«Экономика публичного сектора» (стр. 4 )

Упорядочим их по возрастанию: w1 w2 … wN и введем некоторую величину wmin – минимальный запас блага, требуемый агенту для выживания.

Тогда люди поделятся на две категории: те, у кого wi £ wmin (их N1 человек), и остальные (их соответственно N2 = N – N1)

Для того, чтобы обеспечить всех минимальным запасом блага, требуемого для выживания, введем рационирование: отберем у бедных все, а у богатых – только (wminN – SiÎN1wi), т. е. заберем у богатых wmin и обложим налогом t то, что у них осталось:

T = (wmin N1 – SiÎN1 wi)/( SiÎN2 wi – wmin N2)

В результате количество собранного блага в размере wmin N распределяем поровну между всеми агентами.

Имеется модель двухслойной экономики с одним продуктом и одним производителем, множество производственных возможностей которого есть . Кроме того, имеется потребителей с количеством денег у каждого . Потребители покупают на свои деньги продукт по цене на регулируемом рынке и по цене на свободном рынке.

- вектор рационов (ограничений);

.

Ограничения потребительских возможностей:

.

.

Отсюда, считая, что неравенства обращаются в равенства, имеем:

или .

Цена определяется из материального баланса:

или или .

Пусть, например, . Тогда = 75, = 0.457,

(75 – 0.457) / (1 – 0.457) = 138.12 – 0.842.

0.2 + (5 – 0.2) / (138.12 – 0.842) = ;

0.1 + ;

;

;

;

Положим . Тогда 0.236 0.172 0.176 0.195 0.221

Пусть теперь . Тогда 0.223 0.169 0.187 0.2 0.194

. 0.2 0.456 0.176 0.195 0.221

Пример.

Let us take an example.

is a production function of an economy of a size , where means a number of people in the economy.

is a taxation rate in the sub-economy 2.

is minimal norm of consumption.

Let us define by the relation .

Let sub-economy 2 contains people and the sub-economy 1 contains the rest of the population , where .

Then the production in the sub-economy 1 is equal to . The production in the sub-economy 2 is equal to , under condition that the fraction of population works the rest of time in the sub-economy 2.

So, a lump-sum of taxes is . Finally we have the balance: total taxes are equal to a deficit in the sub-economy 1. Namely, the sub-economy 1 needs , and it has only .

An amount of taxes is

because one assumes that the fraction of population is free from taxes.

So,

or

. Hence

.

Handout #4

Задача расселения населения по юрисдикциям.

Рассмотрим экономику с конечным (заданным) числом юрисдикций и конечным числом жителей (потребителей) . В каждой юрисдикции имеется совокупный производитель (один единственный) частных благ, множество производственных возможностей которого обозначим (как это принято в канонической модели Эрроу – Дебре) через . При этом множество состоит из векторов вида , где - некоторое положительное число, показывающее величину затрат труда (однородного), а есть вектор, описывающие производственные возможности производителя по частным благам. Кроме того, с каждой юрисдикцией ассоциируется локальное правительство, которое является производителем локальных публичных благ. Возможности производства локальных публичных благ описываются вектор-функцией , компоненты которой показывают затраты частных благ для производства локальных публичных благ.

Поставщиками труда (производителями блага под названием «труд») являются индивидуумы (жители страны). Один индивид производит одну единицу труда как такового. Однако формально следует считать один и тот же труд, предложенный в разных юрисдикциях за разные продукты. Таким образом, каждый индивид может произвести единицу труда в любой из юрисдикций с помощью следующих производственных способов. Для того, чтобы произвести единицу труда в юрисдикции , необходимо потратить некоторое количество частных благ, а также локальных публичных благ, которые предоставляет данная юрисдикция. При этом будет произведен не только труд, но и некий особый продукт, называемый полезностью для данного индивида от потребления им соответствующих количеств частных и публичных благ.

Для того, чтобы представить сказанное в формальном виде, необходимо определить расширенное пространство продуктов, в котором оперирует экономика с учетом того обстоятельства, что локальные частные блага должны формально выглядеть как частные блага.

Итак, общее пространство продуктов имеет размерность , поскольку в одной юрисдикции имеется частных благ, локальных публичных благ, один вид труда, а также видов (условных) благ, измеряющих величину полезности для каждого индивида. Тогда рассматриваемая экономика сводится к стандартной экономике Эрроу – Дебре следующим образом.

Производители в экономике имеются трех типов. Во первых, это производители частных благ, которых ровно столько, сколько юрисдикций. Их множества производственных возможностей выглядят следующим образом.

.

