-довольно часто объективные законы, которым подчиняются определенные явления (процессы), записывают в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, которые характеризуют определенный процесс, и скорость изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых есть неизвестные функции и их производные.

В XVIII ст. теория дифференциальных уравнений отделилась из математического анализа в самостоятельную математическую дисциплину, ее успехи связаны с именами швейцарского ученого Иоганна Бернулли (), французского математика Жозефа Лагранжа () и особенно Леонарда Ейлера. Первый период развития дифференциальных уравнений был связан с успешным решением некоторых важных прикладных задач, которые приводят к дифференциальным уравнениям, разработкой методов интегрирования разных типов дифференциальных уравнений и поиском классов уравнений, решения которых можно подать в виде элементарных функций или их первоначальных. Тем не менее очень быстро оказалось, что интегрированных дифференциальных уравнений совсем немного. Это привело к развитию собственно теории дифференциальных уравнений, которая занимается разработкой методов, которые дают возможность по свойствам дифференциального уравнения определить свойства и характер его решения. В связи с нуждами практики постепенно разрабатывались и способы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Эти методы дают удобные алгоритмы вычислений с эффективными оценками точности, а современная вычислительная техника дает возможность экономически и быстро свести решение каждой такой задачи к числовому результату.

Дифференциальные уравнения, которые являются одним из важнейших средств математического моделирования, олицетворяют мощность идей математического анализа в процессе изучения предмета. А это означает, что основное внимание при изучении начал анализа необходимо направить на применение дифференциальных уравнений во время описания реальных процессов.

В программах по математике утвержденных Министерством Образования и науки Украины на изучение дифференциальных уравнений отводится 2 часа. Это количество часов недостаточно для ознакомления учеников старшей школы с основными идеями моделирования с помощью дифференциальных уравнений. Итак, есть необходимость расширить содержание темы за счет факультативных занятий для учеников, которые интересуются математикой.

1.3. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Решение большинства задач природоведения после соответствующих упрощений сводится к решению уравнений, которые содержат искомую функцию, которая зависит от одного или нескольких аргументов, а эти аргументы и производные разных порядков от искомых функций. Во многих случаях решение таких задач сводится к решению уравнений, которые содержат функции одной переменной, - их называют обычными дифференциальными уравнениями.

Обычным дифференциальным уравнением с одной искомой функцией называют уравнение, которое содержит производные искомой функции некоторого порядка включительно, а также саму функцию и независимую переменную. Высочайший порядок производных, которые входят в это уравнение, определяет порядок уравнения.

Например, у'+3xsiny=x3 — уравнение первого порядка, а (у")3+ (у')2=х4 — уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называют любую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.

Пример. Докажем, что функция у=sinωх является решением дифференциального уравнения y"+ω2y=0.

Решение:

Имеем: у' = ω cos ωх, у"= — ω2 sin ωх.

Подставляя значение у и у" в заданное уравнение, получаем тождество

—ω2 sin ωх+ω2 sin ωх=0.

Значит, что y=sinωx — это решение данного уравнения. Так же проверяется, что функция у = cos ωx удовлетворяет этому уравнению. Больше того, можно показать, что, какие бы не были постоянные С1 и С2, функция у=С1sin ωx+C2cos ωx является решением уравнения у"+ω2y=0.

Это не случайно — можно доказать, что при решении уравнения n-го порядка получим ответ, который содержит n произвольных постоянных, причем число этих постоянных уменьшать нельзя. Такой ответ называют общим решением дифференциального уравнения n-го порядка. Если же заменить произвольные константы конкретными числовыми значениями, то получится частное решение уравнения.

Поле направлений. В некоторой плоской области заданное поле направлений, если каждой точке этой области соответствует некоторое направление.

Например, если на плоскости задано силовое поле (электрическое или магнитное), то каждой точке соответствует вектор, т. е. направление. Таким образом, силовое поле определяет некоторое поле направлений.

Для того чтобы задать поле направлений, обычно совершают так: в каждой точке М(х, у) данной области указывают значение tgα, где α — угол между направлением поля в точке М(х, у) и положительным направлением оси абсцисс. Таким образом, поле направлений задается равенством tgα=f(x, у). Если по мере приближения к точке М(х, у) значение функции f(x, у) стремится к бесконечности, то это означает, что в рассмотренной точке поле имеет вертикальное направление (тангенс не существует) .

Пример. Построим с помощью изоклин поле направлений, которое задается формулой tgα = y - х.

("5") Решение. Изоклины имеют уравнение у - х=С, т. е. являются прямыми линиями, параллельными биссектрисе первого и третьего координатных углов (рис. 1). На самой биссектрисе, т. е. на линии у-х=0, поле образует с осью абсцисс угол α = 0, на прямой у — х= 1— угол (так как tg =1), на прямой у— x = - угол . На прямой у – х = -2 поле образует с положительным направлением оси абсцисс такой угол α, что tg α = -2, т. е. приблизительно 115.

Аналогично находятся направления на других пямых семейства изоклин.

Рис. 1

Геометрическое содержание дифференциального уравнения.

Графиком частного решения дифференциального уравнения будет некоторая линия на плоскости. Эту линию называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Общим решением является семейство интегральных кривых.

Пусть y=φ(x) — интегральная кривая уравнения у'=f(x, у), которая проходит через точку М0(х0, в0). Подставив координаты этой точки в f(х, у), получим число f(x0,, y0) (считаем, что функция f определена в точке M0). Это число равняется значению у'=φ(x, у) в точке М0. Но значение производной функции y=φ(x) при х=х0 равняется, как известно, тангенсу угла наклона к оси абсцисс касательной к кривой y=φ(x) в точке с абсциссой х0. Значит, направление касательной к интегральной кривой в каждой точке совпадает с направлением поля, для которого tgα=f(x, у). Т. е., интегральная кривая касается в каждой своей точке поля направлений.. [16]

1.4. Классификация и методы решения простейших дифференциальных уравнений.

Уравнение вида у'=f(x). Простейшими из дифференциальных уравнений первого порядка есть уравнения вида у'=f(x). Чтобы решить такое уравнение, необходимо найти функцию y=F(x), производная которой равняется f(x), т. е. первообразную функцию для f(x).

Пример. Решим уравнение у'=х2.

Решение. Для функции х2 одна из первообразных равняется . Итак, общее решение уравнения у'=х2 имеет вид: у= +С.

1.4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Как уравнение вида у' = f(x), так и уравнение вида у' = f(y) относятся к общему классу уравнений, которые имеют вид

p(у)у'=q(x). (1)

Поскольку правая часть уравнения (1) зависит только от х, а левая представляет собой произведение функции у на производную у', такие уравнения называют уравнениями с раздеяющимися переменными.

Решим уравнение (1). Пусть Ρ — одна из первообразных для функции р, a Q — одна из первоначальных для функции q. Тогда Ρ(у) это первообразная для ρ(у)у', и потому уравнение (1) можно записать в виде

(Р(y))'=(Q(x))',

Откуда находим, что

P(y)=Q(x)+C.

Решение уравнения (1) можно оставить в полученной неявной форме, а можно, если выйдет, выразить у через х.

("6") Пример. Найдем решение уравнения

cosy у' = 1 + х2,