Изучение дифференциальных уравнений в старшей школе при помощи компьютерных технологий (стр. 4 )

Команда restart - очищает память Maple-Системы. Это означает, что все определенные к этому в программе переменные и другие объекты будут уничтожены. При этом текст программы останется неизменным.

Переменная Digits - устанавливает количество значащих цифр (точность), которыми будет оперировать Maple при вычислениях.

Итак, на мой взгляд, рассмотренную учебную программу Maple можно рекомендовать к использованию без нанесения вреда интеллектуальному развитию и психическому здоровью ученического контингента.

Интерфейс Maple

Первое с чем встретится пользователь при загрузке Maple - это оконный интерфейс (как и в любом другом Windows - приложении).

Экранный интерфейс Maple состоит из следующих основных частей:

- строка команд;

- строка пиктограмм;

- рабочее окно, в котором производятся все математические операции и действия, связанные с форматированием документа.

("15") Строки команд будут немного отличаться в зависимости от следующих действий:

- редактирование рабочего документа - стандартный интерфейс рабочего письма;

- просмотр справки - интерфейс справочной системы;

- двухмерные построения - интерфейс графической двухмерной системы;

- трехмерные построения - интерфейс графической трехмерной системы.

1. Интерфейс рабочего документа

Будет показан на экране, если пользователь работает в рабочем документе и курсор введения расположенный именно там. Вид данного интерфейса был представлен на рисунке. Как видно из рисунка, в строке команд содержится восемь пунктов меню:

Filе — команды для работы с файлами сессии Maple;

Edit— команды для работы с отдельным регионом, или с его частью;

View— изменение вида содержимого рабочего документа и панелей управления;

Insert — вставка разных объектов и текста в формате Maple в открытый документ;

Format— содержит команды форматирования текста;

Options— команды для установки действий, выполняемых при выводе результатов;

Window — команды для закрытия, упорядочивания и вывода списка открытых рабочих документов;

Help — команды для работы со справочной системой и изменения базы данных помощи.

Рассмотрим подробнее каждое меню отдельно.

Меню FILE

Покажем какие действия можно выполнить с помощью данного меню с указанием соответствующих пиктограмм и горячих клавиш.

Nеw — открытие нового документа (<Ctrl>+<N>).

Open — открытие существующего документа (<Ctrl>+<O>).

("16") Выполнение данной команды приводит к открытию окна диалога, в котором пользователю предлагается выбрать имя файла, который приоткрывается.

Save — сохраняет текущий документ в файле на диске (<Ctrl>+<S>).

Save As... - сохранение активного документа под новым именем. При выполнении данной команды появляется окно диалога, в котором предлагается ввести имя файла и выбрать тип файла, который сохраняется: .mws, txt или tex.

Ехрort As — экспорт активного рабочего документа, как простого текста, текста в формате Maple или документа LаТеХ. При этом в випадающем меню пользователь может выбрать следующие типы файлов, которые сохраняются:

Plain Text — обычный текст;

Maple Text — текст в формате Maple;

LaTe — документ LаТеХ.

Сlose — закрыть существующий рабочий документ (<Ctrl>+<F4>).

Save Settings — сохранение установок текущего сеанса работы.

Auto Save Settings — автоматическое сохранение текущего сеанса работы при выходе из программы.

Print... — печать активного документа (<Ctrl>+ <Р>).

При выполнении данной команды приоткрывается окно диалога, которое содержит такие опции, как формат бумаги, качество печати и количество копий.

Print Preview... — просмотр текущего документа перед печатью.

Printer Setun... — выбор принтера и опций, например таких, как формат вывода, источник бумаги и ее ориентация.

Exit — выход из Maple (<Alt>+<F4>).

Меню EDIT

Undo Delete— отменить предыдущее удаление (<Ctrl>+<Z>).

Cut — вырезать выделенную часть документа и отправить его

в буфер обмена (<Ctrl >+<Х>).

Мусору — копировать выделенную часть документа в буфер обмена (<Ctrl>).

("17") Мусору as Maple Text — копировать выделенную часть документа в буфер обмена в формате текста Maple.