Во вторых, это производители блага, под названием «труд», которых ровно столько, сколько жителей, то – есть . Их множества производственных возможностей есть

где и .

Из этой записи видно, что каждый индивидуум может производить благ: видов труда, по одному виду на каждую юрисдикцию, и благо, измеряющее его полезность.Коэффициент показывает, какую долю своего времени индивидуум проводит в юрисдикции .

И, наконец, в третьих, это локальные правительства, которые производят локальные публичные блага. Их множества производственных возможностей есть

. Здесь вектор повторяется столько раз, сколько индивидуумов, то – есть раз.

Потребителями в экономике являются индивидуумы, которые, таким образом, выступают в двух ролях: как производители и как потребители. Целевая функция потребителя есть . Это есть простая линейная функция: индивидуум , как потребитель, заинтересован в максимизации одной единственной компоненты в векторе потребления , а именно той компоненты, которая относится к продукту, измеряющему величину полезности для этого индивидуума. Бюджет потребителя есть прибыль этого же индивидуума как производителя, то – есть .

Здесь , где есть вектор цен на частные блага в юрисдикции ; - цена труда (заработная плата) в юрисдикции ; есть вектор цен (по Линдалу) публичных благ в юрисдикции , предоставляемых потребителю ; есть цена продукта, измеряющего величину полезности, получаемую потребителем .

Таким образом, имеем экономику Эрроу – Дебре

Обозначим состояние равновесия в получившейся экономике через .

Прибыль любого локального правительства в состоянии равновесия равна нулю. Это является исходным дополнительным, и весьма важным, условием. В работе Kaneko приводятся примеры, когда Линдаловское равновесие не лежит в ядре. Суть этих примеров состоит в том, что там допускается иметь строго положительную прибыль у правительства как производителя.

Прибыль индивидуума как производителя труда есть . Отсюда следует, что заработная плата индивидуума в точности равна затратам на покупку частных продуктов и покупку публичных благ. Последнюю трату можно интерпретировать как индивидуализированные (линдаловские ) налоги.

Из последнего утверждения вытекает, что прибыль производителя частных благ в любой юрисдикции равна нулю в состоянии равновесия.

Далее, в состоянии равновесия линдаловская цена , если предложение превышает спрос. Предложение локальных публичных благ больше спроса на них, если . ?

Бюджетный федерализм.

БОРЬБА С МОНОПОЛИЯМИ

Государство – главный естественный монополист, ибо ему нет альтернативы. Демократическое государство устроено так: три независимые ветви власти. Законодательная власть принимает законы, исполнительная власть их исполняет и осуществляет оперативное управление. Судебная власть принимает решения на основе законов, следит за их соблюдением. Нет доказательств, что такое устройство государства оптимально, но есть исследования, критикующие вышеописанное устройство.

Во главе каждой ветви власти стоят политики, которых выбирает население. Политики руководят бюрократами, которые принимают основные решения. Обычно считается, что политики меняются через механизм выборов, а бюрократы нет. Тогда у бюрократов нет стимулов делать то, что хорошо для населения. В разных странах существуют разные системы устройства бюрократии. Обычно существует система рангов бюрократа, совместимая со званиями в армии. Переход бюрократа в более высокую категорию зависит от результатов работы бюрократа и выслуги лет. Таким образом, у бюрократов есть своя целевая функция, которая отлична от общественной. Бюрократия – наиболее яркий выразитель того, что государство является монополистом.

Модель бюрократии Нисканена (Niskanen, 1971).

Бюрократ пытается убедить спонсора (например, парламент) выделить ему бюджет В побольше. Готовность спонсора предоставлять бюджет зависит от объема общественного блага, который пообещает произвести бюрократ, т. е. В = В(g), где g – объем общественного блага. Предполагаем, что B΄(g) > 0.

Бюрократ имеет функцию издержек на предоставление общественного блага, известную только ему: c = c(g), c΄(g) > 0. Предполагается, что он максимизирует бюджет B(g) при условии, что B(g) – c(g) > 0. Тогда бюрократ выберет .

Если бы парламент выбирал общественно оптимальный уровень, то он бы выбирал из условия .

Это можно проиллюстрировать на следующей картинке.

 

Модель бюрократии Розенталя – Ромера (Rozental, Romer 1978).

N – количество людей, имеющих функцию полезности U = U(e – g/N, g). Первый аргумент – это потребление, второй – общественное благо.

Пусть общество оказалось в ситуации с таким уровнем предоставления общественного блага g1, что .

