Изучение дифференциальных уравнений в старшей школе при помощи компьютерных технологий (стр. 3 )

(4)

где С1 и С2— произвольные стал константы. Докажем, что функция (4) является решением дифференциального уравнения (3). Для этого найдем вторую производную этой функции:

Итак, . Поскольку решение (4) содержит две произвольные константы, то оно является общим решением.

С геометрической точки зрения общее решение дифференциального уравнения (2) это семья кривых, зависимых от n параметров , а частное решение — отдельной кривой из этой семьи. Такие кривые называют интегральными кривыми дифференциального уравнения (2).

Задача Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка (задача с начальными условиями): среди всех решений уравнения (2) нужно найти такое решение , которое при ( — произвольная точка промежутка ), удовлетворяет условию:

(5)

где — произвольные заведомо заданные действительные числа.

Числа называют начальными данными решения , а число — начальным значением независимой переменной х. Совокупность чисел , называют начальными данными уравнения (2), а условие (5) — начальными условиями дифференциального уравнения (2).

Так, для дифференциального уравнения второго порядка

(6)

задача Коши заключается в нахождении решения этого уравнения, которое удовлетворяет начальному условию:

("11")

Задача Коши имеет такое геометрическое содержание: среди всех интегральных кривых уравнения (5) выделить (найти) ту интегральную кривую, которая проходит через заданную точку и имеет в этой точке заданное направление касательной, т. е. (рис. 1).

Дадим механическую трактовку задачи Коши. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(6)

которое описывает движение точки по прямой под действием силы

Задача Коши для дифференциального уравнения (6) заключается в том, что из всех движений (решения дифференциального уравнения (6) называют в механике движениями), которые определяются этим уравнением, необходимо найти движение , которое удовлетворяет начальному условия:

(7)

т. е. найти такое движение, в котором подвижная точка в заданный момент времени находилась бы в положении х0, и имела бы заданную начальную скорость .

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Т е о р е м а. Пусть правая часть в уравнении (2) определенная в некоторой ограниченной области - измеримого пространства Rn+1 и пусть выполняются условия:

1) будет в области непрерывной согластно своих аргументов.

Тогда данная функция в этой области ограничена, т. е. существует такое число , которое

(8)

2) функция в области по переменными удовлетворяет условию Липшица:

где L>0 – константа (константа Липшица), а - произвольные точки из области .

Тогда дифференциальное уравнение (2) на отрезке , где , имеет единое решение , которое удовлетворяет начальному условию (5). [38]

1.5. Характеристика программных средств ориентированных на изучение математики

Обращаясь к истории создания компьютеров, следует отметить, что в скором времени после окончания Второй мировой войны именно потребность в автоматизации математических расчетов привела к созданию компьютеров (computer в буквальном переводе - вычислительная машина). Однако первые поколения таких машин на электронных лампах и транзисторах не получили широкого применения. Они были дорогие и громоздкие, а потому доступные лишь ограниченному кругу специалистов.

С развитием микроэлектороники появились специализированные, предназначенные для математических расчетов, миниатюрные компьютеры личного пользования - программированные калькуляторы. Они широко применяются и сейчас. Но в последние годы массовое распространение получили куда более могущественные, быстрые и универсальные персональные компьютеры (ПК), которые имеют замечательные графические возможности, которые используются практически во всех сферах науки, производства, бизнеса и образования.

Раньше подавляющее большинство учеников считало математику сухой и сложной наукой, а ее преподавания ассоциировалось с книжкой, партой, учебной доской, рабочим столом и напряженной работой. Для меньшинств людей, которые от природы могли увидеть красоту этой науки, всегда не хватало, а теперь всегда будет необходимым компьютер как реализатор самых необыкновенных идей и помощник в решении прекрасных математических задач. Неординарность указанного факта заключается в том, что теперь значительное большинство учеников и на этапе образования, и в жизни связанная с информатикой, которая по своей сути является основой, источником математики. Интерес к компьютеру существенным образом изменяет отношение большинства учеников к точным наукам и прежде всего к математике.