Paste — вставить содержимое буфера обмена в активный документ в позицию курсора (<Ctrl>+<V>).

Paste Maple Text — команда интерпретирует содержимое буфера обмена как текст в формате Maple и вставляет его в активный документ.

Delete Рагаgгаph — удалить параграф, в котором находится курсор (<Ctrl>+<Del>).

Sе1еct Аll — выделить активный документ (<Ctrl>+<A>).

Find... — поиск текста в текущем документе. При этом возникает окно диалога, где пользователю предлагается выбрать слово или слова для поиска, а также тип поиска: вперед или назад (<Ctrl>+<F>).

Insert OLE Object... — вставляет объект OLE 2.0 в активный документ в позицию курсора.

Object — выполнение действий над введенным объектом. Просто укажите курсором на введенный в Maple объект и увидите, что данный пункт меню будет заменен на название сервера, к которому относится приложение и в випадающем меню будут указаны возможные операции над OLE объектом.

Show OLE Objects — переключение между введенным и связанным OLE объектом. Связанный OLE объект (окруженный пунктирной линией) изменяется при редактировании исходящего документа, в отличие от введенного объекта (окруженный беспрерывной линией на экране), что не изменяется с момента внедрения его в документ Maple.

Inрut Modе — Переключение между строкой введения Мaрlе и текстовым комментарием (<F5>).

Splitt or Join

Split Execution Group (<FЗ>)

Расщепить объединенную группу строк.

Join Execution Groups (<F4>)

Объединить строку, в которой расположенный курсор с группой строк, расположенных выше ее.

Split Section (<Shift>+<F3>)

Расщепить секцию в позиции курсора.

Join Sections (<Shift>+<F4>)

Объединить секцию, в которой стоит курсор с секцией, которая стоит перед ней.

Execute

("18") Selection

Выполнить последовательно все выделенные команды.

Wоrksheet

Выполнить последовательно все команды в рабочем документе.

Remove Output

From Selection

Удалить все результаты вычислений из выделенной части рабочего документа.

From Worksheet

Удалить все результаты вычислений из рабочего документа.

Меню VIEW

Tool Bar — показать (спрятать) главная строка пиктограмм.

Context Bar — показать (спрятать) контекстную строку пиктограмм (расположенную ниже главной строки пиктограмм).

Status Line — показать (спрятать) строку состояния внизу рабочего документа.

Zoom Factor — руководит масштабом содержимого рабочего документа. По умолчанию установленный масштаб 100 %. Также возможно установить следующие значения:

50 % < Ctrl >+<ОБ>;

75% - < Ctrl >+ -1>;

100% - <Ctrl>+<2>;

150% - < Ctrl >+<3>;

200% - < Ctrl >~4>;

300% - < Ctrl >+<5>;

("19") 400% - < Ctrl >+<6>;

Bookmarks - использование закладок для быстрого перемещения курсора в необходимое место рабочего документа. Просто установите курсор в нужное место и выберите пункт меню: Viw/Bookmarks/Edit Bookmark...; наберите название закладки. Потом можно просто перемещаться по документу с помощью этих закладок, названия которых будут отображаться в данном пункте меню ниже Edit Bookmark.

Show Invisible Characters — показать (спрятать) невидимые специальные символы.

Shоw Section Ranges — показать (спрятать) область одной секции. Область секции - это линия по левую сторону поля рабочего документа, которая отображает начало и конец секции.

Show Group Ranges — показать (спрятать) область групп секций введения и вывода простого текста.

Expand AII Sections — открыть все закрытые секции.

Collanse All Selections — закрыть все открытые секции.

Меню INSERT

Техt Input — вставка и форматирования текстового комментария. (<Ctrl +<Т>)

Мaple Input — вставка команды Maple непосредственно в ту часть документа, где стоит курсор (<Ctrl>+<М>).

Execution Group — вставка группы выполняемых команд:

Befor Cursor — перед курсором (<Ctrl>+<K>),

After Cursor — после курсора (<Ctrl>+<J>).

Paragraph — вставка параграфа:

Before — перед курсором (<Shift>+<Ctrl>+<K>),

After — после курсора (<Shift>+<Ctrl>+<J>).