 

Тогда бюрократ, максимизируя свой бюджет, предлагает новый уровень g2 , который больше оптимального. Это будет принято обществом, так как такое предложение не ухудшает полезность людей, но в оптимум общество не попадет.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ВЫПУСКОВ И ЦЕН НА ТОВАРЫ ПЕРВОЙ НЕОБХОДИМОСТИ – МОДЕЛЬ БУАТО.

Основной идеей модели Буато[9] является управление ценами на общественные блага и товары первой необходимости при помощи государственного вмешательства. По его мнению, предложение таких товаров и услуг, как газ, тепло, вода, мосты (public utilities); уголь, нефть, сталь (basic goods); услуги сберкасс, здравоохранения и страхования, должны регулироваться государством. По-видимому, стимулом к регулированию цен на товары первой необходимости являются социальные и морально-этические соображения, тогда как регулирование цен на основные товары продиктовано государственными интересами. Вмешательство же государства в механизмы страхования, предоставления общественных благ и банковскую деятельность обусловлено несовершенством (провалами) конкурентных рынков[10]. Буатье предположил, что государство должно осуществлять регулирование и цен, и выпусков. Его модель выглядит следующим образом.

Обозначения[11]:

– индексы выпускаемых продуктов, i = 0 соответствует труду,

– индексы потребителей,

– индексы производителей,

– бюджет h-го потребителя,

– потребление h-м потребителем товара i,

– цены товаров,

– вектор выпуска частного производителя j,

– вектор выпуска государственного сектора.

Оптимизационная задача потребителя h:

(1)

Множество производственных возможностей государственного сектора:

. (2)

Таким образом, если вектор z удовлетворяет (2), то он допустим.

Прибыль государства будет равна: . Она является параметром, который регулируется (обычно требуют ). Балансовое ограничение модели:

. (3)

В экономике государство представляет некий СОВЕТ (board), задача которого – забота о благосостоянии потребителей. Математически задача государства представляется следующим образом:

(4)

где цены и производственные планы выбираются из соответствующих подмножеств:

,

.

Таким образом, влияя на выпуски и цены отдельных товаров, государство может осуществить поставленную перед собой задачу, которая может быть сформулирована следующим образом: «Максимально улучшить благосостояние определённой группы населения, используя ограниченный набор инструментов (выпуски и цены)».

ОПТИМАЛЬНАЯ СИСТЕМА НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ

(Pareto efficient and optimal taxation)

Существует два принципа системы налогообложения:

·  Принцип эквивалентности (benefit principle), когда каждый гражданин оплачивает услуги, предоставляемые государством, в форме налогов.[12]

·  Принцип способности платить (ability-to-pay principle), когда каждый налогоплательщик выплачивает налоги пропорционально своим способностям (благосостоянию).

При этом налоговая система преследует две основные цели:

·  Фискальную, когда налоги собираются для финансирования государственных функций (армия, образование, и т. д.);

·  Стимулирующую, когда введение тех или иных налогов способствует подавлению или стимулированию какой-либо деятельности (например, уменьшение ставки налога на прибыль, если она инвестируется в научно-исследовательский (R&D) сектор).

Вопрос об эффективности системы налогообложения исследовался многими экономистами. Эджворт, например, пытался показать, что прогрессивная налоговая система, основанная на принципе способности платить, соответствует принципу утилитаризма, т. е. оптимальна с точки зрения функции общественного благосостояния (ФОБ), представленной в виде суммы функций полезности экономических агентов.

Модель Стиглица. Более общая модель, основанная на модели равновесия экономики Эрроу-Дебре, была рассмотрена Стиглицем. В ней рассматривается экономика, состоящая из одного производителя и N потребителей:

,

где – множество производственных возможностей;

– функция полезности i-го агента;

– начальные запасы i-го агента.

Рассмотрим расширенное множество продуктов:

– выпуклая замкнутая оболочка (конус), натянутая на эти вектора.

Вектор ограничений:

,

Вектор цен:

Исследуем обычное конкурентное равновесие в экономике Эрроу-Дебре. Оно лежит на Парето-границе, но может быть нежелательным. Например, когда полученное решение является оптимальным для ФОБ , т. е. , но равновесии веса такие, что одни получают слишком мало, а другие слишком много (точка А). Поэтому введением налоговой системы можно добиться такого перераспределения начальных запасов, что получившееся равновесие будет оптимально для заранее выбранного критерия. Таким критерием может являться, например, утилитарная функция общественного благосостояния (точка В) или эгалитарный критерий (точка С).

Таким образом, необходимо ввести такую функцию налогообложения , которая определяет, сколько нужно отнять (прибавить) от бюджета каждого человека, чтобы получить правильное перераспределение.

Система налогообложения называется эффективной по Парето, если:

1.  ,

2.  равновесие в экономике с новыми бюджетными ограничениями лежит на границе Парето.

