Рабочая программа учебной дисциплины ОПД. В «Численные методы решения краевых задач» (стр. 3 )

* см. раздел 3.2 «Контрольные вопросы»

** см. раздел 3.2 «Задачи для самостоятельного решения»

*** см. раздел 4.2 «Задания для лабораторных работ»

**** см. раздел 5.2 «Задания на курсовую работу»

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ

Курс «Численные методы решения краевых задач» не входит в список обязательных курсов для специальности 010501«Прикладная математика и информатика» и является вузовским компонентом учебных планов специальностей. Данный курс ориентирован на практическое решение краевых задач, с которыми предстоит столкнуться будущим математикам, системным программистам в их профессиональной деятельности.

Методы обучения

Обучение студентов осуществляется по традиционной технологии (лекции, практики и лабораторные работы).

С точки зрения используемых методов лекции подразделяются следующим образом: информационно-объяснительная лекция, повествовательная, лекция-беседа, проблемная лекция, лекция вдвоем, лекция с заранее запланированными ошибками и т. д.

Наибольший эффект в преподавании дисциплины «Численные методы решения краевых задач» достигается при использовании информационно-объяснительной лекции и лекции-беседы.

Методика чтения лекций.

Методика чтения учебной лекции включает ряд практически важных вопросов, касающихся формы изложения материала: способ его подачи, темп чтения лекции, язык и словарный запас лектора, освещение дискуссионных вопросов.

Для лекций по «Численным методам решения краевых задач» наиболее приемлемым следует признать средний темп изложения материала, так как это связано с новизной понятий дисциплины и множеством формул, которые студент должен записать. Также необходимо делать отступления по ходу лекции с целью приведения практических примеров.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Что касается манеры изложения, то наиболее приемлемой является так называемый академический стиль, для которого характерна четкость и ясность формулировок, хорошая литературная форма, владение голосом, хорошая дикция, умение держаться перед аудиторией и устанавливать с ней контакт, поддержание дисциплины.

Практические занятия по «Численные методы решения краевых задач» наиболее целесообразно проводить по схеме:

· Устный или письменный опрос по теории в начале занятия (целесообразно использовать контрольные вопросы из «Методических указаний по проведению практических занятий»);

· Решение типовых примеров по теме занятия;

· Самостоятельное решение студентами заданий на изучаемую тему.

Также после каждой темы студентам выдается домашнее задание с целью закрепления навыков.

Цель практического занятия – научить студентов применять теоретические знания при решении практических задач.

На практических занятиях должны преобладать следующие методы:

а) практические (письменные задания, групповые задания и т. п.);

б) вербальные (преобладающим методом должно быть объяснение).

Подготовка преподавателя к проведению занятия имеет первостепенное значение. Каким бы опытом преподаватель не обладал, он все равно должен готовиться к каждому практическому занятию.

Во-первых, преподавателю необходимо проработать тему занятия.

Во-вторых, преподаватель должен решить все заданные задачи и проблемные ситуации, предусмотреть, чтобы избежать неожиданностей, возможные варианты, которые могут предложить слушатели. Преподаватель должен быть готов ответить на любые вопросы, относящиеся к содержанию каждой задачи.

В-третьих, желательно, готовясь к занятию, наметить, кого из студентов следует спросить по данной теме, имея в виду обеспечение равномерного участия всех студентов в работе и проверку уровня их подготовки к занятиям. Проработать содержание опроса знаний и методику ее проведения (в случае необходимости).

Для контроля уровня усвоения материала дисциплины в течение семестра наиболее целесообразно проводить контрольные работы по решению практических задач и тестовые опросы по теории.

Лабораторные занятия по «Численные методы решения краевых задач» наиболее целесообразно проводить по схеме:

· Устный или письменный опрос по теории в начале занятия (целесообразно использовать контрольные вопросы из «Методические указания по подготовке к лабораторным занятиям»);

· Решение типовых примеров по теме занятия (целесообразно разобрать демонстрационный пример из «Методические указания по подготовке к лабораторным занятиям»);

· Самостоятельное выполнение студентами лабораторных заданий на изучаемую тему (целесообразно использовать задания по вариантам из «Методические указания по подготовке к лабораторным занятиям»).

Также после каждой темы студентам выдается домашнее лабораторное задание с целью закрепления навыков.

Цель лабораторного практикума – предоставить возможность студентам доводить до конца решение практических прикладных задач, требующих использование численных методов. В связи с этим, схему решения задачи необходимо разобрать заранее на практическом занятии или предложить ее в качестве самостоятельной домашней работы.

