Рабочая программа учебной дисциплины ОПД. В «Численные методы решения краевых задач» (стр. 4 )

3.  Некоторая задача одномерной стационарной теплопроводности с распределенным источником тепла описывается уравнением ++1=0 с краевыми условиями , . Найти приближенное решение методом Галеркина, используя 1-элементную и 2-элементную аппроксимации, сравнить результаты.

4.  В некоторой двумерной задаче стационарной теплопроводности для квадрата со стороной длины 1 температура на сторонах 1 изменяется как 1-, а на сторонах =- как 1-. Используя метод Галеркина, найти распределение температуры на квадрате.

Раздел 4. Алгоритмы численного решения краевых задач.

Тема 10. Методы решения систем уравнений с разреженной матрицей. Схемы хранения. Общая теория итерационных методов решения систем уравнений. Линейная сходимость. (2 час. ауд., 3 час. СРС)

Контрольные вопросы

1.  Что такое разреженная матрица? Какие методы для решения систем уравнений с такими матрицами вам известны?

2.  Что такое ленточный метод? Какой вид имеет матрица в этом случае?

3.  Как найти ширину ленты?

4.  Какие способы хранения симметричной ленточной матрицы Вы знаете?

4. ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

4.1. Содержание лабораторных занятий

4.2. Методические указания по подготовке к лабораторным занятиям

Лабораторные работы позволяют параллельно с усвоением теоретического материала приобретать практические навыки построения разностных схем и решения краевых задач. Однако для эффективного использования времени, отведенного на работу с компьютером необходима предварительная аналитическая (ручная) проработка задач, выносимых на лабораторные занятия. Эта задача решается на практических занятиях и во время самостоятельной работы студентов.

Преподавателю, ведущему лабораторный практикум, рекомендуется строить их согласно тематике лабораторного практикума, по следующей схеме:

- «вспомнить» соответствующую лекцию (теорию) с помощью контрольных вопросов, приведенных в каждом разделе «Методических указаний к проведению лабораторного практикума»;

- задавать задачи, приведенные в каждом разделе методических указаний к проведению лабораторного практикума по вариантам, для решения их средствами программного обеспечения;

- давать задание «на дом» – задачи из соответствующего раздела методических указаний к проведению лабораторного практикума.

5. ТЕМАТИКА И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

5.1. Краткие методические указания по выполнению курсовой работы

Задания на курсовую работу выдаются студентам по вариантам, согласно списку в журнале.

Приступая к выполнению курсовой работы, необходимо, прежде всего, повторить теоретические сведения о построении разностных схем для дифференциальных уравнений в частных производных.

После построения разностной схемы необходимо проверить ее сходимость, при этом порядок точности должен быть не ниже второго. Затем необходимо решить полученную разностную схему, в результате чего получаем систему линейных алгебраических уравнений. Метод решения СЛАУ выбирается самостоятельно (например, метод прогонки). Затем оценивается погрешность метода, по правилу Рунге.

После решения задачи студент должен выполнить описание полученных результатов. То есть сделать выводы, например, «при нагреве однородной пластинки из бетона с включением из стали со временем происходит незначительный нагрев, который объясняется малым коэффициентом теплопроводности бетона, а также типом граничного условия (теплообмен с окружающей средой)…».

Заключительным этапом работы является оформление пояснительной записки согласно ГОСТу.

5.2 Задания на курсовую работу

Курсовая работа «Решение задачи теплопроводности»

Дана двумерная задача теплопроводности:

,

где – коэффициенты теплопроводности, в направлениях x, y размерности .

с – коэффициент теплоемкости,

ρ – плотность материала,

Структура области в зависимости от варианта бывает 4 типов:

1.

Размеры сечения: 20х30 см.

Радиус включения: 6 см.

Вид материала в зависимости от варианта

Граничные условия могут быть 3 видов:

1. , =1000 К

2. , =1

3.

В формулах для граничных условий

q – поток тепла, ;

h – коэффициент теплообмена, 53 ;

– температура окружающей среды, 293 K;

Т – температура на границе (неизвестная);

Начальные условия

.

Порядок точности не ниже второго.

Метод дискретизации – метод конечных разностей (МКР). Метод решения получаемой системы алгебраических уравнений выбирается самостоятельно.

В таблице 1 представлены варианты форм, материалов, граничных и начальных условий, а также коэффициентов теплопроводности (по осям x и y соответственно) для краевой задачи теплопроводности (по списку в журнале).

Обязательными разделами при оформлении курсовой работы являются:

–постановка задачи;

–описание метода дискретизации (с расчетными формулами);

–определение сходимости полученной разностной схемы;

–описание алгоритма решения системы уравнений;

–результаты численных экспериментов по практической оценке погрешности;

–описание полученных результатов.

