Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

(университет «Дубна»)

УТВЕРЖДАЮ

проректор по учебной работе

____________

«_____»___________2013 г.

П Р О Г Р А М М А Д И С Ц И П Л И Н Ы

Линейная алгебра

(наименование дисциплины)

по направлению (специальности)

081100 Государственное и муниципальное управление

(№, наименование направления, специальности)

Форма обучения: очная

Уровень подготовки: бакалавр

Курс (семестр): 1 (2 семестр)

г. Дубна, 2013г.

1. Цели освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Линейная алгебра» является изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного анализа.

Задачи дисциплины:

·  теоретическое освоение студентами основных положений курса линейной алгебры;

·  формирование необходимого уровня алгебраической и геометрической подготовки для понимания основ математического анализа,

·  теории вероятностей и математической статистики;

·  приобретение практических навыков решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий в их взаимной связи, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования;

·  формирование умений решения оптимизационных задач с использованием аппарата линейной алгебры.

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Дисциплина «Линейная алгебра» (Б2.Б.2) является базовой дисциплиной математического и естественнонаучного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Государственное и муниципальное управление» (бакалавриат).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Дисциплина «Линейная алгебра» базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математики.

Дисциплина «Линейная алгебра» является общим теоретическим и методологическим основанием для всех математических и финансово-экономических дисциплин, входящих в ООП бакалавра. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования моделей управления в сфере государственного и муниципального управления.

Изучение дисциплины «Линейная алгебра» дает основу для изучения последующих курсов управленческого профиля:

·  Методы принятия управленческих решений

·  Принятие и исполнение государственных решений

·  Прогнозирование и планирование

·  Прогнозирование и проектирование организаций

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения дисциплины студент должен:

ЗНАТЬ:

·  основы линейной алгебры, необходимые для успешного изучения математических дисциплин, решения экономических задач;

УМЕТЬ:

·  применять методы линейной алгебры для решения математических задач, для построения и анализа моделей в экономике;

ВЛАДЕТЬ:

·  навыками применения современного математического инструментария для решения задач экономики;

·  методикой построения, анализа и применения математических моделей в экономике.

Требования к результатам освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен обладать следующим комплексом компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки (специальности):

а) общекультурных (ОК):

ОК-4 ОК-8

б) профессиональных (ПК):

ПК-5 ПК-17 ПК-18 ПК-23 ПК-26 ПК-27 ПК-31

Компетенции студента, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля)

Результат обучения

компетенция

Образовательная технология

Вид задания

Знать:

основы линейной алгебры, необходимые для успешного изучения математических дисциплин, решения экономических задач;

ОК-8

ПК-5

ПК-23

Л1, Л2,Л4,Л6,Л8,С1,С2,экзамен

ДЗ, КР, экзамен

Уметь

применять методы линейной алгебры для решения математических задач, для построения и анализа моделей в экономике

ОК-4

ПК-27

ПК-31

ПК-18

Л15-Л16,С7, экзамен

ДЗ, ПР, КР, экзамен

Владеть

навыками применения современного математического инструментария для решения задач экономики

ОК-4

ОК-8

ПК-17

С3,С6, Л6-8, экзамен

ДЗ, КР, ПР, экзамен

методикой построения, анализа и применения математических моделей в экономике

ОК-8

ПК-26

С8,Л9-Л13, экзамен

ДЗ, КР, экзамен

4.4 Содержание и структура дисциплины

В подразделе «Содержание разделов дисциплины» в табличной форме (таблица 1) приводится описание содержания дисциплины, структурированное по разделам, с указанием по каждому разделу формы текущего контроля: защита практической работы (ПР), расчетно-графического задания (РГЗ), домашнего задания (ДЗ), написание реферата (Р), эссе (Э), коллоквиум (К), рубежный контроль (РК).

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы 108 учебных часов.