Вообще говоря, вы начинаете новый параграф простым нажатием на клавишу введение, т. е. переводите курсор на красную строку.

Section — вставка секции после текущей.

Subsection—вставка подсекции после текущего параграфа.

Math Inрut — вставка активной команды Maple в ту часть документа или текста, где стоит курсор.

("20") Hyperlink — вставка гипертекстовой ссылки. Вы можете создать связь с другим документом, темой из помощи или с какой-нибудь определенной закладкой.

Меню FORMAT

Доступные только при редактировании текста, а не строк введения.

Styles... - создание или изменение стилей текста в документе.

Italic — поменять шрифт в выделенном фрагменте на наклонный.(<Ctrl>+<I>)

Bold — поменять шрифт в выделенном фрагменте на жирный.

(<Ctrl>+<B>)

Underline — поменять шрифт в выделенном фрагменте на подчеркнутый. (<Ctrl>+<U>)

Рагаgraph - изменяет установки параграфа. Появляется меню, в котором пользователь может изменить разные опции.

Сhагасteг — выбор имени, размера, цвета и атрибута шрифта.

Indent — превратить выделение в подсекцию. (<Ctrl>+<>>)

Outdent — действие, обратное Indent (<Ctrl>+<<>)

Convert — превратить выделенный текст в гипертекстовую ссылку, в математическое выражение (внутристрочное введение) или в строку введения Maple.

Меню OPTIONS

Replace Output — включает режим замены выведенного результата.

Insert Mode — включает режим вставки выведенного результата.

Output Displa — определяет в каком формате Maple будет выводить результат.

Lineprint Notation — использовать тот же стиль, что и в строках введения.

Character Notation — использовать двухмерный стиль, основанный на текстовых символах.

Typeset Notation — использовать стандартный графический математический вывод.

("21") Assumed Variables — в Maple существует возможность накладывать ограничения на переменные. Данный пункт меню разрешает изменить настройки того, как Maple будет предупреждать пользователя, на какую переменную наложены ограничения:

No Annotation — не выдавать никакого предупреждения.

Trailing Tildes — после переменной в строке вывода будет указываться символ "~".

Phrase — после вывода будет отображена строка, которая предупреждает, что на данную переменную наложены ограничения.

Plоt Disрlау — руководит способом построения графиков.

Inline — показывает построенный график непосредственно в рабочем документе.

Window — построенный график отображается в отдельном окне.

Меню WINDOW

Cascade — расположить все окна "каскадом".

Tile — заключить все окна "черепицей".

Horizontal — расположить все окна горизонтально.

Vertical — то же самое, но вертикально.

Аrrаngе Lcons — упорядочить иконки.

Close All — закрыть все окна.

Close Аll Неlp — закрыть все окна помощи.

Untitled1. mws — список всех открытых рабочих документов в данный момент. Перед названием активного окна будет символ "галочка".

Меню HELP

Cоntents — открыть содержание помощи.

Tonic Search... — поиск темы помощи.

Full Тext Search... — поиск страниц помощи, которые содержат данный текст.

("22") History... — история открытых страниц помощи.

Save to Database…—записать текущий рабочий документ как страницу помощи в определенную базу данных.

Remove Tonic... — удалить тему из базы данных, созданной пользователем.

Using Heеlр — помощь о том, как использовать помощь.

Balloon Неlр — включить помощь в виде всплывающих подсказок.

About Маple... — отображение информации о версиях данной копии Maple.

Интерфейс справочной системы

При вызове помощи в меню Help пользователь погружается в мир справочной системы Maple — лабиринт, в котором легко запутаться. В новой версии Maple он стал еще запутаннее и в то же время "современней". Гипертекстовые ссылки и скрытые секции делают общение с новой версией Browser (знакомое слово для пользователей Maple Release 3) легким, доступным и удобным.

При работе со справочной системой можно увидеть такую картину:

Строка команд содержит пять пунктов меню:

File — команды для работы с файлами;

Edit — команды редактирования;

Viеw — изменение вида содержимого рабочего документа и панелей управления;

Window — команды для закрытия, упорядочивания и вывода

списка открытых рабочих документов;

Help — команды для работы со справочной системой и изменения базы данных помощи.