("12") На сегодня разработано значительное количество программных средств, которые могут решать с помощью компьютера довольно широкий круг математических задач разных уровней сложности. Это такие программы как DERIVE, EURIKA, GRAN, Maple, MathCAD, Mathematika, MATLAB, Maxima, Numeri, Reduce и др.

ПРОГРАММА DERIVE

Система DERIVE создана фирмой Soft Warehouse Inc (США). Она унаследовала лучшие черты от системы компьютерной алгебры - muMATH. Поэтому, несмотря на новизну, Derive надежная и быстродействующая система.

Программа DERIVE предназначена для решения довольно значительного круга математических задач - отыскания решений уравнений в числовых и буквенных выражениях, границ функций, обычных и частных производных разных порядков, разложения функций в ряд Тейлора, неопределенных и определенных интегралов разной кратности с постоянными и переменными границами, выполнение операций над векторами и матрицами, ,графических построений в двухмерном пространстве и др.

Кроме того, выполняется упрощение алгеброических выражений с использованием довольно общих преобразований, вычисление значений выражений с указанной точностью.

Для расширения возможностей и подготовки библиотек функций Derive имеет язык программирования сверхвысокого уровня, который работает с операторами и функциями. Она простая и не требует от пользователя больших затрат времени на усвоение. Языком реализации DERIVE является язык Lisp - один из самых известных языков высокого уровня, который ориентируется на решение задач искусственного интеллекта и построение экспертных систем.

Недостатком системы является то, что выражения должны вводиться в одну строку, как это делается в языках программирования. Но после введения выражение подается в обычной математической записи.

ПРОГРАММА EUREKA

Программа EUREKA предназначена для решения довольно широкого круга математических задач, исследование функций, построения их графиков, решения уравнений и систем уравнений, отыскание оптимальных решений задач линейного и нелинейного программирования и др.

ПРОГРАММА GRAN

Программа GRAN предназначена для графического анализа функций, откуда и появляется её название (Graphic ANalysis).

Делать алгебраические вычисления можно с помощью любого математического пакета, но этого мало для лучшего понимания учениками материала. Особенностью Gran-В это удобное оперирование геометрическими объектами, которое вносит у обучение геометрии большую наглядность.

Для использования DERIVE, EURIKA, GRAN не требуются весьма мощные компьютеры с большим быстродействием, значительными объемами оперативных запоминающих устройств, высокими требованиями к возможностям графических построений. При работе с ними целиком успешно могут быть использованные любые IBM-Совместные компьютеры с процессорами типов 86286 и выше, цветными мониторами и графическими адаптерами типа EGA и выше, ОЗП от 386 Кб и выше. Названные программы простые в пользовании, оснащенные довольно удобным и "любезным" интерфейсом, максимально приближенным к интерфейсу наиболее распространенных программ общего назначения (систем обработки текстов, управление базами данных, электронных таблиц, графических и музыкальных редакторов, операционных оболочек), контекстно-чувствительной помощью.

ПРОГРАММА MATLAB

MatLab (матричная лаборатория) - это система, в которой основным элементом данных является массив. Поэтому с помощью такой системы можно решать задачи, которые содержат массивы и векторы, в несколько раз быстрее, чем с помощью тех систем, которые работают со скалярными данными. Система MatLab прежде всего была предназначена для численных вычислений. Со временем ее возможности весомо возросли, появились библиотеки, которые реализуют уникальные для математических пакетов функции. Управляемая графика содержит команды для визуализации двух - и трехмерных данных, обработки изображений, анимации и т. п..

MatLab отличается высокой скоростью численных вычислений. К недостаткам нужно отнести не совсем удачный Help и специфический редактор кода MatLab программ - C-Math.