Для контроля уровня усвоения материала дисциплины сдача домашних лабораторных заданий проводится в форме защиты, на которой студент должен ответить на все теоретические вопросы преподавателя по данной теме, а также показать полное понимание написанной программы. При этом преподавателю целесообразно задавать вопросы предсказательного типа: «Что произойдет если…», «Давайте изменим в задаче одно условие на другое и посмотрим результаты в этом случае» и т. п.

Лабораторные работы по «Численные методы решения краевых задач» возможно проводить с использованием универсальных пакетов MathCAD и MatLab, а также языков программирования С++, Delphi.

3. ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

2.1. Содержание практических занятий

7 семестр

1. Разностные уравнения 1-го и 2-го порядка.

2. Линейная краевая задача. Фундаментальные решения. Прогонка

3. Аппроксимация разностной схемы.

4. Задача Коши.

5. Исследование устойчивости. Спектральный признак устойчивости.

6. Построение разностных схем для уравнений с частными производными.

7. Спектральный признак устойчивости Неймана.

8. Схемы расщепления.

9. Эллиптические задачи. Метод установления.

10. Метод взвешенных невязок.

11. Метод Галеркина. Энергетические нормы.

8 семестр

12. Ленточный метод Гаусса..

13. Ленточный метод Холецкого.

14. Метод Ричардсона

15. Метод Якоби

16. Чебышевское ускорение

17. Предобуславливание (диагональное, трехдиагональное).

18. Метод сопряженных градиентов с предобуславливанием.

19. Неполная факторизация

20. Интерполяция. Базисные функции для симплексов и изопараметрических элементов

21. Матрицы градиентов. Квадратурные формулы.

22. Задачи теории теплопроводности, упругости и демпфирования. Матрица жесткости.

23. Задача устойчивости. Матрицам масс.

24. Нестационарные задачи теории поля. Матрица демпфирования.

3.2. Методические указания по подготовке к практическим занятиям

Приступая к подготовке к практическому занятию, прежде всего следует повторить теоретический материал и ответить на контрольные вопросы по теме, приведенные в каждом разделе «Методических указаний по проведению практических занятий».

На занятиях постоянно происходит обращение к основным понятиям: аппроксимация, устойчивость, сходимость, погрешность. Эти понятия должны быть прочно усвоены на первом занятии. Условием успешного освоения теории и практики по дисциплине «Численные методы решения краевых задач» является координация всех составляющих учебной работы студента: изучения теории, решения практических задач и выполнения лабораторных работ как в аудитории, так и самостоятельно.

Самостоятельная работа студентов в ходе изучения дисциплины состоит в выполнении самостоятельных задач, данных в методических указаниях к проведению практических занятий. Их своевременное выполнение является предпосылкой к обоснованию возможности допуска студента к зачету и оценки результатов итогового контроля.

Самостоятельные задачи должны быть выполнены не позднее, чем через неделю после изучения соответствующей темы. Выполненные задачи сдаются лектору или ассистенту, ведущему практические занятия.

Содержание самостоятельной работы по дисциплине приведено в рабочей программе.

Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее.

Преподавателю, ведущему практические занятия, рекомендуется:

- первое занятие посвятить проверке остаточных знаний по математике.

Текущие практические занятия строить согласно тематике практических занятий, по схеме:

- «вспомнить» соответствующую лекцию (теорию) с помощью контрольных вопросов, приведенных в каждом разделе «Методических указаний к проведению практических занятий»;

- задавать практические задачи из соответствующего раздела методических указаний для проведения практических занятий (5-10 минут размышлений и вызов к доске, желательно по списку);

- давать задание «на дом» – задачи из соответствующего раздела Методических указаний к проведению практических занятий, с указанием «Задачи для самостоятельного решения»

- провести контрольную работу перед аттестацией.

Настоящие методические указания соответствуют рабочей программе учебного плана специальности 010501 «Прикладная математика и информатика».

7 СЕМЕСТР

Раздел 1. Теория разностных схем.

Тема 1. Разностные уравнения 1 и 2 - го порядка. (2 час. ауд., 1.5 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Порядок разностного уравнения.

2. Какой вид имеют разностные уравнения 1-го порядка?

3. Какой вид имеют разностные уравнения 2-го порядка?

4. Структура общего решения.

Задачи для аудиторного решения:

1. Подобрать частные решения уравнения

в случае если правая часть имеет следующий специальный вид:

а) , б) , в) , г) , д) .

