Лекция №1

Ведущая:

Дата: пятница, 9 февраля 2001 г.

Тема: Алгебра матрица

Алгебра матрицы.

Определение: Матрицей Аmxn размерности mxn называется числовая таблица из m строк и n столбцов. Если m=n то матрица называется квадратной.

Если в матрице одна сточка, то эта матрица – вектор строка. . Если в матрице один столбец, то эта матрица – вектор столбец:

Единичная матрица.

Определение: Матрица размерности - называется единичной.

Операции над матрицей.

1) Линейные операции

a. Сложение матрицы (но только матрицы которая имеет один линейный размер, число строк и число столбцов). Amxn=(aij) и Bmxn=(bij) Определение: Amxn+ Bmxn=(aij+bij)

b. Умножение на число. lÎR. Определение: lAmxn=(laij)

2) Умножение матрицы. .

Определение: (общее умножение матриц). Пусть Amxn имеет размер:

Пусть Bnxp имеет размер

Само определение: AmxnBnxp=Cmxp=(cij)=

Примеры:

№1

№2

Матрица не меняется. Если AnxnEnxn=Anxn

Свойства операций над матрицами.

1) Коммутативность сложения A+B=B+A

2) Ассоциативность сложения A+(В+С)=(А+В)+С

3) Коммутативность умножения на число lА=Аl

4) Ассоциативность умножения А(ВС)=(АВ)С

5) Дистрибутивность (А+В)С=АС+ВС; А(В+С)=АВ+АС

Замечание: Умножение матриц вообще говоря не коммутативно АВ¹ВА; АЕ=ЕА

Пример:

А2x3B3x5 – определено

B3x5 А2x3 – не определено

Системы линейных уравнений.

Определение: Уравнение вида a1x1+a2x2+…+anxn=b –называется линейным.

Определение: Совокупность нескольких линейных уравнений называется системой линейных уравнений (СЛУ).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Определение: Расширенной матрицей СЛУ называется матрица.

Матрично-векторная запись СЛУ (1)

Определение: Решением СЛУ (1) называется такой набор таких чисел {x1,x2,…,xn} при подстановке которых вместо неизвестных х1,х2,…,хn в СЛУ (1) каждая из уравнений превращается в числовое тождество.

Определение: Две СЛУ называются эквивалентными, если множество решений совпадает. Если две СЛУ эквивалентны, то их расширенные матрицы называются эквивалентными.

Пусть a11,…,an – решение (2); (сa11+a21)a1+…+(ca1n+a2n)=cb1+b2

(сa11a1+…+can1an)+(a21a1+…+a2nan)=cb1+b2

a11a1+…+a1nan=b1; c(a11a1+…+a1nan)+(a2a1+…+a2nan)=cb1+b2; cb1+a2a1+…+a2nan=cb1+b2

a21a1+…+a2nan=b2

a1,…,an – решение (1)

Эквивалентные преобразования расширенных матриц – элементарные преобразования.

1) Умножение строки матрицы на ненулевое число

2) Прибавление к одной из сток матрицы другой умноженной на ненулевое число

3) Перестановка строк матрицы

Определение: Первый ненулевой слева элемент строки расширенной матрицы называется главным.

Определение: Матрица называется ступенчатой если 1) все её нулевые строки расположены ниже ненулевых.

3) Главный предыдущий строки расположен правее главного

Столбцы в которых расположены главные элементы называются главными.

Определение: Ступенчатая матрица называется главный ступенчатой если в её главных столбца имеется только одна единица а остальные нули

Лекция №2

Ведущая:

Дата: пятница, 16 февраля 2001 г.

Тема: Приведение матриц к главному ступенчатому виду.

Алгоритм Гаусса, приведения матриц к главному ступенчатому виду:

1) В каждой строке отмечаем главный элемент.

2) Перестановкой строк ставим на первое место строку, в которой главный

элемент занимает самое левое место. При этом выбираем строку с

наименьшем по модулю главным элементом.

3) Умножим первую строку на подходящее число, делаем первый главный элемент

равным единицы.

4) Прибавлением первой строки, умножением на подходящее число, зануляем все элементы, стоящие

под первым главным членом.

5) В полученной матрице мысленно отбрасываем первую строку и первый столбец и повторяем

алгоритм сначала.

Повторяем до ступенчатой матрицы.

ГАУСС (Gaub) Карл Фридрих (), немецкий математик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверхностей), математической физики (принцип Гаусса), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии.

6) Прибавляя соответствующие строки, умноженные на подходящее число, зануляем все элементы в главных столбцах, стоящие выше главных элементов.

Конец. Получаем главный ступенчатый вид.

Метод Гаусса – решение СЛУ.

1) Приводим расширенную матрицу к главному ступенчатому виду.

2) Если столбец (свободных членов ) является главным, то СЛУ несовместно, то есть решений нет.

3) Пусть столбец не является главным, тогда:

a. Число главных столбцов равно числу неизвестных, система называется неопределённой

b. Число главных столбцов меньше числа неизвестных. Неизвестные, соответствующие главным столбцам назовём главными неизвестными. Все остальные назовём свободными.