В результате получается соответствие между эффективной системой налогообложения и критерием оптимальности: можно выбирать функцию таким образом, чтобы полученное равновесие отвечало заранее выбранному критерию, или, наоборот, по данной функции налогообложения определить, какому критерию оптимальности она соответствует.

Пример: российская налоговая система.

.

Таким образом, малоимущие люди получают дотации (), а богатые платят налоги.

Недостатком такой системы налогового перераспределения является то, что государство не знает истинного благосостояния людей (значения ), поэтому богатые люди будут занижать свои доходы, или государству придется тратить дополнительные средства на проверку уровня дохода граждан.

ПРИМЕР ЭФФЕКТИВНОГО ПО ПАРЕТО НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ

Положим, что общество состоит из 2-х человек и одного блага для потребления. Функции полезности имеют следующий вид:

U1(c) =

U2(c) = c

Начальные запасы индивидов:

w1 = 4

w2 = 1

(1-й человек богатый, 2-й – бедный)

Производство отсутствует.

Государство решает задачу:

U1(c1) + U2(c2) MAX

u1

()

 

u2

, пробегают симплекс решения пробегают всю Парето-границу.

Пусть q1, q2 - цены потребителей.

Представим экономику Эрроу-Дебре в виде следующей схемы:

q1	q2	p
-1	0	w1-c1		0
0	-1	w2-c2	0	c2
-1	-1	0	Max	max

1. Сначала рассмотрим ситуацию без вмешательства государства.

1-й потребитель решает задачу:

q1 + p(w1 – c1) +MAX

при q1 + p(w1 – c1) += 0.

Решая задачу, находим:

p = 1 / (2).

Подставляя в ограничение, находим и q1.

В отсутствие обмена очевидно каждый индивид потребляет свой запас:

c1 = 4, c2 = 1.

Следовательно, p = ¼, q1 = 2.

Аналогично для 2-го потребителя:

q2 + p(w2 – c2) +с2 MAX

= p= ¼, q2 = с2 = ¼.

2. Вводим налогообложение на собственность.

Все налоги идут бедняку,

t – налог,

U1(c1) MAX при условии pc1 £ pw1(1 – t),

U2(c2) MAX при условии pc2 £ pw2 + pw1t

a)  Утилитарный критерий : == ½,

+c2 = + w1t +w2 MAX по t,

находим t = 15/16.

b)  Эгалитарный критерий: maxminUi,

=c2 = = w1t + w2

находим t 0.36.

Богатый получает больше в 1-м случае.

[1] Была предложена Иеремией Бентамом

[2] Была предложена Роллсом

[3] Для этого вводится расширенное пространство продуктов размерности (l+m) W*i=(wi, ei), где на первых l местах прежние продукты wi=(w(1)i,…,w(l)i), а последние m мест занимают доли акций данного потребителя в каждом из m предприятий ei=(qi1, qi2,…, qim). Множества Yj расширяются соответствующим образом: yj ÎYjÍRl, y*j=(yj,0,…,0,-1,0,…0)ÎRl+m, где –1 стоит на j-ом месте. Y={y: y=Smj=1(yj,0,…,0,-1,0,…,0)lj; yjÎYj, lj³0}. Так как Yj — выпуклые компакты, то Y — выпуклый замкнутый конус, проходящий через {0}. На конусе y×p£0, а на границе y×p=0. Цены на дополнительные продукты в точности равны прибылям в старой модели. В точке оптимума прибыли все равны нулю, что следует из закона сохранения стоимости. (См. пред. лекцию).

[4] То есть для z выполняется условие

[5] “Bliss point”, то есть при

[6] Ссылку

[7] В свое время в США, благодаря давлению со стороны ученых экономистов (Джоан Робинсон и др.) был принят закон, запрещающий дискриминационные цены, так как данные цены были индикатором существование монополии на рынке. Однако, позже выяснилось, что на некоторых рынках, таких как рынок информации, парето оптимум и максимальное количество пользователей информации достигается только при дискриминационных ценах.

[8] Примером нормы, в рамках которой продукты распределяются неравномерно может служить армия. Там солдатам, чей рост выше 1 м 93 см полагается двойная порция питания.

[9] M. Boiteux (1956) Econometrica, Translated into English in 1971, Journal of Economic Theory.

[10] See market failures due to externalities (adverse selection and asymmetric information).

[11] It is implicit in the model that can be negative. It means that corresponding amounts can be sold or used in production as factors.

[12] На практике такая система налогообложения приводит к слишком большому количеству налогов за каждую предоставляемую услугу.