2. Найти любое частное решение уравнения

3. Найти любое частное решение уравнения

4. Найти любое частное решение уравнения

Задачи для самостоятельного решения:

1. Подобрать частные решения и найти фундаментальное решение уравнения

если правая часть имеет следующий специальный вид:

а) , б) в) ,

3. Найти общее решение уравнения

4. Найти общее решение уравнения

5. Найти общее решение уравнения

Тема 2. Линейная краевая задача для уравнений 2-го порядка. Фундаментальные решения. Прогонка (1 час. ауд., 1,5 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Какое решение разностного уравнения называется фундаментальным?

2. Как построить фундаментальное решение для разностных уравнений 1 и 2-го порядка?

3. Краевая задача для уравнения 2-го порядка.

4. Обусловленность разностной краевой задачи.

5. Метод прогонки.

Задачи для аудиторного решения:

1.Найти фундаментальное решение уравнения .

2. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения

3. Решить краевую задачу для разностного уравнения 2un-1+6un+3un+1=n, 0<n<6 с граничными условиями u0=0, u6=0.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения

.

2. Найти ограниченное фундаментальное решение уравнения

3. Решить краевую задачу для разностного уравнения 5un-1+7un+un+1=n2 , 0<n<6 с граничными условиями u0=0, u6=0.

4. Решить краевую задачу для разностного уравнения 8un-1-10un+un+1=1 , 0<n<7 с граничными условиями u0=0, u7=0.

Тема 3. Разностные схемы для ОДУ. Аппроксимация. (2 час. ауд., 1,5 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Что такое разностная схема обыкновенного дифференциального уравнения?

2. Как соотносится решение разностного уравнения с решением дифференциального уравнения?

3. Что такое аппроксимация?

4. Как определяется порядок аппроксимации разностной схемы исходной дифференциальной задачи?

Задачи для аудиторного решения:

1. Для задачи Коши найти порядок погрешности и порядок аппроксимации разностной схемы при следующих вариантах начальных условий:

a) ;

2. С каким порядком дифференциальная задача

, ,

аппроксимируется разностной схемой

, ,

если в качестве области определения используется

, , а величины и определены как

a) ,

b) .

Задачи для самостоятельного решения:

a) ;

b) ;

2. Для дифференциальной задачи

, ,

на трехточечном шаблоне с постоянным шагом построить схему десятого порядка аппроксимации.

Тема 4. Задача Коши. Аппроксимация краевой задачи. Общие теоремы о сходимости (1 час. ауд., 2 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Как формулируется задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и системы уравнений?

2. Как определяется порядок аппроксимации задачи Коши для системы разностных уравнений?

3. Какая схема называется устойчивой?

4. Как построить аппроксимацию порядка n для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с краевыми условиями в виде линейной комбинации функции и производной?

Задачи для аудиторного решения:

1. Для задачи с точным решением рассматривается схема:

Каков порядок аппроксимации данной схемы? Можно ли его улучшить?

2. Аппроксимируют ли разностные схемы уравнение (1):

1) ; 2) ;

3. Для задачи , построить трехточечную разностную схему второго порядка аппроксимации.

4. Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия , заданного при , для уравнения .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия , заданного при , для уравнения .

2. Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам правого краевого условия , заданного при , для уравнения .

3. (*) Построить аппроксимацию второго порядка по двум точкам левого краевого условия , заданного при , для уравнения .

4. (*) При каких разностная схема

аппроксимирует задачу

Тема 5. Исследование устойчивости. Спектральный признак устойчивости. (2 час. ауд., 1,5 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Каноническая запись разностной схемы.

2. Определение устойчивости.

3. Как исследовать на устойчивость задачу Коши, используя каноническую запись?

4. Спектральный признак устойчивости.

5. Является ли спектральный признак устойчивости достаточным?

6. Как связаны корни характеристического уравнения разностного уравнения с постоянными коэффициентами и собственные числа оператора перехода?

Задачи для аудиторного решения:

1. Дана разностная схема

которая аппроксимирует со вторым порядком относительно задачу Коши

Проверить устойчивость схемы.

2. Дана разностная схема

приближающая задачу Коши

Проверить устойчивость разностной схемы, используя спектральный признак.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Доказать устойчивость следующих разностных схем решения задачи , . Найти константу С, входящую в определение устойчивости .

а)

если , а нормы введены неравенствами

б) Нормы как в а).

2. Для задачи , построить трехточечную разностную схему второго порядка сходимости

3. Для задачи , построить трехточечную разностную схему второго порядка сходимости

4. Пусть разностное уравнение второго порядка приведено к виду с помощью замены . Показать, что корни характеристического уравнения и собственные значения матрицы соответственно совпадают.

5. Записать разностное уравнение второго порядка в виде с помощью замены . Единственно ли такое приведение? Показать, что собственными значениями матрицы являются корни характеристического уравнения и еще число , так что выполнение спектрального признака устойчивости не зависит от выбора или .