Меню FILE

Почти ничем не отличается от одноименного меню в интерфейсе рабочего документа. Содержит следующие команды:

New — открытие нового документа. (<Ctrl>+<N>)

("23") Ореn — открытие существующего документа. (<Ctrl >+<0>)

Выполнение данной команды приводит к открытию окна диалога, в котором пользователю предлагается выбрать имя файла, который приоткрывается.

Close Help Topic — закрыть активную тему помощи. (<Ctrl>+<F4>)

Print Неlp Tonic... — напечатать активную тему помощи. (<Ctrl>+<P>)

Exit - выход из Maple (<А1t+<Р4>).

Меню EDIT

Copy — копировать выделенную часть документа в буфер обмена. (<Ctrl>+<C>)

Мусору Ехamples — копировать секцию примеров в буфер обмена.

Select Аll — выбрать все содержимое активной страницы помощи. (<Cг1>+<А>)

Find.. — поиск текста в текущем документе.

Команды меню View, Window, Help не отличаются от команд меню из интерфейса рабочего документа.

Дополнительные команды строки пиктограмм

Перейти к предыдущей пересмотренной теме помощи.

Возвратить назад.

Перейти к предыдущей теме помощи по алфавиту.

Перейти к исходной теме помощи.

Перейти к следующей теме помощи по алфавиту.

Перейти к содержанию. [39]

РАЗДЕЛ ІІ. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ

2.1. Содержание, цели и задачи изучения дифференциальных уравнений на факультативных курсах по математике.

("24") Данный факультативный курс можно читать в 11 классе во втором семестре. Цели курса : 1)ознакомление учеников с разными типами обычных дифференциальных уравнений и методами их решения ;

2)показать прикладное значение применения дифференциальных уравнений. В связи с поставленной целью целесообразно рассматривать физические и геометрические задачи, при решении которых возникают дифференциальные уравнения. Курс ориентирован на учеников, которые впервые встречаются с понятием дифференциального уравнения, поэтому большое внимание отводится основным понятиям и определениям.

Распределение факультативного курса по темам :

Занятие 1. Основные понятия (2 часа).

Понятие обычного дифференциального уравнения. Частные и общие решения дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Геометрическая интерпретация обычного дифференциального уравнения первого порядка.

Занятие 2. Дифференциальные уравнения в химии и биологии(2 часа).

Занятие3. Дифференциальные уравнения, которые возникают при решении задач геометрического содержания (2 часа).

Занятие4.Простейшие дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными (2 часа).

Примеры физических задач, в которых возникают дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Занятие 5. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка (2 часа). Метод подстановки и вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли.

Занятие 6. Дифференциальные уравнения высших порядков (2 часа). Типы дифференциальных уравнений, которые допускают снижения порядка.

Занятие 7. Решение дифференциальных уравнений с помощью программного пакета Maple (2 часа).

Задачи преподавания факультативной дисциплины “дифференциальные уравнения” состоят в том, чтобы ознакомить учеников старшей школы с дифференциальными уравнениями - средством математического моделирования реальных процессов. В результате изучения этой темы ученики должны научиться приёмам исследования и решения математически формализованных задач, уметь анализировать полученные результаты, самостоятельно работать с литературой.

На занятиях используется лекционно-практическая система обучения, которая является наиболее эффективной формой изложения и практического применения материала.

2.2 Решение прикладных задач с помощью обычных дифференциальных уравнений.

Факультативное занятие №3

ТЕМА” Дифференциальные уравнения, которые возникают при решении задач геометрического содержания”

Много задач геометрии требуют отыскания кривых по заданным свойствам их касательных, нормалей (т. е. прямых, что проходят через точку прикосновенья перпендикулярно касательной) и разных отрезков, связанных с этими прямыми. Составление дифференциальных уравнений, к которым приводят такие задачи, связано, как правило, с использованием геометрического содержания производной как углового коэффициента касательной (т. е. тангенса угла, образованного касательной к кривой с положительным направлением оси абсцисс).

Составим дифференциальное уравнение для такой кривой Г, что после отображения от этой кривой (по законам оптики) пучок параллельных лучей собирается в одной точке.