В целом Matlab - это уникальная коллекция реализаций современных численных методов, созданных за последние три десятка лет. Она вобрала в себя и опыт, и правила и методы математических вычислений, накопленные за тысячи лет развития математики. Это объединяется с могущественными средствами графической визуализации и даже анимационной графики. Систему с добавленной к ней большой документацией целиком можно рассматривать как фундаментальный многотомный электронный справочник из математического обеспечения ЭВМ от массовых персональных компьютеров к супер-евм.[14]

ПРОГРАММА MATHCAD

Давно приобрела популярность, как непревзойденный редактор математических текстов, программа MathCAD фирмы MathSoft Inc.

MathCAD предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач во всяческих областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design - системы автоматического проектирования, или САПР).

("13") В среде MathCAD доступные более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения технических проблем разной сложности. MathCAD содержит:

большую библиотеку встроенных математических функций; инструменты построения графиков разных типов; средства создания текстовых комментариев и оформление отчетов; конструкции, подобные программным конструкциям языков программирования, которые разрешают писать программы для решения задач, которые невозможно или очень сложно решить стандартными инструментами пакета; удобно организованную интерактивную систему получения справки и оперативной подсказки;

MathCAD имеет уникальное свойство - возможность записи математических алгоритмов в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как квадратный корень, знак деления в виде горизонтальной черточки, знак интеграла, границы и т. д.

Следует отметить, что система MathCAD имеет символический режим, который разрешает делать преобразование формул в символическом виде (упрощать выражения, вычислять неопределенные интегралы, находить дифференциалы функций по некоторой переменной, раскладывать выражения на множители и т. д.).

Современные версии MathCAD являются математически ориентированными универсальными системами. Кроме собственных вычислений, как численных, так и аналитических, они помогают с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с затрудненнями даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью MathCAD можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты; можно не только осуществлять набор самых сложных математических формул, но и изысканно графически подавать результаты вычислений и сопровождать работу многими "живыми" примерами.[12]

Рассматривая новые версии MathCAD, следует отметить, что к их важным преимуществам относятся настройка под любой мало-мальски известный тип печатающих устройств, богатый набор шрифтов, возможность использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный много оконный интерфейс. К новым версиям MathCAD включены эффективные средства оформления документов в цвете, возможность создания анимационных (тех, что двигаются, изменяются) графиков и звукового сопровождения. Здесь же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с могущественным вычислительным потенциалом. Предусмотрено І возможность объединения с другими математическими и графическими системами для решения особенно сложных задач. Отсюда и название таких систем - интегрированные системы. Впрочем, в решении задач интеграции творцы MathCAD пошли намного дальше - эта система обеспечивает настоящую интеграцию с целым рядом других математических, графических и офисных систем. Для этого у нее включенный специальный системный интегратор MathConnex.

В общеобразовательных школах целесообразно изучать систему MathCAD, особенно в классах с математическим наклоном.

Но основная педагогическая проблема заключается при этом в том, что ученики для выполнения типичных математических действий в системе MathCAD должны:

владеть определенными математическими знаниями; иметь алгоритмические знания; быть знакомыми с операционной файловой системой; иметь привычки работы с визуальными объектами программной системы Windows и др.

ПРОГРАММА MAPLE

Самой новой в наше время является система символьной математики - Maple. Это возможно наиболее удачно сбалансированная система, бесспорный лидер относительно возможностей символьных вычислений. Оригинальная символьная система соединяется со структурным языком программирования, которая легко запоминается. Maple может быть использован как для решения небольших задач, так и для разработки серьезных проектов. Преимуществом Maple является высокая интеграция среды. Хорошо развита система помощи и в ней приводится много примеров. На высоком уровне находится графика, можно построить любые графики, включая изображение графов. В этой системе встроена много функций и правил преобразования. Есть даже возможности работы с логическими выражениями и решение задач линейного программирования.