Раздел 2. Разностные схемы для уравнений в частных производных.

Тема 6. Построение разностных схем для уравнений в частных производных. (2 час. ауд., 1.5 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Определение аппроксимации.

2. Порядок аппроксимации. Способы вычисления.

3. Определение устойчивости. Условие Куранта, Фридрихса и Леви

4. Определение сходимости

Задачи для аудиторного решения:

1. Построить для задачи Коши

одну из аппроксимирующих ее разностных схем. Определить порядок аппроксимации.

2. Для задачи Коши

воспользоваться сеткой и построить какую-либо аппроксимирующую ее разностную схему.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Для задачи теплопроводности

рассмотреть разностную схему

где – параметр, – значение искомой функции в точке () сетки.

а) Показать, что при любом имеет место аппроксимация на гладком решении с порядком .

б) Подобрать так, чтобы аппроксимация была .

в) Связав шаги сетки соотношением , подобрать затем так, чтобы получить аппроксимацию порядка .

г) При подобрать число так, чтобы получить аппроксимацию порядка .

Тема 7. Основные приемы исследования устойчивости: Условие Куранта, Фридрихса и Леви. Спектральный признак устойчивости Неймана (2 час. ауд., 3 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Определение устойчивости. Условие Куранта, Фридрихса и Леви

2. Определение спектрального признака устойчивости.

3. Является ли данное условие необходимым и достаточным?

Задачи для аудиторного решения:

1. Построить различные разностные схемы для задачи Коши и, используя условие Куранта, Фридрихса и Леви показать устойчивость этих разностных схем:

где и - заданные «входные данные» задачи и .

2. Дана дифференциальная задачи Коши

(1)

Рассмотреть разностную схему

, (2)

аппроксимирующую данную задачу со вторым порядком относительно h (проверьте!) и исследовать данную схему на устойчивость.

3. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

Построить для задачи явную и неявную разностную схему. Исследовать разностные схемы на устойчивость.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Дана задача Коши

Построить разностную схему и проверить удовлетворяет ли она спектральному признаку Неймана.

2. При каких значениях параметра разностная схема, аппроксимирующая задачу Коши для уравнения теплопроводности

удовлетворяет спектральному признаку устойчивости Неймана при любом ?

3. Удовлетворяет ли спектральному признаку устойчивости следующая разностная схема:

где ?

Эта разностная схема аппроксимирует задачу Коши для уравнения теплопроводности с порядком .

Тема 8. Задачи с двумя пространственными переменными. Схемы расщепления (2 час. ауд., 2 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Идея конструкции схем расщепления?

2. В чем заключается идея метода расщепления для двумерной задачи теплопроводности с физической точки зрения?

3. Какие разностные схемы называются экономичными?

4. При каком жестком ограничении на шаг сетки по времени явная экономичная схема будет устойчива?

Задачи для аудиторного решения:

1. Дана дифференциальная задача Коши для двумерного уравнения теплопроводности

(1)

Построить разностную схему для данной задачи, используя конструкцию схем расщепления.

2. Для дифференциальной задачи (1) построить схему расщепления другими способами, исследовать схему на устойчивость.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Построить экономичную разностную схему расщепления для дифференциальной задачи (1).

2. Для дифференциальной краевой задачи

Предложить и исследовать разностную схему расщепления, аналогичную явной схеме расщепления для задачи Коши.

3. Для дифференциальной краевой задачи

Предложить и исследовать разностную схему расщепления, аналогичную схеме переменных направлений для задачи Коши. Доказать, что имеет место аппроксимация порядка .

Раздел 3. Вариационно - и проекционно-разностные схемы.

Тема 9. Вариационно- и проекционно-разностные схемы. Метод взвешенных невязок. Метод Галеркина. Энергетические нормы. (3 час. ауд., 6 час. СРС)

Контрольные вопросы

1. Как нужно выбирать базисные (пробные) функции?

2. Идея метода взвешенных невязок.

3. Способы определения весовых множителей методом поточечной коллокации.

4. Способы определения весовых множителей методом Галеркина.

Задачи для аудиторного решения:

1. Найти приближенное решение задачи -=0, удовлетворяющей краевым условиям , , методом Галеркина и методом поточечной коллокации.

2. Применить метод взвешенных невязок к задаче кручения +=-2, в прямоугольнике -33, -22 с краевыми условиями ,.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Используя подходящую систему базисных функций в виде многочленов, аппроксимировать функцию =1+sin() на отрезке 01. Применить метод поточечной коллокации и метод Галеркина.