Решение. Как известно из оптики, угол падения равняется углу отображения. При отображении от кривой линии под углами падения и отображения понимаются углы, образованные падающими и отраженными лучами света с нормалью в точке отображения (т. е. с прямой, перпендикулярной касательной к кривой в этой точке). Будем считать, что пучок параллельный оси абсцисс, а точка, через которую проходят отраженные лучи, совпадает с началом координат (рис.2). Теперь данную физическую задачу можно сформулировать чисто геометрически: найти такую кривую Г, что в любой точке Μ этой кривой угол между касательной к кривой и положительным направлением оси абсцисс равняется углу между касательной и прямой, что соединяет начало координат с точкой М.

("25") По условию задачи имеем: α = β (см. рис. 2). Но α — угол между касательной к кривой Г в точке М(х, у) и осью абсцисс, и потому tg α = у', где

y = f(x) — уравнение кривой Г. Поскольку α = β, то треугольник АОМ равнобедренный, и потому γ = 2α. Но тогда tg α = . Кроме того, tg γ = . Из-за того, что tg α = у', получаем уравнение . [2]

Рис.2

2.2.2 Решение дифференциальных уравнений с помощью программного пакета Maple

Факультативное занятие №7

ТЕМА ”Решение дифференциальных уравнений с помощью программного пакета Maple”

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq, var, options), где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение у''+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равняется порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т. д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко понятна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решения неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные константы (это общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнение), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решение этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в формате, который неисчисляется. Для того, чтобы с решением можно было бы работать дальше (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного ответа командой rhs(%) Например :

1. Найти общее решение дифференциального уравнения у'+ycosx=sinxcosx.

Итак, решение искомого уравнения это функция .

Замечание: при записи ответа дифференциального уравнения в Maple в строке вывода произвольная постоянная обозначенная как _С1.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка .

Замечание: поскольку заданное уравнение было второго порядка, то полученное решение содержит две произвольные постоянные, которые в Maple обычно обозначаются как _С1 и _С2. Первые два слагаемых представляют собой общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а вторые две – частные решения неоднородного дифференциального уравнения.

Решение задачи Коши.

Команда dsolve может найти решение задачи Коши, если кроме дифференциального уравнения задать начальные условия для неизвестной функции. Для обозначения производных в начальных условиях используется дифференциальный оператор D, например, условие у''(0)=2 следует записать в виде , или условие у'(1)=0: . Напомним, что производная n-го порядка записывается в виде .

3. Найти общее решение дифференциального уравнения , если в(0)=0, у'(0)=3.

("26") Для обработки нового материала ученика предлагается решить следующие задачи с помощью программного средства Maple.

Найти общее решение дифференциального уравнения :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения

2. Найдем общее решение дифференциального уравнения

3. Найдем общее решение дифференциального уравнения

4. Найдем общее решение дифференциального уравнения

5. Найдем общее решение дифференциального уравнения

6. Найдем общее решение дифференциального уравнения

("27") 7. Найдем общее решение дифференциального уравнения

2.3 Анализ результатов эксперимента.

Опираясь на основные теоретические положения, а также на понимание дифференцированного подхода как основного и необходимого условия продуктивной деятельности учеников старших классов при изучении дифференциальных уравнений, мною была предложена программа и содержание факультативных занятий по математики по теме “Обычные дифференциальные уравнения и их значение в природоведении”.

Для проверки ее эффективности был проведен эксперимент на базе 11-Б класса СОШ №9 г. Ялты. А также 11-А класс с углубленным изучением математики был взят как сравнительный. Основной целью практического исследования было доказательство эффективности предложенной методики. На основе предыдущего теоретического анализа, сформулированной гипотезы были определены такие задачи:

1)внедрить систему задач из дифференциальных уравнений на факультативных занятиях и применить учебную программу для изучения этой темы ;

2) осуществить количественный и качественный сравнительный анализ предложенной экспериментальная методики.

Разработанная система задач и учебная программа обычных дифференциальных уравнений была рассчитана на 14 ч.

Она включала такие темы:

Занятие 1. Основные понятия (2 часа).