Таблица 1

№ раздела

Наименование
раздела

Содержание раздела

Форма текущего
контроля

1

2

3

4

1

Линейные пространства

Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное пространство Rn . Геометрический смысл пространств R2 и R3 . Линейные пространства общего вида. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса. Подпространства линейного пространства.

Скалярное произведение векторов в Rn . Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в Rn . Ортогональный и ортонормированный базисы в Rn . Координаты вектора в ортогональном базисе. Процессортогонализации. Ортогональные дополнения подпространств.

С, ДЗ

2

Матрицы и определители

Сложение матриц и умножение матрицы на число. Ранг матрицы.

Умножение матриц. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений вида

Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам.

ДЗ, ПР, КР

3

Системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная запись. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений; 4) нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера;

5) нахождение обратной матрицы.

ДЗ, Р, ПР,

4

Многочлены и комплексные числа

Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.

Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

ДЗ, ПР, КР

5

Линейные преобразования и квадратичные формы

Линейные преобразования пространства Rn . Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные значения квадратных матриц.

Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

ДЗ, ПР, С

6

Элементы аналитической геометрии

Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n-мерном пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве.

Классификация кривых второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Выпуклые множества в пространстве Rn . Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn.

ДЗ, ПР, С, КР

7

Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева

Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства. Продуктивность неотрицательных матриц.

Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивные модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева.

ДЗ, С, ПР

8

Линейное программирование

Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая формы записи задач линейного программирования.

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.

Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса. Метод искусственного базиса.

Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.

ДЗ, С, ПР, КР

Распределение трудоемкости в часах по всем видам аудиторной и самостоятельной работы студента в семестре

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4,5 зачетных единицы 162 часа

Вид работы

Трудоемкость, часов

2

семестр

Всего

Общая трудоемкость

162

162

Аудиторная работа:

68

68

Лекции (Л)

34

34

Практические занятия (ПЗ)

34

34

Самостоятельная работа:

40

40

Реферат (Р)

Эссе (Э)

Самостоятельное изучение разделов

Самоподготовка (проработка и повторение лекционного материала и материала учебников и учебных пособий, подготовка к лабораторным и практическим занятиям, коллоквиумам, рубежному контролю и т. д.)

Подготовка и сдача зачёта

54

54

Вид промежуточного контроля

экзамен

экзамен

4.1. Структура преподавания дисциплины

№

№

№п/п

Содержание раздела

Форма текущего
контроля

Объем учебной работы с применением интерактивных методов (в %)

Неделя семестра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)

Лекции

Семинары

Практические работы

Самостоятельная работа студента

1.   

Линейные пространства

Л1-Л2,С1

31%

1

4

4

5

2.   

Матрицы и определители

Л3-Л4,С2,КР, ПР

32%

2

4

3

2

5

3.   

Системы линейных уравнений

Л5-Л5,С3

33%

3-4

4

4

5

4.   

Многочлены и комплексные числа

Л6-Л7,С4

31%

5-6

4

4

5

5.   

Линейные преобразования и квадратичные формы

Л8-Л9,С5,ПР, КР

30%

7-9

5

3

2

5

6.   

Элементы аналитической геометрии

Л10-Л12,С6

33%

10-12

5

4

5

7.   

Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева

Л13-Л14,С7,КР, ПР

31%

13-14

4

3

2

5

.8

Линейное программирование

Л15-Л17,С8,КР

33%

15-16

4

3

2

5

Промежуточная аттестация

17

Тематический план освоения дисциплины

Тема 1. Линейные пространства

1.1. Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное пространство Rn . Геометрический смысл пространств R2 и R3. Линейные пространства общего вида. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.2. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса. Подпространства линейного пространства.

1.3. Скалярное произведение векторов в Rn . Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в Rn . Ортогональный и ортонормированный базисы в Rn . Координаты вектора в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения подпространств.

Тема 2. Матрицы и определители

2.1. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Ранг матрицы.

2.2. Умножение матриц. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений.

2.3. Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам.