Обозначим свободные неизвестные через t1,…,tp. Из полученной СЛУ выражаем главные неизвестные через свободные. Общее решение системы записываем в виде: - Общее решение СЛУ в параметрическом виде. t1ÎR

Общее решение в векторном параметрическом виде.

Если t1=a1,…,tp=ap решение - называется частным.

Пример:

. Здесь главные неизвестные х1, х3, свободные неизвестные х2, х4

х1-х2+3х4=-1

Определение: Если вектор , то система называется однородной. В противном случае неоднородной. Однородная СЛУ всегда имеет решение, которое называется тривиальным.

Общее решение однородной СЛУ

Системы векторов.

- система векторов (вектор столбец)

Определение: Вектор , где aiÎR – называется комбинаций векторов

Определение: Линейная комбинация, в которой a1=a2=…=an=0 – называется тривиальной. В противном случае не тривиальной.

Определение: Система векторов называется зависимой, если существует не тривиальная линейная комбинация равная нулю. Если $ a1,…,anÎR a12+…+an2¹0 и . В противном случае система векторов называется линейно независимой. -называется линейно независима если из условия Þ a1=a2=…=an=0.

Лекция №3

Ведущая:

Дата: пятница, 23 февраля 2001 г.

Тема: Однородная и не однородная СЛУ

Пример №1

Вектора линейно зависимы Û однородная СЛУ имеет нетривиальное решение.

Вектор b –является линейными комбинациями векторов Û Неоднородная СЛУ имеет решение.

Пример №2

Определение: Множество всех векторов с n координатами (множество всех матриц A1xn) называется линейным пространством Rn.

Теорема: Rn и

Доказательство: система имеет нетривиальное решениеÞ линейно зависимы

Теорема: (Свойства линейно зависимых)

1) - линейно зависимы то - линейно зависимы

2) - линейно зависимы Þ - линейно зависимы

Любая подсистема линейно зависимых векторов – линейно зависимы.

3)Если то такая система будет линейна зависима

Доказательство 1:

- линейно зависимы

Доказательство2: От противного. Пусть - линейно зависимы Þ

Þ - линейно зависимы – это противоречие.

Доказательство 3: S=. Рассмотрим линейную комбинацию S:

- нетривиальная линейная комбинация SÞ S – линейна зависима.

Теорема: (Критерий линейной зависимости)

- линейно зависимы, тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Доказательство: - линейно зависимы . Можно считать, что a1¹0

- является линейной комбинацией

Доказательство ( в другую сторону): Пусть является линейной комбинацией остальных векторов

- нетривиальная линейная комбинация Þ - линейно зависимы.

Определение: . Если для любого вектора Sa является линейной комбинацией векторов Sb, то говорим, что Sa линейное выражение систем Sb.

Определение: Sa, Sb; Sa – линейное выражение Sb; Sb – линейное выражение Sa, то Sa и Sb – называется эквивалентными.

Теорема: (основная теорема о линейной зависимости)

Пусть имеются в . Если Sb линейное выражение, а Sa и Sb линейно независима, то p³q

Определение: (базиса системы векторов).

Пусть . Подсистема - называется базисом S если выполняются условия:

1) B – линейно независима

2) S – линейно выражается B

Пример №1

R2 – все вектора на плоскости

Пример №2

Rn – все вектора на плоскости

Пример №3

линейно независимы

имеет только тривиальное решение

Теорема: (о существование базиса)

Пусть S¹{0}, тогда в S есть базис

Доказательство: линейно независима. Если для . В противном случае $ не является линейной комбинацией По теореме № 1 рассмотренной в этой лекции процесс закончится

Теорема: Путь

Доказательство:

линейная комбинация. линейное выражение SaÞ по основной теореме p³q. Sb – базис Þ Sa линейное выражение Sb Þ q³p

Определение: Рангом системы S называется её базисные вектора Amxn –матрица

Определение: Рангом матрицы А называют ранг её системы векторов rk(A)

Лекция №4

Ведущая:

Дата: пятница, 2 марта 2001 г.

Тема: Однородная и не однородная СЛУ

По определению базиса "sÎSÞ

Определение: Числа a1,…,ak называются координатами вектора s в базисе B

Теорема: координаты определены однозначно.

Доказательство: (от противного) Пусть

- линейная комбинация базисных векторовÞлинейная комбинация тривиальнаяÞ

***

Лемма: Пусть существует ciÎR, что и пусть

А®А’. Тогда если , то

Доказательство: Рассмотрим систему линейных уравнений по условию эта система имеет нетривиальное решение. Тогда переходя к матрице A’ с помощью элементарных преобразований получим однородную систему линейных уравнений является решением системы линейных уравнений

Теорема: (о базисе системы столбцов)

Пусть дана базис S. Если A®A’, то при этом

,будет базисом

Доказательство: 1) B’ линейно независима следует из предыдущий леммы. При преобразование A®A’, B®B’. Обратно B’®B.