Занятие 2. Дифференциальные уравнения в химии и биологии(2 часа).

Занятие 3. Дифференциальные уравнения, которые возникают при решении задач геометрического содержания (2 часа).

Занятие 4. Простейшие дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (2 часа).

Занятие 5. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка (2 часа). Занятие 6. Дифференциальные уравнения высших порядков (2 часа).

Занятие 7. Решение дифференциальных уравнений с помощью программного пакета Maple (2 часа).

Оценку успешности эксперимента обнаруживали путем сравнения знаний учеников 11-Б класса (которые посещали факультатив) и учеников 11-А класса (которые изучали дифференциальные уравнения по школьной программой) В обоих классах проводилась контрольная работа. Средний балл учеников 11-Б класса полученный за написание контрольной работы был высшим, чем у учеников 11-А класса.

Средний балл 11-Б класса составлял 7,25 и 8,5 соответственно.

Средний балл 11-А класса составлял 5,75 и 7,5 соответственно

Таким образом, можно сделать вывод, что применение предложенной методики изучения дифференциальных уравнений на факультативных занятиях является целесообразной и ведет к повышению уровня знаний учеников из данного раздела.

ВЫВОДЫ

("28") Факультативные курсы рассчитаны на тех учеников, которые хорошо успевают по математике, но в виде исключения можно разрешить посещать факультатив и тем, кто еще не достиг высоких оценок, но имеет потенциальные возможности для этого. Привлекать к факультативам и кружкам целесообразно, решая на обычных уроках интересные задачи и проблемы, которые нуждаются в расширении знаний и умений. Ученикам предлагают расширить их на факультативных занятиях.

Нельзя механически переносить методы, приемы, организационные формы и средства обучения математике в обычных классах на факультативное обучение. Учитывая, что ученики на факультативных занятиях имеют большие возможности в продвижении в обучении и стойкое любопытство к математике, здесь должны преобладать методы проблемного обучения (проблемное изложение, эвристические беседы, исследовательский метод). Больше времени необходимо посвятить самостоятельной работе. Отдельные учителя делят выполнение задач исследовательского характера на несколько этапов. Сначала ученики изучают нужную литературу, а потом ищут алгоритм решения задачи или проблемы. На занятиях отчитываются ученики о результатах своих поисков.

На факультативных занятиях есть возможность для ускоренного изучения части теоретического материала за счет самостоятельной работы. Эффективной здесь является лекционно-практическая система обучения, в которой надлежащее место отводится семинарам. На семинарах ученики делают сообщения об интересных применениях математических методов, способов решения нестандартных задач, наводят исторические справки и т. п..

Важной проблемой является взаимосвязь факультативных занятий с изучением обязательного курса, согласованность во времени и содержании изучения тех или других вопросов.

Опыт свидетельствует о том, что большую часть работы по программе перенести непосредственно на занятие в классе, а домашние задачи свести к минимуму и предлагать лишь для того, чтобы ученики были подготовленными к следующему занятию. Выполнение творческих задач, которые нуждаются в значительном времени, не является обязательным для всех учеников факультатива. Однако выполнение их следует всячески одобрять.

Система оценивания должна быть довольно гибкой, не копировать практики оценивания в обязательном курсе. Поощряя учеников которые работают на факультативе, ни в коем случае нельзя брать на испуг их отрицательными оценками и отталкивать от работы, которую они выбрали по собственному желанию.

Факультативные занятия являются важным средством допрофильного обучения и помогают ученикам определиться относительно выбора будущей профессиональной деятельности.