Тема 3. Системы линейных уравнений

3.1. Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная запись. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

3.2. Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений; 4) нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера; 5) нахождение обратной матрицы. Без доказательства (здесь и далее по тексту).

Тема 4. Многочлены и комплексные числа.

4.1 Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.

4.2 Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

Тема 5. Линейные преобразования и квадратичные формы

5.1. Линейные преобразования пространства Rn . Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные значения квадратных матриц.

5.2. Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Тема 6. Элементы аналитической геометрии.

6.1. Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n-мерном пространстве. Плоскость в трехмерном пространстве. 6.2. Классификация кривых второго порядка *. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

6.3. Выпуклые множества в пространстве Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn.

Тема 7. Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева.

7.1. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства. Продуктивность неотрицательных матриц.

7.2. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивные модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева.

Тема 8. Линейное программирование.

8.1 Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая формы записи задач линейного программирования.

8.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.

8.3 Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса. Метод искусственного базиса.

8.4 Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.

4.5 Образовательные технологии

В учебном процессе, помимо чтения лекций широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины, выполнение практических заданий)

В сочетании с внеаудиторной работой это способствует формированию и развитию профессиональных навыков обучающихся.

Для закрепления знаний студентов, по всем разделам курса) проводятся практические занятия, целью которых является формирование первых навыков самостоятельной работы.

Формы работы студентов: программа курса предусматривает лекционные и а семинарские занятия. Широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм занятий в сочетании с внеаудиторной работой проводится с целью формирования и развития требуемых компетенций обучающихся.

К самостоятельной работе студента относится подготовка к семинарам, контрольным работам в форме практических аудиторных и домашних заданий.

Перечень обязательных видов работы студента:

·  посещение лекционных занятий;

·  ответы на теоретические вопросы на семинаре;

·  выполнение практических заданий на семинаре;

·  выполнение контрольных работ;

·  выполнение домашних работ:

·  выполнение домашних практических работ;

·  коллоквиумы по отдельным темам.

Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях

Семестр

Вид занятия

(Л, ПР, ЛР)

Используемые интерактивные образовательные технологии

Количество часов

2

Л

Компьютерная презентация

95 %

С

Работа по индивидуальному заданию, подготовка практических заданий, коллоквиумы, практические работы, подготовка к семинарским занятиям

50%

100 %

Л

Компьютерная презентация

95 %

ПР

Работа по индивидуальному заданию, подготовка докладов, практические работы, подготовка к семинарским занятиям, работа в группах.

50%

100 %

При изучении теоретического курса на лекциях предусматривается заложение материала в виде презентации.

Некоторые разделы теоретического курса изучаются с использованием опережающей самостоятельной работы: студенты получают задания на ознакомление с новым материалом до его изложения на лекциях.

При изучении теоретического курса на лекциях предусматривается заложение материала в виде презентации.

Некоторые разделы теоретического курса изучаются с использованием опережающей самостоятельной работы: студенты получают задания на ознакомление с новым материалом до его изложения на лекциях.

Семинарские занятия проводятся в специализированном кабинете.

Тематика семинарских занятий

№ семинара

Тема семинарского занятия

Неделя

C1

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

1

C2

Линейные пространства. Подпространства линейного пространства. Скалярное произведение векторов. Длина вектора, угол между векторами, ортогональный и ортонормированный 6азисы. Координаты вектора в ортогональном базисе.

3

C3

Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы. Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений вида АХ = В. Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Вычисление определителя с помощью разложения его по строкам и столбцам.

5

C4

Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Нахождение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений. Связи между общими решениями однородной и неоднородной систем. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

7

C5

Комплексные числа и операции над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.

9

С6

Линейные преобразования и матрицы. Квадратичные формы. Приведение формы к нормальному и каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

11

С7

Элементы аналитической геометрии па прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве. Кривые второго порядка па плоскости. Эллипс, гипербола, парабола. Классификация кривых второго порядка. Выпуклые множества. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Нахождение угловых точек выпуклых многогранных областей.