Программа довольно легко осваивается, удобна в работе, так что ее может использовать даже школьник или студент для простых расчетов или для освоения математики. В то же время программа имеет настолько большой набор функций и вычислительных средств, что она с успехом может быть применена для профессиональной работы в области математики и сопредельных дисциплин.

В самом общем содержании Maple - это среда для выполнения математических расчетов на компьютере. В отличие от будь то программирование высокого уровня таких как Фортран, БЕЙСИК, Сии или Паскаль, Maple может решать большое количество математических задач путем введения команд, без всякого предыдущего программирования. Кроме того, Maple может оперировать не только приближенными числами, но и точными целыми и рациональными числами. Это разрешает получить ответ в идеале с бесконечной точностью.

("14") Но, что важнейшее, решение задач может быть получено аналитически, т. е. в виде формул, которые состоят из математических символов. Вследствие этого Maple называют также пакетом символьной математики.

Maple умеет выполнять сложные алгебраические преобразования и упрощения над полем комплексных чисел, находить конечные и бесконечные суммы, произведения, границы и интегралы, решать в символьном виде и численно алгебраические (в том числе трансцендентные) системы уравнений и неравенств, находить все корени многочленов, решать аналитически и численно системы обычных дифференциальных уравнений и некоторые классы уравнений в частных производных. В Maple включенны пакеты подпрограмм для решения задач линейной и тензорной алгебры, Евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории вероятностей и математической статистики, комбинаторики, теории групп, интегральных преобразований, численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс метод) а также задач финансовой математики и многих, многих других задач.

Maple - это программный пакет для автоматизации cимвольних и численных вычислений. Способности данного пакета решать как простые, так и довольно сложные задачи просто поразительные. Его функциональные возможности охватывают основные разделы математики, такие как линейная алгебра, дифференциальные вычисления, геометрия, статистика и многие другие. По каждому разделу написано большое количество процедур и функций встроенным языком Maple, что дает возможность пересмотреть их содержание и, что важно, прибавлять свои, так называемые, процедуры пользователя.

Вычисление в пакете можно проводить двумя способами: в символьном (аналитическом) виде и численных методах. В первом случае достигается наибольшая точность, но, к сожалению, как показывает практика разработки курсовых проектов, много классов задач просто невозможно решить таким способом. И здесь приходят на помощь численные методы, огромное количество которых находится во встроенных библиотеках.

Для написания программ языком Maple не нужно глубоких знаний алгоритмических языков программирования. Все действия доступные любому пользователю, знакомому с Windows. Вы лишь концентрируете свое внимание на теоретической стороне решаемой задачи, на "глобальном" алгоритме, а все действия, например, по решению линейных и нелинейных алгебраических уравнений и систем, любого вида дифференциальных выражений, статистическому анализу, интегральным преобразованием, выполнит за вас Maple. Несмотря на все достоинства Maple, решение некоторых задач, например, из теории автоматического управления, требует значительных ресурсов процессора, памяти, времени и терпения для достижения приемлемых результатов.

Рассмотрим подробнее механизм выполнения вычислений в среде Maple. Все вычисления выполняются в рабочем документе (так называемом "worksheet"), в котором можно выделить строки введения (команды), строки вывода (результаты), текст (комментарий), а также графику, трех - и двухмерную. При загрузке нового рабочего документа в его начале пользователь увидит знак ">" - приглашение среды к введению команды.

Команда - это строка, написанная языком Maple, и что заканчивается символом ":" или ";". В первом случае команда будет выполнена, но результат не будет выведен на экран, во втором случае ответ будет отображен на экране.

Результаты вычислений обычно выводятся сразу после выполненных команд в той же секции.

В текст программы можно вставлять объяснение, что является обычным текстом, который служит для упрощения работы программы.

Для эффективной работы в Maple необходимо знать некоторые тонкости языка. К ним относятся, например, команда restart и переменная Digits.