ЛИТЕРАТУРА

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. ср. шк. / О. М., . - К.: Образование, 1992.-350с. Арнольд дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1984. Бабанский процесса обучения: Общедидактический аспект. - М., 1977. Балк факультатив вчера, сегодня, завтра // Математика в школе - 1987 - № 5 - С. 14-17 Бевз преподавания математики: Навч. пособие.- 3-е изд., передел. и доп. - К.: Высшая шк., 198с. Компьютеры в школе: Пер. с англ. / Общ. ред. и вступ. ст. .- М.: Прогресс, 198с. Учит общаться с персональным компьютером : Пособие для учителя / I. Ф.Следзiнський, , и iн. - К.: Советов. Шк., 199с. Гершунский в сфере образования: Проблемы и перспективы. - М.: Знание, 1986. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. - Спб.: Питер, 20с.: ил. , Янпольский уравнения, М.: Физмат, 1962. Дьяконов по Mathcad PLUS 6.0 PRO. М.: СК Пресс, 1997. Mathcad 2000: учебный курс. - Спб: Питер, 20с. ("29") Mathcad 8/2000: Специальный справочник. - Спб: Питер, 2001.-592 с. MATLAB 6: учебный курс - Спб: Питер, 20с. . Информационные технологии обучения и их роль в формировании эвристической деятельности учащихся. “Дифференциальные уравнения”. - Л.: Издательство ЛГУ, 1988г. Жалдак M. I., , Науменко для средних учебных заведений "Основы информатики и вычислительной техники". Рекомендовано Министерством образования и науки Украины. - Киев.: Перун., 19с. Жалдак на уроках математики (пособие для учителей). Издание 2-е, переработанное и дополненное. - К.: НПУ им. М.П. Драгоманова, 2003. - с. 326 , Рамський стандарт общего среднего образования в Украине. Информатика. Образовательная область "Математика". Проект. - Киев.: Генеза, 19с. Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс / , . - М.: «Просвещение», 1980. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике. Москва,1983 - С. 5-11 Каптелинин проблемы формирования компьютерной грамотности школьников / Вопросы психологии, 1986.– №5.– С.54 – 65. , Колягин и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1993.-254с. Компьютер в обучении: психолого-педагогические проблемы (круглый стол) / Вопросы психологии, 1987.-№1. , “Краткий курс высшей математики”. - М., Наука 1986 г. Кузнецов информатика: что дальше? // Информатика и образования.-1998.-№2.-С.14. Скорняк эффективности обучения математике в школе с помощью НІТ/ Компьютер в школе и семье №3, 2003 г. , , Компьютер на уроках математики// Информатика и образование №3, 2002 г. Лотюк математические пакеты программ/ Компьютер в школе и семье №2, 1999 г. Матвеев интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.-Минск: ВШ, 1974. Математика и естествознание. Сост. . - М.: „просвещение”, 1969. Машбиц обучения: проблемы и перспективы // Информатика и образование.– 1986.– № 1.– С.110 – 127. ("30") С, , Шпак педагогические технологии. - К.: ”Просвіта”, 20с. Освітні технології: Навч.-метод. посіб. / О. М.Пєхота, А. З. Кіктенко, й ін.; За ред. О. М. Пєхоти. - К.: К., 20с. Mathcad PLUS 6.0 для студентов и инженеров. М.: ТОО фирма «Компьютерпресс», 1996. Педагогическая психология: Навч. пособие// ієнко, , и інш.: За ред. ієнко, Д. Ф.Ніколенка. - К.: Высшая школа, 19с. Понтрягин дифференциальные уравнения. - М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1961г. , , Леденев пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя. - калуга.: Облиздат, 19с. Саакян -Семинарская система преподавания математики// Математика в школе - 1987 - № 3 - С. 8-16 и др. Основы информатики и вычислительной техники для работников народного образования: Методические рекомендации для преподавателей / Новосибирск, 1987. Слєпкань учения по математике: Учебник для студ. мат. специальностей пед. навч. учреждений.- К.: Зодиак-Еко, 2000.-512с.: ил. Филиппов задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985. Фіцула : учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений - К. Издательский центр „академія", 2001. Хінчин лекций из математического анализа. - К.: „радянська школа”, 1948. Шеншев обучение: прогресс или регресс? / Педагогика, 1992.– № 11 – 12.– С.13 – 19. Шкіль анализ: Підр. В 2 ч. Часть 2-е вид., перероб. и доп.- К.: Высшая школа, 1994.-423.:ил. Шкіль М. И., Слєпкань З. И., Дубінчук и начала анализа 10-11 класс.-К.: Зодиак-Еко,1995г. Щипачев математика - М.: Высшая школа, 1996г. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление.- М.: Наука, 1995г.

preview_end()