13

С8

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Взаимно-двойственные задачи линейного программирования.

15

Планы семинарских занятий и активных форм обучения

Семинар 1:Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

ДЗ1

Семинар 2:Линейные пространства. Подпространства линейного пространства. Скалярное произведение векторов. Длина вектора, угол между векторами, ортогональный и ортонормированный 6азисы. Координаты вектора в ортогональном базисе.

ДЗ2

Семинар 3: Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы. Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений вида АХ = В. Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Вычисление определителя с помощью разложения его по строкам и столбцам.

ДЗ2

Семинар 4: Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Нахождение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений. Связи между общими решениями однородной и неоднородной систем. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

ДЗ4

Семинар5: Комплексные числа и операции над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

ДЗ5

Семинар 6: Линейные преобразования и матрицы. Квадратичные формы. Приведение формы к нормальному и каноническому виду. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

ДЗ6

Семинар 7: Элементы аналитической геометрии па прямой, плоскости и в трёхмерном пространстве. Кривые второго порядка па плоскости. Эллипс, гипербола, парабола. Классификация кривых второго порядка. Выпуклые множества. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Нахождение угловых точек выпуклых многогранных областей.

ДЗ7

Семинар 8: Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Взаимно-двойственные задачи линейного программирования.

ДЗ8

4.6 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Вид контроля

Форма учебной работы

Текущий

Групповой практикум

Домашние работы

Обобщающий

Контрольные работы

Домашние практические работы

Коллоквиум

Итоговый

Устный экзамен

Итого

Практические задачи:

1)  Нахождение обратной матрицы (при n = 3)

2)  Нахождение коммутирующей матрицы (при n = 2)

3)  Пример на альтернативы Фредгольма (для систем 2 х 3)

4)  Пример на нахождение ранга матрицы (для квадратных матриц 3 Х 3)

5)  Пример на построение фундаментальной совокупности решений

6)  Пример на нахождение собственных чисел и собственных корней характеристического многочлена

Контрольные работы:

Сроки выполнения контрольных работ определены учебно-тематическим планом. Сроки сдачи и порядок выполнения контрольных работ устанавливаются преподавателем.

Контрольные работы

№

Тема работы

неделя

1

Контрольная работа

2

2

Контрольная работа

8

3

Контрольная работа

12

4

Контрольная работа

14

Тематика контрольных работ:

Контрольная работа №1

- решение систем линейных уравнений методом Гаусса; нахождение

базисного решения;

- решение систем линейных уравнений с параметром, нахождение

значений параметра, при которых система является определенной,

несовместной, неопределенной;

- исследовать данное подмножество векторов линейного

пространства и выяснить, является ли оно линейным подпространством;

- нахождение ранга и базиса данной системы векторов, разложение

заданного вектора по данному базису;

- нахождение размерности пространства решений и ФНР системы

линейных однородных уравнений.

Контрольная работа №2

- действия над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц);

- вычисление определителя заданной квадратной матрицы;

- решение системы линейных уравнений (в том числе и с комплексными коэффициентами) по формулам Крамера;

- применение определителей (нахождение матрицы, обратной данной, решение матричного уравнения);

- нахождение собственных значений и собственных векторов заданной матрицы.

Контрольная работа №3:

- решение задач по теме «Прямые и плоскости, кривые и поверхности в пространстве»;

- нахождение угловых точек выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений.

Контрольная работа №4:

- решение задачи линейного программирования графическим методом;

- решение задачи линейного программирования симплексным методом

- составление двойственной задачи для заданной задачи линейного программирования.

Самостоятельная работа

Обязательными при изучении дисциплины «Линейная алгебра» являются следующие виды самостоятельной работы:

— разбор теоретического материала по пособиям и конспектам лекций;

— самостоятельное изучение указанных теоретических вопросов;

— решение задач по темам практических занятий;

— выполнение домашних контрольных работ.

Контрольные работы

Сроки выполнения контрольных работ определены учебно-тематическим планом. Сроки сдачи и порядок выполнения контрольных работ устанавливаются преподавателем.