2) .

Применим к этой системе предыдущую леммуÞT®T1

Теорема: (о главной ступенчатой матрице)

A®G, где G – главная ступенчатая матрица. Тогда главные столбцы матрице G образуют базис соответствующий тем же столбцам А, а числа стоящие в свободных столбцах задают координаты соответствующих векторов в этом базисе.

Доказательство: (следует из предыдущий леммы)

Следствие: 1) Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях

2) Ранг матрица А равен числу главных столбцов в главном ступенчатом виде или числу ненулевых строк в главном ступенчатом виде.

ПРИМЕР:

Столбцы 1,2,3 – базисные.

Теорема: (Кронекера-Капелли)

Пусть дана система линейных уравнений Система совместна тогда и только тогда, когда

Доказательство: Пусть G – главный ступенчатый вид матрицы А, - главный ступенчатый вид расширенной матрице . В силу следствия rkA=rkG и Система линейных уравнений совместнаÞ не является главнымÞ

Доказательство: (в другую сторону)

Если , то пусть система линейных уравнений несовместима, тогда Þ , является главным Þ число главных столбцов будет на один больше числа главных столбцов GÞ

это противоречие

Теорема: (критерий определенности системы линейных уравнений)

СЛУ является определённой тогда и только тогда rkA=- числу неизвестных.

Доказательство: Если СЛУ является определённой Þ G – главная ступенчатая матрица - свободных неизвестных нетÞ все столбцы G - главныеÞ rkG=nÞrkA=

Доказательство: (в обратную сторону)

Если rkA=в G все столбцы главные и столбцы не являются главнымиÞрешение единственное

Определение: (линейного пространства)

Подмножество - называется линейным подпространством, если:

ПРИМЕРЫ:

Нулевое подпространство

Пример №1 (является теоремой)

Теорема: Множество решений однородной СЛУ образуют подпространство.

Доказательство: Пусть а V множество решений, то :

Пример №2

- подпространства прямой проходящей через начало координат

Пример №3

- подпространства прямые и плоскости проходящие через начало координат

Определение: Размерностью подпространства называют ранг системы его векторов, то есть число векторов в бизисе.

Лекция №5

Ведущая:

Дата: воскресенье, 11 марта 2001 г.

Тема: Однородная и не однородная СЛУ

Теорема: Пусть-некоторое частное решение (1), тогда- некоторое решение (2)

Доказательство: Рассмотрим вектор является решением (2);

ПРИМЕР (линейного подпространства)

Пусть

Определение: - называется линейной оболочкой векторов . Множество L является линейным подпространством.

Определение: Пусть Anxn – квадратная матрица. Обратная для матрицы А называется матрица Anxn, такая что АА(-1)=А-1А=Е

Определение: Матрица А называется невырожденной, если она имеет обратную.

Теорема: Если А невырожденная матрица, то её обратная матрица единственная.

Доказательство: (от противного)

Пусть А-1 и В – обратная матрица. АВ=Е(хА-1слева); А-1(AB)=A-1E; А-1(AB)= (А-1A)B=EB=B; А-1E= А-1ÞB= =А-1

Метод Гаусса нахождение обратной матрицы.

(A|En) (E|A-1);

Anxn

Найдётся. Требуется найти вектора

. Получатся три системы линейных уравнений:

Anxn – n неоднородной СЛУ.

Если rkA<nÞнекоторая из систем (1)…(n) имеет бесконечное число решений Þ А не имеет обратных. Если rkA=nÞ n – главных столбцов Þ (А|E)®(E|B); (E|b) – СЛУ определено и имеет единственное решение = bÞ B=A-1

Следствие: А невырожденная Û rkA=n

Определители

A – квадратная матрица nxn A®detA

Определение: Пусть Минор Mij матрицы А называется определитель матрицы.

Алгебраические дополнения

Aij=(-1)i+jMij

Определитель индукции.

1) A1x1=(a11)ÞdetA=a11

2) A2x2=ÞdetA=a11a22-a21a12

Пусть для A(n-1)x(n-1) – определён detA

Anxn

Полагаем detA=a11A11+a1nA1n – разложение по первой строки

Свойства определителей

1) Для "Anxn имеет место формула detA=a11A11+an1An1 – разложение по первому столбцу. Доказательство по индукции

2) A=(aij). Транспортированная матрица AT=(aij); detAT=detA Доказательство по индукции. Строки и столбцы равноправны

3) Если в матрице А поменять местами две строки, то определитель поменяет знак. Доказательство: индукция по n (Anxn) сначала для трок i и i+1

4) detAB=detAdetB

5) При любых i и j имеют место формулы detA=ai1Ai1+…+ainAin – разложение по Iой строке; detA= =a1jA1j+…+anjAnj – разложение по jому столбцу

6) Если в А две строки равны то det=0. Доказательство: A=A’ – матрица А с переставленной Iой и jой троками. По свойству (3) detA’=(-1)detA A’=A; detA’=detAÞ detA=0