Таблица 1

№ п/п	Структура области	Материалы	Граничные условия	Начальные условия	Коэффициенты теплопроводности
1	1	Сталь, Бетон (включения)	=1, на других границах 3	()=20+293	46, 46
2	1	Сталь, Воздух (включения)	=2, на других границах 1	()=	46, 46
3	1	Сталь, Бетон (включения)	=3	()=	92, 46
4	1	Сталь, Воздух (включения)	=2, на других границах 3	()=	46, 92
5	2	Сталь, Бетон (включение)	=1, на других границах 2	()=	46, 92
6	2	Сталь, Бетон (включение)	=2	()=	46, 46
7	2	Сталь, Воздух (включение)	=3, на других границах 1	()=	92, 46
8	2	Сталь, Воздух (включение)	=1	()=	46, 92
9	3	Сталь	=1, на других границах 2	()=+303	46, 46
10	3	Арматура	=2, на других границах 3	()=+313	46, 46
11	3	Бетон	=3, на других границах 1	()=+323	92, 46
12	3	Алюминий	=3, на других границах 2	()=+293	46, 92
13	4	Сталь	=1	()=	46, 46
14	4	Арматура	=2, на других границах 1	()=	46, 46
15	4	Бетон	=3	()=	92, 46
16	4	Алюминий	=1, на других границах 3	()=	46, 92
17	1	Сталь Воздух (включения)	=1	()=	46, 184
18	2	Арматура Воздух (включения)	=3 на других границах 1	()=	184, 46
19	3	Бетон	=2	()=20+293	184, 184

5.3. Критерии оценки курсовой работы

Критерием оценки при защите курсовой работы является уровень проведенного исследования, владения теоретическими и практическими знаниями. Учитываются: обоснованность выбора определяющих соотношений среды; корректность формулировки математической модели; использование современных программных средств.

Оценка «отлично» ставится, если в проведенном исследовании:

1) При постановке задачи подробно описана краевая задача: дифференциальное уравнение в частных производных, форма и структура области, граничные и начальные условия.

2) Подобно описан метод дискретизации краевой задачи;

3) Определена сходимости полученной разностной схемы (выполнена аппроксимация разностной схемы и проверена ее устойчивость);

4) Описан метод и алгоритм решения системы уравнений, показана программа, в которой реализовывалось решение задачи;

5) Проведены численные эксперименты по практической оценке погрешности по правилу Рунге;

6) Квалифицированно описаны полученные результаты.

Оценка «хорошо» ставится, если в перечисленных пунктах есть неточности или неверно выполнены п. 3, 4, или 5 при использовании универсальных программных средств математического моделирования.

Оценка «удовлетворительно» ставится при невыполнении п. 1, 3, и 5, при использовании универсальных или специализированных программных средств.

6. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ И ЭКЗАМЕНУ

Раздел 1. Теория разностных схем.

1.  Разностные уравнения 1-го и 2-го порядка. Общее решение.

2.  Линейная краевая задача для уравнений 2-го порядка. Фундаментальные решения.

3.  Алгоритм трехдиагональной прогонки (с обоснованием).

4.  Разностные схемы для ОДУ-1 и ОДУ-2.

5.  Аппроксимация разностной схемы.

6.  Устойчивость разностной схемы.

7.  Общие теоремы о сходимости.

8.  Спектральный признак устойчивости.

9.  Схемы Рунге-Кутта.

Раздел 2. Разностные схемы для уравнений в частных производных.

10.  Разностные схемы для уравнений в частных производных.

11.  Условие Куранта, Фридрихса и Леви.

12.  Схемы расщепления.

13.  Разностные схемы для эллиптических задач.

14.  Метод установления.

Раздел 3. Вариационно- и проекционно-разностные схемы.

15.  Вариационно-разностные схемы.

16.  Проекционно-разностные схемы.

17.  Метод взвешенных невязок.

18.  Метод Ритца.

19.  Энергетические нормы.

20.  Оценка погрешности в энергетической норме.

Раздел 4. Алгоритмы численного решения краевых задач.

21.  Схемы хранения разреженных матриц.

22.  Алгоритмы решения систем с линейной сходимостью.

23.  Чебышевское ускорение.

24.  Предобуславливание.

25.  Методы второго порядка.

26.  Метод сопряженных градиентов с предобуславливанием.

27.  Частичная факторизация.

Раздел 5. Методы конечных элементов.

28.  Конечные элементы и аппроксимация.

29.  Оценка погрешности конечно-элементной аппроксимации.

30.  Конечные элементы в нелинейных краевых задачах.

31.  Конечные элементы в краевых задачах теории упругости.

32.  Конечные элементы в задачах анализа колебаний.

Раздел 6. Методы граничных интегральных уравнений.

33.  Граничные интегральные уравнения.

34.  Способы аппроксимации функций на границе.

35.  Особенности решения осесимметричных задач.

36.  Нестационарные задачи.