Тематика контрольных работ

Примерное задание контрольной работы будут следующими:

1. Решить уравнение А2 – 2(ВТ × С)Т = DT×X, где

А=,,,D=

2. Вычислить определитель

3. Найти ортогональное преобразование квадратичной формы, ее каноническую форму и исследовать форму на положительность, отрицательность или знакопеременность.

Перечень контрольных вопросов к экзамену:

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

2. Доказать, что однородная система линейных уравнений, у которой число неизвестных больше числа уравнений, имеет ненулевые решения.

3. Доказать неравенство Коши-Буняковского.

4. Выполнить действия над векторами в Rn. Найти длины векторов и углы между ними.

5. Вычислить скалярное произведение векторов в Rn.

6. Найти ранг и базис данной системы векторов. Разложить заданный вектор по данному базису.

7. Доказать, что любая система ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независима.

8. Исследовать данное подмножество векторов линейного пространства и выяснить, является ли оно линейным подпространством.

9. Выполнить действия над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц).

10.Сформулировать основные свойства определителей.

11.Вычислить определитель заданной квадратной матрицы.

12.Пользуясь формулами Крамера, решить систему линейных уравнений.

13.Установить, имеет ли однородная система линейных уравнений ненулевые решения.

14.Найти ФНР однородной системы уравнений.

15.Найти матрицу, обратную заданной.

16.Решить матричное уравнение вида AX B, XA B .

17.Найти ранг матрицы.

18.Провести действия с комплексными числами.

19.Вычислить степень комплексного числа, используя формулу Муавра.

20.Найти комплексные корни уравнения.

21.Представить комплексное число в тригонометрической форме.

22.Разложить правильную рациональную функцию в виде суммы простейших дробей.

23.Найти НОД многочленов.

24.Преобразовать координаты вектора при замене базиса.

25.Найти матрицу данного линейного оператора.

26.Преобразовать матрицу линейного оператора при замене базиса.

27.Проверить продуктивность заданной матрицы.

28.Найти собственные значения и собственные векторы заданной матрицы.

29.Доказать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям матрицы, линейно независимы.

30.Найти собственные векторы линейного преобразования.

31.Найти число и вектор Фробениуса заданной матрицы.

32.Привести квадратичную форму к нормальному виду методом Лагранжа.

33.Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональной заменой координат.

34.Исследовать положительную определенность квадратичной формы.

35.Составить уравнение прямой, заданной в двумерном пространстве.

36.Составить уравнение прямой, заданной в трехмерном пространстве.

37.Найти расстояние от данной точки до заданной прямой.

38.Составить уравнение плоскости, заданной в трехмерном пространстве.

39.Исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей, заданных в трехмерном пространстве.

40.Найти углы между данными прямыми.

41.Найти углы между данными плоскостями.

42.Найти углы между данными прямой и плоскостью.

43.Найти угловые точки выпуклого плоского множества, заданного системой линейных неравенств.

44.Определить с помощью линейных неравенств выпуклую оболочку конечного семейства точек (на плоскости).

45.Определить тип линии второго порядка по ее уравнению, найти её каноническое уравнение.

46.Представить задачу линейного программирования в канонической форме.

47.Представить задачу линейного программирования в стандартной форме.

48.Решить графически задачу линейного программирования.

49.Решить задачу линейного программирования симплексным методом.

50.Решить задачу линейного программирования симплексным методом с помощью искусственного базиса.

51.Для заданной задачи линейного программирования составить

двойственную задачу.

52.Применить теоремы двойственности для нахождения решения двойственной задачи по найденному решению заданной задачи линейного программирования.

Примеры заданий итогового контроля

Типовой экзаменационный билет состоит из 3-х теоретических и 2-х практических заданий

ТИПОВОЙ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ

1. Доказать теорему Крамера

2. Дать определение квадратичной формы

3. Сформулировать свойства собственных чисел матрицы

4. Найти оператор, сопряженный с ортогональным

5. В некотором ортонормированном базисе евклидова пространства система элементов представлена столбцами координат

.

Требуется:

a)  найти размерность и базис линейной оболочки ;

b)  указать в линейной оболочке ортонормированный базис и достроить его до ортонормированного базиса евклидова пространства.

Итоговая оценка по дисциплине: формируется путем суммирования накопленной оценки и оценки за экзамен

По курсу предусмотрены четыре контрольных работы и домашнее задание, как формы текущего и промежуточного контролей.

Студенты, не выполнившие контрольные работы и домашнее задание, к экзамену не допускаются, в экзаменационную ведомость проставляется оценка неудовлетворительно.

Все формы контроля оцениваются в 10-балльной шкале.

. Для получения результирующей оценки итогового контроля используются следующие весовые множители:

    Q1 - оценки за контрольную работу – 30% итоговой оценки Q2 - оценка за активность на семинарских занятиях – 20% итоговой оценки

Экзаменационная оценка Q3, в свою очередь, складывается из пяти составляющих со следующими весовыми множителями:

·  G1- за легкий теоретический вопрос на знание определений – 20% экзаменационной оценки;

·  G2 - за легкий вопрос по теории – 10% экзаменационной оценки;

·  G3 - за вопрос на доказательство теорем – 40% экзаменационной оценки;

·  G4 - за легкую задачу – 10% экзаменационной оценки;

·  G5 - за трудную задачу – 20% экзаменационной оценки;

Итоговая оценка Q4 = (0.2G1 + 0.3G2 + 0.4G3 + 0.1G4 + 0.2G1)*0,5+0,3 Q1 +0,2Q2

Полученный после округления этой величины до целого значения результат и выставляется как результирующая оценка по 10-балльной шкале по учебной дисциплине «Линейная алгебра» в экзаменационную ведомость (оценкам 1, 2, 3 в 10-балльной системе соответствует оценка «неудовлетворительно » в пятибалльной системе, оценкам 4, 5 – «удовлетворительно », оценкам 6, 7 – «хорошо », оценкам 8, 9, 10 – «отлично »).

4.7 Учебно-методическое обеспечение дисциплины

2.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / , , ; Под ред. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 20с. (гриф: Министерство образования и науки РФ)

3.Высшая математика для экономистов: Практикум: Учебное пособие для вузов / , , и др.; Под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд.,перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 20с. (гриф: Министерство образования и науки РФ)

4.Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / , , ; Под ред. Н.Ш. Кремера. - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 20с. (гриф: Министерство образования и науки РФ)

Дополнительная литература:

1.Богданов анализ: Учебное пособие для вузов / , , . - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 20с. - Алф.-предм. указ.:с.338.

Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для вузов / , , ; Под ред. . - 5-е изд.,испр. - М.: Физматлит, 20с.

2.Зимина математика: Учебное пособие для вузов / , , ; Рец. , ; Серия под ред. . - 3-е изд.,испр. - М.: Физматлит, 20с.

3.Шипачев математика: Учебник для вузов / . - 5-е изд.,стер. - М.: Высшая школа, 20с.: ил. - Предм. указ.:с.455.

4.8 Программное обеспечение современных информационно-коммуникационных технологий

Для проведения практических и лекционных занятий используется программное обеспечение MS OFFICE: PowerPoint, Word, Exсel.

4.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины:

В целях обеспечения качественного современного учебного процесса аудитории для проведения занятий должны быть оборудованы следующими техническими средствами обучения:

Персональный компьютер (ноутбук) Мультимедийный проектор Экран проекционный Стенд для графических работ с комплектом цветных маркеров.

Используются коллекции слайдов и видеофильмов по отдельным разделам дисциплины. Для самостоятельной работы используются компьютерные классы с доступом к ресурсу Интернет.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПООП ВПО по направлению и профилю подготовки 081100 «Государственное и муниципальное управление»